Lemma von Riesz

Das Lemma von Riesz, benannt nach dem ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz, ist ein Satz der Funktionalanalysis über abgeschlossene Unterräume von normierten Räumen.

Aussage

Gegeben seien ein normierter Raum $X$, ein abgeschlossener echter Untervektorraum $U$ von $X$ und eine reelle Zahl $0<\theta <1$.

Dann existiert ein Element ${\hat {x}}\in X$ mit $\|{\hat {x}}\|=1$, so dass gilt:

$\mathrm {d} ({\hat {x}},U)=\inf _{u\in U}\|{\hat {x}}-u\|\geq \theta$.

Ist $U$ endlichdimensional oder allgemeiner reflexiv, dann kann $\theta =1$ gewählt werden.

Motivation

In einem endlichdimensionalen euklidischen Raum gibt es zu jedem echten Teilraum $U$ einen darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor $x$. Der Abstand eines beliebigen Punktes $u$ aus $U$ zu $x$ beträgt dann mindestens eins, der Wert eins wird exakt für $u=0$ angenommen.

In einem normierten Raum ist der Begriff des „Senkrechtstehens“ im Allgemeinen nicht definierbar. Insofern ist die Formulierung des Lemmas von Riesz eine sinnvolle Verallgemeinerung. Auch ist es nicht selbstverständlich, dass außerhalb eines Teilraumes noch Vektoren mit positivem Abstand zu diesem existieren.

Beweisskizze

Es gibt einen Punkt $w$ außerhalb des echten Teilraumes $U$. Da $U$ abgeschlossen ist, muss der Abstand von $w$ zu $U$ positiv sein. Sei ein $0<\theta <1$ vorgegeben und $u_{0}$ ein Punkt in $U$ mit

$0<\mathrm {d} (w,U)\leq \|w-u_{0}\|<{\frac {1}{\theta }}\mathrm {d} (w,U)$.

Ein solches $u_{0}$ existiert stets, da zwar $\mathrm {d} (w,U)$, nicht aber ${\frac {1}{\theta }}\mathrm {d} (w,U)$ eine untere Schranke der Abstände von $w$ zu Punkten aus $U$ ist.

Wähle als Element ${\hat {x}}\in X$:

${\hat {x}}:={\frac {w-u_{0}}{\|w-u_{0}\|}}$

Dieses ist normiert per Konstruktion. Für ein beliebiges $u\in U$ gilt:

$\|{\hat {x}}-u\|=\left\|{\frac {w-u_{0}}{\|w-u_{0}\|}}-u\right\|={\frac {1}{\|w-u_{0}\|}}\cdot \|w-\underbrace {u_{0}-\|w-u_{0}\|\cdot u} _{\in U}\|\geq {\frac {\mathrm {d} (w,U)}{\|w-u_{0}\|}}\geq \theta$.

Für den Abstand gilt also:

$\mathrm {d} ({\hat {x}},U)\geq {\frac {\mathrm {d} (w,U)}{\|w-u_{0}\|}}\geq \theta$.

Folgerungen

Aus dem Lemma von Riesz folgt, dass jeder normierte Raum, in dem die abgeschlossene Einheitskugel kompakt ist, endlichdimensional sein muss. Auch die Umkehrung dieses Satzes ist richtig (Kompaktheitssatz von Riesz).

Sei $X$ ein unendlichdimensionaler Banachraum, dann enthält die Einheitskugel eine abzählbare Folge disjunkter offener Kugeln mit gleichem Radius. Beweisskizze: Sei $x_{1}\in X$ mit $\|x_{1}\|=1$ und $U_{1}=\operatorname {span} \{x_{1}\}$. Wendet man nun das Lemma von Riesz an, dann existiert für $0<\varepsilon <1$ ein Punkt $x_{2}\in X$ mit $\|x_{2}\|=1$ und $d(x_{2},U_{1})\geq 1-\varepsilon$. Man wiederholt das Lemma von Riesz für $U_{2}=\operatorname {span} \{x_{1},x_{2}\}$ und dann sukzessive für $U_{3}=\operatorname {span} \{x_{1},x_{2},x_{3}\}$ usw. Wählt man nun $\varepsilon ={\tfrac {1}{4}}$, dann bildet die Folge ${\tfrac {3}{4}}x_{1},{\tfrac {3}{4}}x_{2},\ldots$ die Mittelpunkte der Bälle.