Fixpunkt (Mathematik)

Darstellung eines Fixpunktes. Dieser ist – nach den im Text wiedergegebenen Kriterien – anziehend, das heißt stabil.

In der Mathematik versteht man unter einem Fixpunkt einen Punkt, der durch eine gegebene Abbildung auf sich abgebildet wird. Ein Beispiel: Die Fixpunkte einer Achsenspiegelung sind die Punkte der Spiegelachse. Eine Punktspiegelung hat nur einen Fixpunkt, nämlich deren Zentrum.

Definition

Sei $X$ eine Menge und $f\colon X\to X$ eine Funktion. Dann heißt ein Punkt $x\in X$ Fixpunkt, falls er die Gleichung $f(x)=x$ erfüllt.

Anmerkungen

• Ist $f\colon X\to X$ eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum $X$, dann nennt man die Fixpunkte von $f$ auch Fixvektoren. Da jede lineare Abbildung den Nullvektor auf sich selbst abbildet, ist der Nullvektor immer ein Fixvektor. Wenn es neben dem Nullvektor noch weitere Fixvektoren gibt, so sind diese Eigenvektoren von $f$ bezüglich des Eigenwerts 1.
• Für eine nichtlineare Abbildung ist die dazugehörige Fixpunktgleichung ein Beispiel für eine nichtlineare Gleichung.
• Jede Fixpunktgleichung $f(x)=x$ lässt sich in eine Nullstellengleichung $g(x)=0$ umschreiben, indem man beispielsweise $g(x)=f(x)-x$ setzt. Ebenso lässt sich jede Nullstellengleichung $g(x)=0$ in eine Fixpunktgleichung $f(x)=x$ überführen, indem man z. B. $f(x)=x+g(x)$ setzt. So lassen sich zumindest theoretisch Verfahren zum Lösen einer der beiden Gleichungsformen auch für die jeweils andere verwenden.

Fixpunkte in der Numerik

Darüber hinaus gilt folgendes: Der Fixpunkt ist stabil bzw. instabil, wenn $\left|f{}'(x)\right|$, der Betrag der Ableitung der betrachteten Funktion, im Schnittpunkt $<1$ bzw. $>1$ ist. Dies bedeutet, dass man die Funktion auf den Punkt selbst anwenden kann, ohne ihn zu verändern, wobei eine Störung wenig (bzw. viel) ändert, indem sie zum Fixpunkt hinführt (bzw. vom Fixpunkt wegführt).

Mit dem Fixpunktproblem verwandt ist das Problem der „iterierten Abbildungen“, das in der Numerik und der Chaosforschung wichtig ist. Mit einem vorgegebenen Anfangswert $x_{1}$ beginnend, springt man hier nach dem Schema $x_{n+1}=f(x_{n})$ treppenartig zwischen der Funktion $f(x)$ und der Diagonale hin und her, und zwar zum Fixpunkt hin oder weg von ihm, je nachdem ob der Fixpunkt stabil oder instabil ist. Einzelheiten sind u. a. dem unten angegebenen Buch von H.G. Schuster zu entnehmen.

Verbandstheorie

Auch in der Verbandstheorie spielen Fixpunkte eine Rolle. Ist $(M,\leq )$ eine partielle Ordnung und $f:(M,\leq )\to (M,\leq )$ eine ordnungserhaltende Abbildung, so interessiert man sich auch für die Menge aller Fixpunkte $\mathrm {Fix} (f)$. Diese Menge ist eine Teilmenge von $M$ und wird selbst durch $\leq$ geordnet.

Dann kann man sich fragen, welche Aussagen man über $(\mathrm {Fix} (f),\leq )$ treffen kann. Eines der Hauptresultate ist der Fixpunktsatz von Tarski und Knaster, mit dem man auch den Satz von Cantor-Bernstein-Schröder beweisen kann.

Beispiele

• Die Parabelfunktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, die durch $f(x)=x^{2}$ gegeben ist, hat die zwei Fixpunkte 0 (stabil) und 1 (instabil).
• Sei $V$ ein Vektorraum und $\operatorname {Id} \colon V\to V$ die identische Abbildung, also die Abbildung mit $\operatorname {Id} x=x$, dann sind alle $x\in V$ Fixpunkte (bzw. Fixvektoren).
• Sei ${\mathcal {S}}$ der Schwartz-Raum und ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$ die kontinuierliche Fourier-Transformation. Für die Dichtefunktion $\varphi (x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}^{n}}}\cdot e^{-{\tfrac {1}{2}}x^{2}}$ der $n$-dimensionalen Normalverteilung gilt ${\mathcal {F}}(\varphi )=\varphi$. Daher ist die Dichtefunktion der Normalverteilung ein Fixpunkt der Fourier-Transformation.
• Das Newton-Verfahren $x_{n+1}=x_{n}-{\tfrac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$ entspricht der Fixpunktgleichung $g(x)=x-{\tfrac {f(x)}{f'(x)}}\,$.

Raum mit Fixpunkteigenschaft

→ Hauptartikel: Fixpunkteigenschaft

Definition

Ein topologischer Raum $X$ besitzt die Fixpunkteigenschaft, falls jede stetige Abbildung $f\colon X\to X$ einen Fixpunkt hat.

Beispiele

• Die Sphäre $S^{n}$ besitzt die Fixpunkteigenschaft nicht, denn die Punktspiegelung am Mittelpunkt hat keinen Fixpunkt.
• Eine Vollkugel $D^{n}$ hat die Fixpunkteigenschaft. Dies besagt der Fixpunktsatz von Brouwer.

Fixpunktsätze

→ Hauptartikel: Fixpunktsatz

Die Existenz von Fixpunkten ist Gegenstand einiger wichtiger mathematischer Sätze. Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass eine Kontraktion eines vollständigen metrischen Raumes genau einen Fixpunkt besitzt. Wenn eine Selbstabbildung nur stetig ist, muss der Fixpunkt nicht eindeutig sein und andere Fixpunktsätze zeigen dann nur die Existenz. Dabei stellen sie meist stärkere Voraussetzungen an den Raum, auf dem die Funktion definiert ist. Beispielsweise zeigt der Fixpunktsatz von Schauder die Existenz eines Fixpunktes in einer kompakten, konvexen Teilmenge eines Banachraums. Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung des Fixpunktsatzes von Brouwer, der besagt, dass jede stetige Abbildung der abgeschlossenen Einheitskugel in sich selbst einen Fixpunkt besitzt. Im Gegensatz zu den beiden anderen Sätzen gilt dieser allerdings nur in endlichdimensionalen Räumen, also im $\mathbb {R} ^{n}$ oder im $\mathbb {C} ^{n}$.

Der Fixpunktsatz von Banach liefert außerdem die Konvergenz und eine Fehlerabschätzung der Fixpunkt-Iteration $x_{n+1}=f(x_{n})$ im betrachteten Raum. Dieser Satz ergibt somit ein konkretes numerisches Verfahren zur Berechnung von Fixpunkten.

Siehe auch

• Fixgerade
• Fixpunktgerade
• Autonome Differentialgleichung für Fixpunkte in der qualitativen Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
• Hyperbolischer Fixpunkt

Literatur

• Vasile I. Instrăţescu: Fixed Point Theory. An Introduction (= Mathematics and its Applications. Bd. 7). D. Reidel, Dordrecht u. a. 1981, ISBN 90-277-1224-7.
• Yuri A. Shashkin: Fixed Points. 1. Auflage. American Mathematical Society, 1991, ISBN 0-8218-9000-X (com.gi).