The derivative's true nature lies in its connection with topology. In this video, we'll explore what this connection is through two fields of algebraic topology: homology and cohomology. __ SOURCES and REFERENCES for Further Reading! In this video, I give a quick-and-dirty introduction to differential forms and cohomology. But as with any quick introduction, there are details that I gloss over
ホモロジーもコホモロジーも図形の繋がり方を捉えるという点で似ている。それだけでなく、どちらの見方を取っても同じような量が得られる。 ホモロジー コホモロジー ※ 集合の包含関係(部分集合)の記号「⊂」に線がついた「―――⊂」は「⊂」と同じ意味。 例えば「A―――⊂B」は、「A⊂B」と同じで、「AはBの部分集合」を表す。 (ホモロジーとコホモロジーの関係については、「圏論入門としてのホモロジー」の「コホモロジー」の節も参照) ホモロジー加群 まずホモロジーから。 空間Xの1次ホモロジー加群 H1(X)というのは、空間内に描かれるループ(閉曲線)のうち曲面(2次元領域)の縁にならないものがどれだけあるか、を示す。 同様に0次ホモロジー加群 H0(X)は点(0次元の図形)、2次ホモロジー加群 H2(X)は曲線(2次元の図形)、3次ホモロジー加群 H3(X)は立体(3次元の図形)を見る。 何を見て
ホモロジー代数学における基本的な結果である蛇の補題で用いられる図式。 ホモロジー代数学（ホモロジーだいすうがく、英: homological algebra）は、一般の代数的な設定のもとでホモロジーを研究する数学の分野である。それは比較的新しい分野であり、その起源は19世紀の終わりの、組み合わせ論的トポロジー（英語版）（代数トポロジーの前身）と抽象代数学（加群や syzygy（英語版） の理論）の、主にアンリ・ポアンカレとダフィット・ヒルベルトによる研究にまでさかのぼる。 ホモロジー代数学の発展は圏論の出現と密接に結びついている。概して、ホモロジー代数はホモロジー的関手とそれから必然的に生じる複雑な代数的構造の研究である。数学においてきわめて有用で遍在する概念の1つはチェイン複体 (chain complex) の概念であり、これはそのホモロジーとコホモロジーの両方を通じて研究できる。ホモ
これはMath Advent Calender 2015の記事です。 de Rhamの定理という、私の好きな幾何の定理についてとてもアバウトに書きます。 微積分のStokesの定理をやったら、ここまで勉強しないと絶対もったいないと思います。 志村五郎先生は著書[志]の中で 「de Rhamの理論（中略）は幾何学において基本的であって、その教育上の、あるいは学習上の、重要性はGauss-Bonnetの定理をはるかに上回る」 「Gauss-Bonnet（中略）の公式は忘れてもかまわないが、de Rhamの定理は忘れてはならないのである」 とおっしゃっています。 さてde Rhamの理論とは、図形の上の微分形式からその図形の穴のあき方がわかるというものです。 微分形式？穴のあき方？ 具体的にざっくり説明しましょう。 $x$-$y$平面上の単位円$S^1$を考えます。 $x$軸の正の部分から反時計
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