Fraición

Fraición
	númberu racional y notación matemática (es)

En matemátiques, una fraición, númberu fraccionariu, (del vocablu llatín frāctus, fractĭo -ōnis, rotu, o quebráu) ye la espresión d'una cantidá estremada ente otra cantidá; ye dicir que representa un cociente ensin efectuar de númberos. Por razones históriques tamién se-yos llama fraición común, fraición vulgar o fraición decimal. Les fraiciones comunes componer de: numberador, denominador y llinia divisora ente dambos (barra horizontal o oblicua). Nuna fraición común $a/b$ el denominador "b" espresa la cantidá de partes iguales que representen la unidá, y el numberador "a" indica cuántes d'elles se tomen.

El conxuntu matemáticu que contién a les fraiciones de la forma a/b, onde a y b son númberos enteros y b≠0 ye'l conxuntu de los númberos racionales, denotado como ℚ.

De manera más xeneral, puede estendese el conceutu de fraición a un cociente cualesquier d'espresiones matemátiques (non necesariamente númberos).

Representación y modelización de fraiciones

Representación gráfica y analítica

Como se quitó 1/4 del pastel, inda-y queden 3/4 .

Suel utilizase la figura xeométrica (que representa la unidá) seccionada nuna cantidá de partes iguales p'amosar el denominador, y se colorean (o omiten) les que se tomen pa estremar la cantidá qu'indica'l numberador.

Notación y convenciones:
- Nuna fraición común, el denominador lléese como númberu partitivu (exemplos: 1/4 lléese «un cuartu», 3/5 lléese «trés quintos»);
- Una fraición negativa ye la que tien valor negativu;
- Una fraición xenérica a/b representa'l productu de a pol recíprocu (multiplicativu) de b, talmente que $a/b\ =a\cdot 1/b\$ ; si tantu a como b son númberos negativos $(-a/-b)$ , el productu ye positivu, polo que s'escribe: a/b;
- Toa espresión matemática escrita nesta forma recibe'l nome de «fraición».

La espresión xenérica $a/b$ representa una división alxebraica, polo que'l divisor tien de ser distintu de cero (b $\neq 0$ ); el cociente d'esta división almite un desenvolvimientu decimal (un númberu decimal, nel sistema de numberación decimal tradicional) que puede ser finito o infinitu periódico (ver Númberu periódicu).

Un númberu irracional nun almite una escritura en forma de númberu fraccionariu, o de razón, la so espansión decimal va ser infinita non-periódica, como por casu el númberu π, el númberu e, el númberu áureo y dellos raigaños cuadráu y cúbicu.

Tipos de fraiciones

Fraición simple, común o vulgar

Una fraición simple (tamién conocida como fraición común o fraición vulgar) ye un númberu racional de la forma a/b, onde a y b son númberos enteros y b≠0. Puesto que una fraición común representa un númberu racional, les fraiciones comunes herieden toles propiedaes matemátiques de los racionales. Exemplu ${\tfrac {3}{4}}$ ; 3/4; ³/₄; (¾); fraición trés cuartos: numberador 3 y denominador 4, representa al númberu decimal 0.75, en porcentaxe: 75%.

Fraición propia ya impropia

Les fraiciones comunes pueden clasificase en mesmes ya impropies. Una fraición mesma ye aquella na que, si numberador y denominador son positivos, el numberador ye menor que'l denominador, por casu ${\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {3}{8}},\;{\tfrac {3}{4}}$ . Otra manera, una fraición impropia va ser la fraición onde'l numberador ye mayor que'l denominador, por casu ${\tfrac {13}{6}},\;{\tfrac {18}{8}},\;{\tfrac {5}{2}}$ . Polo xeneral, una fraición común ye una fraición mesmu si'l valor absolutu ye puramente menor qu'unu — esto ye, si la fraición ye mayor que −1 y menor que 1 —.^[1]^[2]

Fraición mista

Una fraición mista o númberu mistu ye la representación d'una fraición impropia, en forma de númberu enteru y fraición propia; ye una manera práutica d'escribir unidaes de midida (pesu, tiempu, capacidá), recetes de cocina, etc.^[3]

Toa fraición impropia ${\tfrac {p}{q}}$ puede escribise como númberu mistu: $A{\tfrac {a}{b}}$ , onde $A{\tfrac {a}{b}}$ denota $A+{\tfrac {a}{b}}$ (onde $A\in \mathbb {Z} ,A\geq ~0$ , ye la parte entera). Como exemplos:

{\frac {30}{20}}={\frac {3}{2}}=1{\frac {1}{2}}

«Una cuyaradina y media de...»

