米田の補題は既に知られているとして、米田の補題を左カン拡張の枠組みで解釈できるでしょうか？ できます。やってみます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\twoto}{\Rightarrow } \newcommand{\In}{\text{ in } } %\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\op}{\mathrm{op} } \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \require{color} % 緑色 \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }%
米田の補題から言えることのひとつに、「自然変換はそんなに多くはない」ことがあります。2つの関手 $`F, G`$ のあいだの“すべての自然変換”というと、初見では、そもそも通常の集合〈小さい集合〉になるのかさえ不安ですが、たいていは通常の集合として記述可能です。 具体的な事例においては、2つの関手のあいだの自然変換が有限個しかなくて、完全に列挙できることもあります。そんな事例を紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\For}{\text{For } } `$ 二値真偽値の集合を $`{\bf B}`$ とします。$`{\bf B}`$ の2つの要素は何でもいいですが、ここでは、 $`\quad {\bf
６．米田の補題 今回の記事は、米田の補題(Yoneda lemma)である。圏論の定義の中で、個人名がついている定理や補題はそれほど多くない。これから紹介する補題は、数少ない例の一つである。そして、重要な定義であることには間違いない。それも、かなり難解なものと想像してもよいだろう。でも、圏論のすばらしさを知るためには、この補題の理解を欠かすことはできない。 米田の補題はとても抽象的な理論であるが、この理論を正確に理解するためには、具体的な応用例が必要だ。そこで、今回もまた、具体的な例を求めて、長い時間をかけて検討した。やっとまとまったので紹介しよう。 ６．１ 具体例 １） 横歩きするカニ リモコンからの遠隔操作でおもちゃを動かして楽しんでいる人も多いと思う。ラジコン飛行機、レーシングカー、最近では、ドローンだ。コントロールボタンを操作することで、これらの機器が自由に動き回る。何とも面白いお
I am looking at the Yoneda lemma trying to see where the assumption of "locally small" really comes in. Obviously in order to define a functor to the category sets using $Hom$-spaces we need our $Hom$-spaces to be sets. However if we consider a enriched-category, enriched over some non-locally small monoidal category M, then for any element of the category, our $Hom$-sets give us a functor $Hom(A,
概要 Haskell には Co/Yonda 型があり、圏論には米田の補題がある。両者の関連についての分かりやすい解説を見つけられなかったため、ここで米田の補題と Co/Yoneda 型をシームレスに繋ぐことを試みる。 圏論の基礎知識は仮定している。また Co/Yoneda 型は kan-extensions で定義されたものを参照している。 記法 圏論の記法は一般的なものを用いるが、Haskell コードとの比較のし易さのために、圏 $\mathcal C$ における対象 $A$ から対象 $B$ への射の集合 $\mathcal C (A,B)$ を $$ A\underset{\mathcal C}{\rightarrow}B $$ とも書くことにする。 米田の補題によると、圏 $\mathcal C$ とその対象 $A$ ならびに関手 $F:\mathcal C\rightarro
まとめ 黒魔術を使うと米田の補題による制限を回避して自由闊達に関数が書けます。 前提知識 Haskell の知識、多相関数に関する知識を仮定します。圏論の知識はほとんど仮定しません。 説明 記法 F や A などの大文字始まりの型名はすべてなんらかの具体的な型がそこに入ります。 x や a などの小文字始まりの型名は型変数です。(Haskell での流儀と一緒です。) 自然変換 Functor インスタンスが実装されている 2 種類の型 F と G、および多相関数 u :: forall x. F x -> G x について、以下のような法則が成り立つ時、u は自然変換であるといいます。
米田の補題をストリング図で描いておくと、米田同型〈the Yoneda isomorphism〉の作り方を忘れないんじゃないかと思います。$`% \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\twoto}{\Rightarrow } \newcommand{\whitestar}{ \unicode{x2606} } \require{color} \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }% \newcomm
I came across the statement that Yoneda-lemma is a generalization of Cayley`s theorem which states, that every group is isomorphic to a group of permutations. How exactly is Yoneda-lemma a generalization of Cayley`s theorem? Can Cayley's theorem be deduced from Yoneda lemma, is it a generalization of a particular case of Yoneda, or is this instead, a philosophical statement? To me, it seems that Y
概要 Haskell には Co/Yonda 型があり、圏論には米田の補題がある。両者の関連についての分かりやすい解説を見つけられなかったため、ここで米田の補題と Co/Yoneda 型をシームレスに繋ぐことを試みる。 圏論の基礎知識は仮定している。また Co/Yoneda 型は kan-extensions で定義されたものを参照している。 記法 圏論の記法は一般的なものを用いるが、Haskell コードとの比較のし易さのために、圏 $\mathcal C$ における対象 $A$ から対象 $B$ への射の集合 $\mathcal C (A,B)$ を $$ A\underset{\mathcal C}{\rightarrow}B $$ とも書くことにする。 米田の補題によると、圏 $\mathcal C$ とその対象 $A$ ならびに関手 $F:\mathcal C\rightarro
84 What You Needa Know about Yoneda Profunctor Optics and the Yoneda Lemma (Functional Pearl) GUILLAUME BOISSEAU, Department of Computer Science, University of Oxford, UK JEREMY GIBBONS, Department of Computer Science, University of Oxford, UK Profunctor optics are a neat and composable representation of bidirectional data accessors, including lenses, and their dual, prisms. The profunctor represe
#はじめに 前回の投稿から少々考えていたのだが、やや理解が固まったので書いてみる、ただ中身は前回から少しも増えていない。 何を考えていたかというと、リストから差分リストへ変えたことで効率が上がったが、これはたまたまこの場合のみ使えるテクニックなのかあるいは何か背景があるのか？という疑問である。 これの答えはある程度肯定的であって、普通のリストと差分リストの間のような関係がもっと一般的に存在することが分かった、しかもその間を結ぶのが（お気に入りの）米田の補題である、なんと。 つまり、ある種の最適化問題はデータあるいは関数の型を継続渡しスタイルというのに変えるということに帰着していて、かつこれは必ず実行可能である、ということらしい。 元ネタはこれ 多分書いたのはこの人Dr. Georg Martius #継続渡し CPSと略されるこの形式の一般論には深く立ち入らないことにする、というかよく知ら
米田の補題と自然変換 ここでは自然変換を定義し、その上で米田の補題を証明していきます。 数学の色々な概念を導入することは避け、基本的な集合についての知識の範囲内で収まるように説明することを心がけています。 集合と写像 ここではまず圏について述べるために必要な集合と写像の言葉について復習します。 また、これらが圏や関手、自然変換の例を与えることを見ていきます。 様々な集合に関する操作において自然な同一視、自然な写像というものが出てきますが、これらが自然変換の例であるということを述べています。 具体的には写像の集合Homを取る操作や冪集合を取る操作、直積を取る操作などについて書いてあります。 pdf 公開日2018年7月11日 順序集合 ここでは順序集合について紹介しています。 順序集合というのは集合とその要素間の大小関係を抽象化したもので、例えば通常の整数全体の集合に通常の大小関係を定めたも
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