Alternativni red

U matematici, alternativni red je beskonačni red članova

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},$

gdje je a_n ≥ 0 (ili a_n ≤ 0) za sve n. Konačna suma ove vrste reda naziva se alternativna suma. Alternativni red konvergira ako članovi a_n konvergiraju u 0 monotono. Greška E, dobijena aproksimacijom alternativnog reda sa njegovom parcijalnom sumom za n članova, data je sa |E|<|a_n+1|.

Dovoljan uslov da red konvergira je da on konvergira apsolutno. Međutim, imamo i potreban uslov za konvergenciju. Na primjer, harmonijski red

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}},$

divergira, dok alternativni red

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}$

konvergira u prirodni logaritam od 2.

Širi test konvergencije alternativnih redova je Leibnizov test: ako niz $a_{n}$ ponotono opadajući teži nuli, tada red

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n}$

konvergira.

Parcijalna suma

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}a_{k}$

može se koristiti zaaproksimiranje sume konvergentnog alternativnog reda. Ako $a_{n}$ monotono opadajući teži nuli, tada je greška u aproksimaciji manja od $a_{n+1}$. Posljednja opaska i osnova Leibnizovog testa. Uistinu, ako niz $a_{n}$ monotono opadajući teži ka nuli (barem od neke tačka pa nadalje), može se jednostavno pokazati da niz parcijalnih suma Cauchyjev niz. Pretpostavljajući da je $m<n$, imamo

${\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|&=&\displaystyle \left|\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\\ \\&=&\displaystyle a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}<a_{m+1}\end{array}}$

(niz koji monotono opada osigurava da je $a_{k}-a_{k+1}>0$; primijetite da se mora voditi računa da li je $n$parno ili neparno, ali ovo ne mijenja zamisao ovog dokaza)

Pošto je $a_{m+1}\rightarrow 0$ kada je $m\rightarrow \infty$, niz parcijalnih suma je Cauchyjev niz, tako da je red konvergentan. Pošto gornja procjena ne zavisi od $n$, to također pokazuje da je

$\left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|<a_{m+1}.$

Konvergentni alternativni redovi, koji ne konvergiraju apsolutno, su promjeri uslovno konvergentnih redova. Riemannov teorem o redu primijenjuje se kod preraspodjele njihovih članova.

Također pogledajte

• Nörlund-Riceov integral