15.70/12.561\approx 5/4=1{\frac {1}{4}}

«Nuna hora y cuartu...»

A partir d'un ciertu nivel d'álxebra elemental, la notación mista suel sustituyise por fraiciones impropies, que son más operacionales.^[4]

Razón

La razón ye la comparanza de dos cantidaes pola so cociente, onde se ve cuántes vegaes contién una a la otra. Nel casu de númberos toa razón puede espresase en forma de fraición y eventualmente como un decimal. Xeneralmente esprésase como "a ye a b" o a:b, y correspuende a la fraición a/b.

Fraición inversa

Una fraición inversa ye una fraición llograda a partir d'otra dada, na que s'invirtieron el numberador y el denominador, esto ye, la fraición inversa d'una fraición a/b ye b/a. Como exemplos, ${\tfrac {2}{3}}$ y la so fraición inversa ${\tfrac {3}{2}}$ , ${\tfrac {1}{2}}$ y la so fraición inversa ${\tfrac {2}{1}}$ .

Un casu especial de fraición inversa ye la fraición unitaria, que ye una fraición común na cual el numberador ye igual a 1 y el denominador ye un enteru positivu: ${\tfrac {1}{2}},\;{\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {1}{4}},\dots \$ , una y bones los númberos enteros pueden escribise como una fraición con denominador igual a unu. Asina, les fraiciones unitaries son los recíprocos multiplicativos de los númberos naturales (ye dicir de los enteros positivos). Les fraiciones exipcies son otru exemplu d'aplicación de les fraiciones unitaries.

Fraición compuesta

Una fraición compuesta ye aquella que'l so numberador o denominador (o dambos) contienen de la mesma fraiciones o númberos mistos. Por casu, ${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}$ y ${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}$ son fraiciones compuestes. P'amenorgar una fraición compuesta a una simple, asígnase-y l'orde preferente de la división a la llinia divisoria mayor de la fraición. Por casu:

{\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}

{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}

{\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}

{\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.

Si, nuna fraición compuesta, nun hai una vía clara d'indicar qué llinies de la fraición tomen preferencia, entós la espresión ta formada impropiamente y ye ambigua. Asina, 5/10/20/40 ye una espresión matemática ruinamente escrita, con múltiples valores posibles.

Fraición decimal y como porcentaxe

Una fraición decimal ye una fraición del tipu ${\tfrac {a}{10^{n}}}$ , esto ye, una fraición que'l so denominador ye una potencia de 10. Por convención, tómase a positiva. Les fraiciones decimales suelen espresase ensin denominador, con usu del separador decimal, esto ye, como númberu decimal exactu (Por casu: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 escríbense 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un númberu decimal finito (o un enteru) puede escribise como fraición decimal a cencielles multiplicando por una potencia apropiada de ${\tfrac {10^{n}}{10^{n}}}$ (Por casu: 1=10/10 1.23=123/100). Una fraición decimal nun ye necesariamente irreducible.

Un porcentaxe ye una forma d'espresar un númberu como una fraición decimal, concretamente como fraición con denominador 100. Utilizar pa denotarlo el signu porcentaxe %, que se debe escribir darréu dempués del númberu al que se refier, ensin dexar espaciu de separación. Como exemplu,

{\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}=75\%.

La espresión d'un númberu per mil (1.000‰), ye una manera d'espresalo como una fraición de 1.000, o como la décima parte d'un porcentaxe; escribir col signu ‰. Una parte per billón (notáu ppb) ye una unidá de midida pa espresar concentraciones desaxeradamente pequeñes.

Casos especiales

Una fraición exipcia ye'l tipu de representación de fraiciones utilizáu nel Antiguu Exiptu. Una fraición común positiva escribir por mediu d'una suma de fraiciones unitaries distintes, ye dicir que nengún de los sumandos tien el mesmu denominador, por casu ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ . Tou númberu racional positivu puede espresase como suma de fraiciones unitaries (esto ye, como fraición exipcia), magar la representación nun ye única. Por casu ${\tfrac {19}{20}}$ puede escribise como ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{5}}$ y tamién como ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{180}}$ .

Aritmética con fraiciones

Fraición equivalente

Dos o más fraiciones son equivalentes cuando representen la mesma cantidá, y escríbense distintu. Por casu, les fraiciones ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{4}}$ , ${\tfrac {3}{6}}$ y ${\tfrac {x}{2x}}$ son equivalentes, yá que representen la cantidá «un mediu». Dos fraiciones son equivalentes si pueden llograse una a partir de la otra, multiplicando (o estremando) el numberador y el denominador pol mesmu númberu, esto ye, por unu. Exemplu:

{\dfrac {x}{2x}}={\dfrac {x}{x}}\cdot {\dfrac {1}{2}}

onde

{\dfrac {x}{x}}=1

.

