Verbindungsgerade

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In der Mathematik ist der Begriff der Verbindungsgeraden der Geometrie zuzuordnen. Von einer solchen spricht man, wenn innerhalb eines Inzidenzraums $(P,G,I)$ zu zwei gegebenen nicht identischen Punkten eine eindeutig bestimmte Gerade existiert, welche mit beiden in der betreffenden Inzidenzrelation steht.

Definition

Die oben beschriebene Situation ist dadurch gekennzeichnet, dass für diese beiden unterschiedlichen Punkte $p_{1},p_{2}\in P$ und diese Gerade $g\in G$ folgende zwei Bedingungen gelten:

• (V1) $p_{1}Ig\land p_{2}Ig$
• (V2) $\operatorname {card} (\{h\in G\colon p_{1}Ih\land p_{2}Ih\})=1$

Werden von den beiden Punkten und der Geraden die Bedingungen (V1) und (V2) erfüllt, so schreibt man oft

• $g=<p_{1},p_{2}>$

oder

• $g={p_{1}\vee p_{2}}$

oder auch kurz

• $g={p_{1}p_{2}}$ .

In dem hierzu üblichen Sprachgebrauch sagt man dann auch:

• $g$ verbindet die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$.
• $g$ gehört mit den Punkten $p_{1}$ und $p_{2}$ zusammen.
• Die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$ liegen auf $g$.
• $g$ geht durch die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$.
• Die Punkte $p_{1}$ und $p_{2}$ inzidieren mit $g$.
• $g$ inzidiert mit den Punkten $p_{1}$ und $p_{2}$.
• o. ä.

Die so gegebene Gerade $g$ nennt man die Verbindungsgerade von $p_{1}$ und $p_{2}$.

Verbindungsaxiom

In den für die Geometrie besonders wichtigen Inzidenzräumen, also insbesondere in den euklidischen Räumen und genauso in allen affinen Räumen und ebenso in allen projektiven Räumen gilt in Bezug auf Punkte und Verbindungsgeraden durchgängig die folgende grundlegende Bedingung (V):

• (V) Zu je zwei verschiedenen Punkten existiert stets die Verbindungsgerade, also eine Gerade derart, dass (V1) und (V2) erfüllt sind.

Man nennt diese Bedingung das Verbindungsaxiom

Teilräume

Den in der Hauptsache in der Geometrie behandelten Inzidenzräumen - wie etwa den affinen und den projektiven Räumen, aber auch vielen anderen linearen Räumen wie z. B. den Blockplänen - ist gemeinsam, dass Inzidenzrelation von der Elementrelation herrührt und somit die Geraden $g$ Teilmengen der zugehörigen Punktmenge $P$ sind.

Es ist also dann die Geradenmenge Teilmenge der Potenzmenge von $P$ ist, folglich die Beziehung $G\subseteq 2^{P}$ gegeben. In diesem Falle beschreibt man den Inzidenzraum $(P,G,I)$ kurz in der Form $(P,G)$ anstatt in der Form $(P,G,{\in })$.

Unter diesen Gegebenheiten nennt man eine Teilmenge $T\subseteq P$ einen Teilraum von $(P,G)$, wenn mit je zwei verschiedenen Punkten $t_{1},t_{2}\in T$ stets ihre Verbindungsgerade $<t_{1},t_{2}>$ in $T$ enthalten ist, also hierfür stets $<t_{1},t_{2}>\subseteq T$ gilt.

Die Menge ${\mathcal {T}}\subseteq 2^{P}$ bildet ein Hüllensystem und den zugehörigen Hüllenoperator schreibt man oft als $<\;>$.

Für $P_{0}\subseteq P$ gilt demnach

• $<P_{0}>=\bigcap \{T\in {\mathcal {T}}\colon T\supseteq P_{0}\}$.

$<P_{0}>$ ist also der kleinste $P_{0}$ umfassende Teilraum von $(P,G)$.

Im Falle, dass dabei $P_{0}$ eine endliche Menge von Punkten, etwa $P_{0}=\{p_{1},\ldots ,p_{m}\}\;(m\in \mathbb {N} )$, so schreibt man auch

• $<P_{0}>=<p_{1},\ldots ,p_{m}>=p_{1}\vee \ldots \vee p_{m}$.

Im Falle $m=2$ ist $<P_{0}>=<p_{1},p_{2}>=p_{1}\vee p_{2}$, also wiederum die Verbindungsgerade von $p_{1}$ und $p_{2}$.

Historische Anmerkung

In David Hilberts Grundlagen der Geometrie treten (V1) und (V2) als die ersten beiden Axiome (I1) und (I2) der Axiomengruppe I: Axiome der Verknüpfung in Erscheinung.

Quellen

• Gerhard Hessenberg - Justus Diller: Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967, S. 20,220. 
• David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher : Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8, S. 3 ff.  MR1109913
• Helmut Karzel, Kay Sörensen, Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie (= Uni-Taschenbücher. Band 184). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7, S. 11 ff. 
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u.a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 7,52,212. 
• Eberhard M. Schröder: Vorlesungen über Geometrie. 2. Affine und projektive Geometrie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Wien, Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6, S. 2 ff.  MR1166803
• Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller [Bearb.]: Vieweg-Mathematik-Lexikon. Begriffe, Definitionen, Sätze, Beispiele für das Grundstudium. Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 311.