Methode von Laplace

Die Methode von Laplace ist eine Technik, um Laplace-Integrale asymptotisch zu approximieren, das heißt Integrale der Form

$\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t$

näherungsweise zu lösen. Dabei können $a$ und $b$ auch als $\infty$ gewählt werden.

Je größer $n$ ist, desto besser funktioniert die Approximation. Ein Spezialfall dieser Integrale ist die Laplace-Transformation. Die Methode ist nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace benannt, der sie im Jahre 1774 publizierte.

Eine Verallgemeinerung der Methode auf den komplexen Raum ist die Methode des steilsten Anstiegs (englisch Method of steepest descent).

Aussage

Sei $g\in C^{2}([a,b])$ und es existiere ein striktes Minimum $t_{0}\in (a,b)$ (somit $g'(t_{0})=0$ und $g''(t_{0})>0$). Weiter gelte $f(t_{0})\neq 0$. Dann gilt

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}{e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}}}=1$

oder in der Sprache der asymptotischen Analysis

$\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\sim e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}},\quad {\text{wenn }}n\to \infty$.

Herleitung

Die zugrundeliegende Idee ist folgende:

Der größte Beitrag zum Wert des Integrals stammt von den Punkten in der Umgebung $U_{\varepsilon }(t_{0})$.

Wir nehmen an, dass $n$ sehr groß ist, und schreiben das Integral um:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t&=e^{-ng(t_{0})}\int _{a}^{b}f(t)e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\\&\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Nun bildet man für $g$ die Taylorentwicklung um den Punkt $t_{0}$.

$g(t)=g(t_{0})+g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}+{\mathcal {O}}((t-t_{0})^{3})$

Somit können wir die Approximation machen

${\begin{aligned}g(t)-g(t_{0})&\approx g'(t_{0})(t-t_{0})+{\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\\&={\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\end{aligned}}$

Daraus folgt

$\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t$

Nun können wir das Ganze auf ein Gaußsches Integral auf $[-\infty ,\infty ]$ überführen, da die Werte sich exponentiell von $t_{0}$ entfernen.

${\begin{aligned}e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0}+\varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}&\approx f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})s^{2}}\mathrm {d} s\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\\\end{aligned}}$