{\dfrac {3}{6}}={\dfrac {3}{3}}\cdot {\dfrac {1}{2}}

onde

{\dfrac {3}{3}}=1

.

D'esta manera, les fraiciones equivalentes son reducibles, yá que el numberador y el denominador nun son primos ente sigo y pueden ser simplificaes nuna fraición irreducible, na que'l numberador y el denominador son primos ente sigo. El conxuntu de toles fraiciones equivalentes a una fraición dada, llámase númberu racional, y suel representase pola única fraición equivalente irreducible del conxuntu. Un casu específicu ye cuando'l numberador ye un múltiplu del denominador, entós, al amenorgala llógrase cualquier númberu perteneciente al conxuntu de los enteros, polo que se denomina fraición aparente o entera.

Más xeneralmente, dada una fraición reducible (el numberador y el denominador comparten factores comunes distintos a la unidá), esta siempres puede amenorgase (esto ye, simplificar) hasta llograr una fraición equivalente irreducible. La noción de fraición irreducible xeneralizar al cuerpu de cocientes de cualesquier dominiu de factorización única: tou elementu d'esti cuerpu puede escribise como una fraición na cual el numberador y el denominador son coprimos.

Comparanza de fraiciones

La comparanza de dos fraiciones utilizar pa comprobar cuál ye mayor. Esisten dellos casos, dependiendo de los numberadores y los denominadores d'estes. Dizse que les fraiciones son homoxénees si tienen el mesmu denominador y que les fraiciones son heteroxénees si tienen distintos denominadores.

Si les fraiciones son homoxénees — el denominador de los dos fraiciones ye'l mesmu —, la fraición col mayor numberador ye mayor que la otra.

{\tfrac {5}{7}}>{\tfrac {2}{7}}

yá que 5>2.

Si'l numberador de los dos fraiciones positives ye'l mesmu, la fraición col menor denominador ye mayor que la otra. Esto ye abondo natural: si tiénense dos tartes iguales, una pa partir ente más persones que la otra, la que se parta ente menos persones va tar partida en porciones más grandes.

{\tfrac {2}{3}}>{\tfrac {2}{5}}

yá que 3<5.

Una manera de comparar fraiciones con distintos numberadores y denominadores ye atopar un denominador común. Pa comparar ${\tfrac {a}{b}}$ y ${\tfrac {c}{d}}$ , convertir en fraiciones equivalentes ${\tfrac {ad}{bd}}$ y ${\tfrac {bc}{bd}}$ . Entós bd ye un común denominador y los numberadores ad and bc pueden ser comparaos.

{\tfrac {2}{3}}

?

{\tfrac {1}{2}}

da que

{\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}

Nun ye necesariu determinar el valor del denominador común pa ser comparaes. Esti atayu ye conocíu como «multiplicación cruciada». Compárase namái ad y bc, ensin calcular el denominador.

{\tfrac {5}{18}}

?

{\tfrac {4}{17}}

Multiplicando dambes partes de cada fraición pol denominador de la otra, llógrase un denominador común:

{\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}

?

{\tfrac {4\times 18}{17\times 18}}

Los denominadores agora son iguales, pero nun ye necesariu calcular el so valor – namái los numberadores precisen ser comparaos. Puesto que 5×17 (= 85) ye mayor que 4×18 (= 72), ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$ .

Xeneralmente, cuando se tien que calcular el denominador común de fraiciones, utilízase'l mínimu común múltiplu (mcm) de los denominadores de les fraiciones orixinales, que'l mínimu denominador común d'estes.

Suma y resta de fraiciones

Pa sumar o restar fraiciones, estrémense dos casos. Si tienen el mesmu denominador, entós sumir o se resten los numberadores y déxase el denominador común.

{\frac {2}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {5}{7}}

Ye posible que la resultancia pueda simplificase:

{\frac {7}{12}}-{\frac {1}{12}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}

.

Si tienen distintu denominador, hai que llograr fraiciones equivalentes a les fraiciones daes, por que tengan denominador común y depués sumar o restar. Por casu

{\frac {2}{7}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2\times 3}{7\times 3}}+{\frac {1\times 7}{3\times 7}}={\frac {6}{21}}+{\frac {7}{21}}={\frac {13}{21}}

.

