4次元とは (ヨジゲンとは) [単語記事]

4次元とは、次元が4つあるもののことである。

概要

空間内の点の位置を表す際に、直線上なら1つの数、平面上なら2つの数、3次元空間内なら3つの数で表現できる。こういった、「空間内の点をいくつの数で表現できるか」を次元という。4次元では、点の位置を表す際に4つの数を必要としており、3次元空間にさらに1つの座標軸が加わったものとも言える。長さの軸が4つある空間も4次元であり、複素数2つの組も、(実数上では)4次元となる。

物理学における4次元

物理学では、3次元空間と時間軸を合わせて、4次元時空として扱うことがある。相対性理論では時間と空間が互いに影響し合うので、4次元のミンコフスキー時空で考える。しばしば「第4の次元は時間」などといわれるが、ニュートン力学では時間は空間から独立しているので、一緒にして扱う必要性はない。

フィクションにおける4次元

フィクションでは、入れ物に何かを出し入れするシーンなどで、その量が入れ物の大きさを明らかに上回っている場合に「4次元」と言われることがある。作画ミスもあれば、意図的にそのように描いている（ツッコミ待ち）場合もある。そんなに大きな物を格納するには次元が多くないと成り立たない、という考えからなのだろう。ドラえもんの四次元ポケットが大きく影響しているとも考えられる。

多胞体

多面体の4次元バージョン。3次元の多面体を複数貼り合わせることによって作られる。正多面体の4次元バージョンを正多胞体という。すべて合同な正多面体から構成され、かつ各頂点に同じ数の正多面体が集まる多胞体のことである。

以下、正多胞体について列挙する。

正五胞体: 正四面体の4次元バージョン。4次元正単体ともいう。正四面体の各頂点からの長さが、すべて1辺の長さになるように点を1つだけとって、線で結んだもの。正四面体を5個貼り合わせたものであり、10本の辺、10枚の正三角形をもつ。
正八胞体: 立方体の4次元バージョン。4次元超立方体ともいう。2つの立方体を平行に、対応する頂点が立方体に対して垂直に、かつ距離が1辺の長さになるように配置し、線で結んだもの。立方体を8個貼り合わせたものであり、32本の辺、24枚の正方形をもつ。
正十六胞体: 正八面体の4次元バージョン。4次元正軸体ともいう。正八面体の両側に、各頂点からの距離がすべて1辺の長さになるようにそれぞれ点をとり、線で結んだもの。正四面体を16個貼り合わせたものであり、24本の辺、32枚の正三角形をもつ。
正二十四胞体: 4次元ならではの図形であり、対応する3次元の正多面体はない。正八面体を24個貼り合わせたものであり、96本の辺、96枚の正三角形をもつ。
正百二十胞体: 正十二面体の4次元バージョン。正十二面体を120個貼り合わせたものであり、1200本の辺、720枚の正五角形をもつ。
正六百胞体: 正二十面体の4次元バージョン。正四面体を600個貼り合わせたものであり、720本の辺、1200枚の正三角形をもつ。

投影図

4次元の図形を理解する方法のひとつとして、3次元への投影がある。イメージとしては、4次元の図形に光を当て、3次元のスクリーンに映す、といった感じ。投影の仕方は様々あるが、ここでは2種類の方法について述べる。ひとつは、平行な光を当てること。もうひとつは、1点から放射状の光を当てることである。

前者の方法では図形の大まかなイメージがしやすいが、本来交わらない面が交わってしまう。後者の方法では辺や面の間のつながりを保つことができるが、元の図形とはかけ離れた形になってしまう。4次元方向の奥行きは、後者の方法では中心との距離に対応し、光源から遠いものほど、3次元に射影したときに中心に近い位置になる。形が入れ子構造になっているのはそのため。

以下に挙げる図では、単独で載っているものは後者の方法をとっている。2つ載っているものは前者、後者の順であり、辺の色は対応している。お絵カキコは2次元なので、厳密には3次元投影図をさらに2次元に投影したものである(2次元への投影の仕方は前者の方法に従う)。

尚、実際の4次元の図形は、すべての頂点、辺、面、多面体が外側にある。辺の長さはすべて等しく、構成する面や多面体はすべて合同である。

注意：以下の図は、描いた人(＝当記事初版～第6版編集者)の憶測を含みます。正確な図である保証はありません。