Hlavní kružnice

Hlavní kružnice neboli ortodroma je průnik kulové plochy (sféry) a roviny, která prochází jejím geometrickým středem. Hlavní kružnice je největší kružnice, kterou lze na dané dané kouli vybrat. Průměr každé hlavní kružnice je stejný jako průměr koule a proto mají všechny hlavní kružnice stejný střed a obvod. Hlavní kružnice je speciálním případem sférické kružnice a je opakem malé kružnice, což je průnik kulové plochy s rovinou neprocházející jejím středem. Každá kružnice v eukleidovském prostoru je hlavní kružnicí právě jedné koule.

Pro většinu dvojic různých bodů na povrchu koule existuje jednoznačná hlavní kružnice procházející oběma body. Výjimkou je libovolná dvojice opačných bodů, kterými prochází nekonečně mnoho hlavních kružnic. Kratší oblouk hlavní kružnice mezi dvěma body je nejkratší povrchovou cestou mezi nimi. V tomto smyslu je kratší oblouk obdobou „přímky“ v Eukleidovské geometrii. Délka kratšího oblouku hlavní kružnice je nejkratší vzdálenost mezi dvěma body na povrchu koule v Riemannově geometrii, kde se takové hlavní kružnice nazývají Riemannovské kružnice. Tyto hlavní kružnice jsou geodéziemi koule.

Ve vyšších rozměrech je hlavní kružnice na n-rozměrné sféře průnikem této sféry s libovolnou (2D) rovinou, která prochází počátkem eukleidovského prostoru R^{n + 1}.

Odvození nejkratší cesty

Pro důkaz, že kratší oblouk hlavní kružnice je nejkratší cestou propojující dva body na povrchu koule, můžeme použít variační počet.

Uvažujme třídu všech regulárních cest z bodu $p$ do jiného bodu $q$ . Zavedeme kulové souřadnice tak, aby $p$ byl severním pólem. Jakoukoli křivku na kouli, která neprotíná žádný pól (kromě koncových bodů), lze parametrizovat vztahem

\theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b

za předpokladu, že umožníme, aby $\phi$ nabývalo libovolné reálné hodnoty. Délka infinitezimálního oblouku v těchto souřadnicích je

ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.

Takže délka křivky $\gamma$ z $p$ do $q$ je funkcionálem křivky splňujícím vztah

S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.

Podle Eulerovy–Lagrangeovy rovnice je $S[\gamma ]$ minimální právě tehdy když

{\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C

,

kde $C$ je konstanta nezávislá na $t$ a

{\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}.

Z první z těchto rovnic lze odvodit, že

\phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}

.

Integrováním obou stran i uvažováním okrajových podmínek dostaneme reálné řešení $C=0$ . Tedy $\phi '=0$ a $\theta$ může být jakákoli hodnota mezi 0 a $\theta _{0}$ , což ukazuje, že křivka musí ležet na poledníku. V kartézských souřadnicích to je

x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0

což je rovina procházející počátkem, tj. středem koule.

Aplikace

Hlavní kružnice se používají například v astronomii, kde na nebeské sféře vytváří obzorník, nebeský rovník či ekliptiku. V oblasti matematiky pak pro Funkovu transformaci provádějící integraci dané funkce podél všech hlavních kružnic koule.

Kartografie

Hlavní kružnice se také používají v kartografii jako přesné aproximace geodézií na zemském povrchu pro leteckou nebo námořní navigaci (i když Země není dokonalá koule), i na kulových nebeských tělesech.

Rovník idealizované Země je hlavní kružnice a jakýkoli poledník s opačným poledníkem tvoří také hlavní kružnici. Existuje mnoho dalších hlavních kružnic, například ta, které dělí Zemi na polokouli země a polokouli vody. Každá hlavní kružnice rozděluje Zemi na dvě polokoule, a pokud hlavní kružnice prochází nějakým bodem, musí procházet také bodem k němu opačným.

Malá kružnice

Společně s hlavní kružnicí se v kartografii používá pojem malá kružnice. Jde o průsečnice vzniklé protnutím povrchu idealizované Země rovinou, která neprochází jejím středem. To znamená, že malými kružnicemi jsou mimo jiné také všechny rovnoběžky kromě rovníku.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Great circle na anglické Wikipedii.

Související články

Externí odkazy

Great Circle – from MathWorld Great Circle description, figures, and equations. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999 (Definice, obrázky a rovnice hlavní kružnice)
Great Circles on Mercator's Chart by John Snyder with additional contributions by Jeff Bryant, Pratik Desai, and Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project (Hlavní kružnice na mapách v Mercatorově zobrazení)
Navigational Algorithms Archivováno 16. 10. 2018 na Wayback Machine. Paper: The Sailings. (Algoritmy pro navigaci)
Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix. (Algoritmy pro navigaci; Svobodný mapový software: loxodroma, ortodroma, kompozitní navigace, poledníkové části, atd.)