Esti métodu puede espresase de forma alxebraica como

{\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}\pm {\frac {bc}{bd}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}

En realidá, nun fai falta llograr fraiciones equivalentes de cuenta que'l denominador resultante sía'l productu de los denominadores de les fraiciones iniciales. Basta con tomar el mínimu común múltiplu de los denominadores. A la fin de la operación, pue que faiga falta realizar otra simplificación.

Multiplicación y división de fraiciones

Pa multiplicar dos fraiciones, basta multiplicar los numberadores per una parte y los denominadores por otra. Como exemplu,

{\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{2}}={\frac {3\cdot 5}{4\cdot 2}}={\frac {15}{8}}

.

Mientres la operación, si'l numberador d'una fraición y el denominador d'otra —y viceversa— tienen dalgún factor común, puede atayase, yá que ye multiplicar y estremar por dichu factor na fraición resultante. Esti atayu conozse como «cancelación» y dexa amenorgar los términos a multiplicar. La espresión alxebraica de manera xeneral sería

{\frac {a}{b}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}

.

Na división de fraiciones, el numberador de la fraición resultante ye'l productu del numberador de la fraición dividendu pol denominador de la fraición divisor, ente que'l denominador ye igual al denominador de la fraición dividendu multiplicáu pol numberador de la fraición divisor. Otra manera d'imaxinalo ye qu'estremar ente un númberu ye lo mesmo que multiplicar pol inversu d'esi númberu, polo que la división de dos fraiciones ye igual a la multiplicación de la primer fraición pol inversu de la segunda:

{\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}

.

Fraiciones con radicales

Una fraición puede contener radicales nel so numberador, denominador o dambos. Si'l denominador contién radicales, pue ser de gran ayuda racionalizar estos, especialmente si van realizase operaciones, tales como l'adición o la comparanza d'una fraición con otra. Ye tamién conveniente si la división tien que realizase explícitamente. Cuando'l denominador ye una raíz cuadrada, esta puede racionalizase por aciu la multiplicación del numberador y el denominador pola raíz del denominador. Como exemplu,

{\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}

.

Esto tamién puede estendese nel casu de que'l numberador sía la raíz de dalgún monomiu, binomios o otres estructures alxebraiques d'esi tipu.

Fraiciones alxebraiques

N'álxebra, una fraición alxebraica ye aquella que'l so numberador y denominador son espresiones alxebraiques. Por casu ${\tfrac {x^{2}}{x^{2}-9}}$ ye una fraición que'l so numberador ye'l polinomiu x² y denominador ye'l polinomiu x²-9; el valor de la fraición va depender del valor de la variable x.

Cuando'l numberador y el denominador d'una fraición alxebraica son polinomios, llámase-y fraición racional. Estes puédense descomponer en fraiciones parciales, que consiste n'espresar un cociente de polinomios como suma de fraiciones de polinomios de menor grau, siempres y cuando'l grau del polinomiu del denominador seya puramente mayor que'l del numberador.

Otra manera, les fraiciones que nun son racionales son les que contienen una variable so un esponente fraccionariu o una raíz como por casu ${\tfrac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ .

Estructures más xenerales

Fraición continua

Llámase fraición continua d'orde n a una espresión de la forma:

x=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\begin{array}{l}\ddots \\{a_{n-2}+{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}\end{array}}}}}}}

Onde $(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})\$ ye una socesión d'enteros positivos.

Espansión de Engel

Una espansión de Engel ye una socesión de númberos enteros positivos tales que

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\ \cdots

Si la socesión ye finita, correspuende a un númberu racional que ye la representación de x en forma de fraición exipcia. Esta representación puede espresase como «variante ascendente» d'una fraición continua como

x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}

Estes estructures fueron estudiaes por Fibonacci en Liber Abaci (1202).

Historia

Nel Antiguu Exiptu calculábase utilizando fraiciones que los sos denominadores son enteros positivos; son les primeres fraiciones utilizaes pa representar les partes d'un enteru», per mediu del conceutu de recíprocu d'un númberu enteru.^[5] Esto equival a considerar fraiciones como: un mediu, un terciu, un cuartu, etc., d'ende que les sumes de fraiciones unitaries conózanse como fraición exipcia. Puede demostrase amás, que cualquier númberu racional positivu puede escribise como fraición exipcia. El xeroglíficu d'una boca abierta

denotaba la barra de fraición (/), y un arte numbérico escritu debaxo de la "boca abierta", denotaba el denominador de la fraición.

