Satz von Lax-Wendroff

Der Satz von Lax-Wendroff besagt, dass, falls die numerischen Lösungen einer hyperbolischen Erhaltungsgleichung konvergieren, sie gegen eine schwache Lösung der Gleichung konvergieren. Es handelt sich dabei um eine Aussage aus der numerischen Mathematik, die nach Peter Lax und Burton Wendroff benannt ist.

Satz

Sei eine hyperbolische Erhaltungsgleichung mit Anfangswert $U_{0}$ gegeben:

${\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0,\\U(x,0)&=U_{0}(x),\end{aligned}}$

wobei $U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}$ die gesuchte Funktion und $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ die exakte Flussfunktion ist. Die numerische Flussfunktion sei mit ${\tilde {F}}\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ gegeben. Des Weiteren muss gelten:

1. ${\tilde {F}}$ sei konsistent: Für alle $V\in \mathbb {R} ^{n}$ ist ${\tilde {F}}(V,V)=F(V)$.
2. ${\tilde {F}}$ sei Lipschitz-stetig in jedem Argument.
3. die numerischen Approximationen $U_{\Delta t}$ haben kompakten Träger und beschränkte Variation: $TV\left(U_{\Delta t}(\cdot ,t)\right)<\infty$.

Falls nun die numerischen Approximationen konvergieren:

$\|U_{\Delta t}-U\|_{L^{1}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+})}\longrightarrow 0\quad {\textrm {mit}}\;\Delta t\rightarrow 0$,

so ist $U$ eine schwache Lösung des Anfangswertproblems.

Literatur

• Randall J. LeVeque: Numerical methods for conservation laws. Birkhäuser, 1992, ISBN 978-3-7643-2723-1.