Mudifica di Uttaedru

In [[giumitria solida]], l' '''uttaedru''' hè un [[puliedru]] incù ottu facci [[triangulu|triangulari]]. L''''uttaedru rigulari''' hè un di i cinqui [[solidu platonicu|solidi platonichi]], chì i so facci sò [[triangulu equilateru|trianguli equilateri]]. Hà sei [[vertici (giumitria)|vertici]] è dodici [[spiculu|spiculi]].

== Aria è vulumu ==
L'[[aria]] <math> A </math> di superficia è u [[vulumu]] <math>V</math> di l'uttaedru rigulari di u quali spiculu hà una lunghezza <math>a</math> sò dati da:
:<math>A=2\sqrt{3}a^2 \approx 3.46410162a^2</math>
:<math>V=\frac{1}{3} \sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3</math>
U vulumu hè 4 volti quiddu d'un [[tetraedru rigulari]] incù spiculi di lunghezza <math>a</math>, mentri 
l'aria di superficia hè u doppiu (apposta ch'edda hè furmata da 8 [[triangulu equilateru|trianguli equilateri]], quandu u tetraedru inveci n'hà 4)

L'[[angulu diedrali]] di l'uttaedru rigulari hè [[arcucusinu|arc cos]](-1/3), apprussimativamenti uguali à 109.47122°.

== Cuurdinati cartisiani ==
[[Image:Octahedron flat.svg|thumb|Un sviluppu di l'uttaedru.]]

Un uttaedru rigulari in u [[spaziu euclidea]] <math>\R^3</math> pò essa [[traslazioni (giumitria)|traslatu]] di manera à avè u centru in l'urighjina, è dopu à oppurtuni [[rutazioni (matematica)|rutazioni]] è [[similitudina (giumitria)|similitudina]] hà i 6 vertici in
:<math>(\pm 1,0,0), </math>
:<math>(0,\pm 1, 0), </math>
:<math>(0, 0, \pm 1). </math> 

==A custruzzioni di Euclide==

[[File:Euclid_Octahedron_1.svg|thumb|Fig. 1: ditarminazioni di u spiculu AC di l'uttaedru iscrittu in a sfera di diamitru AB]]
[[File:Euclid_Octahedron_2.svg|thumb|Fig. 2: custruzzioni di l'uttaedru]]

In u libru XIII di i so [[Elementi_(Euclide)|Elementi]], [[Euclide]] discrivi u metudu par iscriva un uttaedru rigulari in una sfera di diamitru datu. A custruzzioni discritta da Euclide hè a siguenti: 

Sii AB (vedi Fig. 1) u diamitru di a sfera data; si trovi u so puntu mediu D è si tracci un mezuchjerchju di centru D è raghju DA. Si alza a parpindiculari da D, ditarminendu u puntu C nantu à a circumfarenza è infini si cunghjunghjini i punti AC è CB.

Si riplicheghji listessa custruzzioni annantu à i trè piani passendu par AB incù un angulu diedru di 90°, 180° è 270° rispettu à u pianu iniziali (Fig. 2). Si tracciani infini i cunghjunghjenti frà i punti CE, EF, FG è GC.

Hè chjaru ch'è i vertici A, C, E, F è G si trovani annantu à i mezicircumfarenzi custruiti nantu à u diamitru AB, è dunqua si trovani tutti nantu à a superficia di a sfera di listessu diamitru. Par custruzzioni i spiculi chì partini da i vertici A è B sò uguali trà eddi; ma ancu i spiculi CE, EF, FG è GC ani listessa lunghezza: infatti tutti i spiculi di l'uttaedru sò dinò l'iputenusa d'un triangulu rittangulu di u quali i cateti sò raghji di a sfera.

Par ciò chì riguarda u rapportu frà diamitru di a sfera spiculu di l'uttaedru iscrittu, par via di u tiurema di 
Pitagora u quatratu custruitu nantu à u spiculu hè doppiu di u quatratu custruitu nantu à u raghju di a sfera; par via di cunsiquenza u quatratu custruitu nantu à u diamitru hè doppiu di u quatratu custruitu nantu à u spiculu.

== Puliedru duali ==
U [[puliedru duali]] di l'uttaedru rigulari hè u [[cubu]].

== Simmitrii ==
L'uttaedru hà 24 [[simmitria (matematica)|simmitrii]] [[rutazioni (matematica)|rutaziunali]], veni à dì chì priservani l'[[uriintazioni]] di u spaziu, più altri 24 simmitrii chìùn a priservani micca. U [[gruppu di simmitria]] di l'uttaedru conta dunqua un tutali di 48 elementi. 

U [[sottugruppu]] datu da i 24 rutazioni hè [[isumurfisimu|isumorfu]] à u gruppu <math>S_4</math> di i [[parmutazioni|parmutazioni]] di 4 elementi. Ci hè infatti asattamenti una rutazioni chì rializeghja ogni pussibuli parmutazioni di i 4 coppii di facci opposti.

U gruppu tutali di simmitria hè isumorfu à u pruduttu <math>S_4\times\mathbb Z/_{2\mathbb Z}</math> di <math>S_4</math> incù un [[gruppu ciclicu]] incù 2 elementi.

== Impavimenti ==
[[Image:Tetrahedral-octahedral honeycomb.png|thumb|left|Un [[impavimentu di u spaziu]] incù uttaedri è tetraedri.]]
[[Image:TetraOctaHoneycomb-VertexConfig.svg|thumb|Ditagliu di l'impavimentu.]]

L'uttaedru rigulari ùn inghjinireghja micca da solu un [[impavimentu di u spaziu]], parchì i so anguli diedrali ùn sò micca divisori di 360°. Ni inghjinireghja una parò in cumbinazioni incù u [[tetraedru]], com'è mustratu annantu à a figura.

== Da veda dinò ==
* [[Solidu platonicu]]
* [[Uttaedru truncatu]]
* [[Uttaedru iperbolicu]]
*[[Toru (giumitria)]]
*[[Giumitria piana]]
*[[Angulu rettu]]
*[[Catetu]]
*[[Mezaretta]]
*[[Perimetru]]
*[[Sigmentu]]
*[[Triangulu isusceli]]
*[[Triangulu equilateru]]
*[[Tiurema di Pitagora]]
*[[Iputenusa]]
*[[Tangenti]]
*[[Trigunumitria]]
*[[Triangulu]]

[[Categoria:Solidi platonichi]]


== Noti ==
<references/>


==Fonti==
'Ss'articulu pruveni in parti o in tutalità da l'articulu currispundenti di a wikipedia in talianu.