Los babilonios utilizaben fraiciones que'l so denominador yera una potencia de 60. El sistema chinu de numberación con banielles dexaba la representación de fraiciones. Los griegos y romanos usaron tamién les fraiciones unitaries, que la so usu persistió hasta la dómina medieval. Diofanto d'Alexandría (sieglu IV) escribía y utilizaba fraiciones. Darréu, introducióse la raya horizontal» de separación ente numberador y denominador, y el numberador dexó d'acutase al númberu unu solamente, dando orixe a les llamaes fraiciones vulgares o comunes. Finalmente, introdúcense les fraiciones decimales», onde'l denominador escríbese como una potencia de diez.

Créese que les fraiciones decimales yeren conocíes polos matemáticos chinos nel sieglu I, y que d'ende s'estendió'l so usu a mediu Oriente y Europa.^[6] J. Lennart Berggren nota qu'un sistema posicional con fraiciones decimales foi utilizáu pol matemáticu árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi nel sieglu X.^[7]

Khwarizmi introduz les fraiciones nos países islámicos nel sieglu IX. La forma de representar les fraiciones provenía de la representación tradicional china, col numberador asitiáu sobre'l denominador, pero ensin barra separadora. Esta forma d'escritura de les fraiciones col numberador enriba y el denominador embaxo, ensin barra horizontal, foi utilizada tamién nel sieglu X por Abu'l-Hasan al-Uqlidisi y nel sieglu XV por Jamshīd al-Kāshī nel so trabayu La llave de l'aritmética.

Leonardo de Pisa (Fibonaccci) na so Liber Abaci (Llibru del Ábaco), escritu en 1202, espón una teoría de los númberos fraccionarios. Les fraiciones preséntense como fraiciones exipcies, esto ye, como suma de fraiciones con numberadores unitarios y denominadores ensin repitir. Amás, describe'l so usu y desenvolver dientro del marcu modernu de les series matemátiques.

L'usu modernu foi definitivamente introducíu por Simon Stevin nel sieglu xvi.^[8]

**Cronoloxía**^[9]
Añu	----- align="left" bgcolor="#f0f5fa"	1800 e.C.	Rexistru d'usu de fraiciones pol Imperiu Babilónicu.
1650 e.C.	Sistema de fraiciones exipcies.
500-600 d.C.	Aryabhata y Brahmagupta desenvuelven les fraiciones unitaries.
100	Sistema chinu de cálculu de fraiciones con banielles (Suanpan).
1202	Fibonacci espubliza la notación con barra pa dixebrar numberador y denominador.
1585	Teoría sobre les fraiciones decimales de Simon Stevin.
1700	Usu xeneralizáu de la llinia fraccionaria (barra horizontal o oblícua).

Ver tamién

Notes y referencies

↑ Lloréu (31 de marzu de 2004). «Math Forum – Ask Dr. Math:Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Consultáu'l 30 d'ochobre de 2014.
↑ «New England Compact Math Resources».
↑ Vivens, Vicens (1998). Matemátiques 3. ISBN 84-316-4644-6.
↑ Mathwords, Mixed number, (n'inglés).
↑ Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics, 6th ed., Philadelphia: Saunders College Pub.. ISBN 0030295580.
↑ (1959) Cambridge University Press: Science and Civilisation in China, Volume III.
↑ Berggren, J. Lennart (2007). Princeton University Press: The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. ISBN 9780691114859.
↑ (1985) Springer-Verlag: A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether.
↑ Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

Bibliografía

Stewart, Ian (2008). Historia de les matemátiques. Crítica. ISBN 978-84-8432-369-3.
Weisstein, Eric W. «Fraction» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Plantía:Springer

Enllaces esternos

Operaciones con fraiciones, sitiu Exercicios de matemátiques.
Multiplicación de Fraiciones Archiváu 2018-04-13 en Wayback Machine Definición, propiedaes y exemplos de multiplicación de fraiciones

[1] Lloréu (31 de marzu de 2004). «Math Forum – Ask Dr. Math:Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Consultáu'l 30 d'ochobre de 2014.

[2] «New England Compact Math Resources».

[3] Vivens, Vicens (1998). Matemátiques 3. ISBN 84-316-4644-6.

[4] Mathwords, Mixed number, (n'inglés).

[eves-5] Eves, Howard Eves ; with cultural connections by Jamie H. (1990). An introduction to the history of mathematics, 6th ed., Philadelphia: Saunders College Pub.. ISBN 0030295580.

[jnfractn1-6] (1959) Cambridge University Press: Science and Civilisation in China, Volume III.

[Berggren-7] Berggren, J. Lennart (2007). Princeton University Press: The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. ISBN 9780691114859.

[van-8] (1985) Springer-Verlag: A History of Algebra. From Khwarizmi to Emmy Noether.

[50COSES-9] Tony Crilly (2011). 50 coses qu'hai que saber sobre matemátiques. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

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