Zur Erhaltung von Struktur und Flachheit bei der torbasierten Ortsdiskretisierung

Paul Kotyczka

doi:10.1515/auto-2018-0021

Published by De Gruyter (O) July 13, 2018

Zur Erhaltung von Struktur und Flachheit bei der torbasierten Ortsdiskretisierung

On the preservation of structure and flatness in port-based spatial discretization

Paul Kotyczka
Paul Kotyczka ist Akademischer Rat am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Technischen Universität München und leitet die Arbeitsgruppe Energiebasierte Modellbildung und Regelung. Er beschäftigt sich mit der Modellbildung und strukturerhaltenden numerischen Verfahren für port-Hamiltonsche Systeme sowie der nichtlinearen Steuerung und Regelung.

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https://doi.org/10.1515/auto-2018-0021

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Zusammenfassung

Mit einem kürzlich vorgestellten gemischten Galerkin-Ansatz lassen sich Port-Hamiltonsche Systeme hyperbolischer Erhaltungsgleichungen in beliebiger Ortsdimension strukturerhaltend diskretisieren. Der Ansatz ist ebenso für parabolische Systeme in strukturierter Darstellung geeignet. Dieser Beitrag fasst die Methode zusammen. Weiterhin werden die Struktur und Approximationsgüte der resultierenden endlich-dimensionalen Zustandsraummodelle in Abhängigkeit der Entwurfsfreiheitsgrade analysiert. Hierzu werden exemplarisch die eindimensionale lineare Wellen- und Wärmeleitungsgleichung betrachtet und zunächst Eigenwertlagen und Lösungen von Anfangswertaufgaben analysiert. Im Hinblick auf den Steuerungsentwurf wird die Erhaltung eines flachen Ausgangs für die Wärmeleitungsgleichung nachgewiesen und die Güte der angenäherten Randsteuerungen untersucht.

Abstract

A recently proposed mixed Galerkin approach allows for the structure-preserving discretization of hyperbolic systems of conservation laws in Port-Hamiltonian form in arbitrary spatial dimension. The approach is also suitable for parabolic systems in a structured representation. In this contribution, we summarize the method and analyze the structure and the approximation quality of the resulting finite-dimensional state space models depending on the design degrees of freedom. To this end, we consider the examples of the linear wave and heat equation and first analyze the eigenvalue locations and solutions of initial value problems. Concerning the design of feedforward control, we show conservation of a flat output for the heat equation and examine the quality of the approximate boundary controls.

Schlagwörter: Port-Hamiltonsche Systeme; Erhaltungsgleichungen; Stokes-Dirac-Strukturen; strukturerhaltende Diskretisierung; Flachheit

Keywords: Port-Hamiltonian systems; conservation laws; Stokes-Dirac structures; structure-preserving discretization; flatness

Funding source: Horizon 2020 Marie Skłodowska-Curie

Award Identifier / Grant number: 655204

Funding source: Agence Nationale de la Recherche

Award Identifier / Grant number: ANR-16-CE92-0028

Funding source: Deutsche Forschungsgemeinschaft

Award Identifier / Grant number: 4750/1-1

Funding statement: Teile der Arbeit entstanden an der Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, LAGEP UMR 5007, Frankreich mit Förderung durch die Europäische Kommission, Horizon 2020 Marie Skłodowska-Curie Individual Fellowship, Projekt Nr. 655204, und die Agence Nationale de la Recherche (ANR), Projekt INFIDHEM, ID ANR-16-CE92-0028. Weitere Teile der Arbeit entstanden im Rahmen des DFG-Vorhabens Steuerung und Regelung verteilt-parametrischer Systeme auf Basis diskretisierter Port-Hamiltonscher Modelle, Geschäftszeichen KO 4750/1-1.

About the author

Paul Kotyczka

Paul Kotyczka ist Akademischer Rat am Lehrstuhl für Regelungstechnik der Technischen Universität München und leitet die Arbeitsgruppe Energiebasierte Modellbildung und Regelung. Er beschäftigt sich mit der Modellbildung und strukturerhaltenden numerischen Verfahren für port-Hamiltonsche Systeme sowie der nichtlinearen Steuerung und Regelung.

Danksagung

Der Autor dankt den Gutachtern für die wertvollen Hinweise.

Appendix A Differentialformen

Dieser Anhang stellt eine knappe Übersicht der wichtigsten Rechenregeln mit Differentialformen vor. Als Referenzen seien [36] und die entsprechenden Abschnitte von [37] empfohlen. Für Funktionenräume von Differentialformen wird auf [38] verwiesen.

Differentielle k-Formen sind per Definition k-lineare, alternierende Abbildungen von k Vektorfeldern in einem Punkt des Tangentialraums einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit (wir betrachten ausschließlich Ω⊂Rn) auf die reellen Zahlen. Λk(Ω) bezeichnet den Raum der differentiellen k-Formen mit glatten Koeffizientenfunktionen über Ω, dessen Basis sich aus den k-fachen äußeren Produkten (siehe weiter unten) der Differentiale {dz1,dz2,…,dzn} ergibt. Differentielle k-Formen enthalten (salopp gesprochen) bereits die erforderlichen Differentiale für die Integration und erlauben eine koordinatenfreie Darstellung der Integration über Ortsgebiete entsprechender Dimension. Ein Vorteil der Verwendung von Differentialformen liegt in einem einheitlichen Differentialoperator d:Λk(Ω)→Λk+1(Ω). Die äußere Ableitung d erfüllt die Komplex-Eigenschaft d∘d=0 und erlaubt die einheitliche Formulierung der verschiedenen Integralsätze durch den verallgemeinerten Satz von Stokes

(89)∫Ωdω=∫∂Ωtrω,∀ω∈Λn−1(Ω).

Der Spuroperator tr definiert die Fortsetzung von ω auf dem Rand des offenen Gebietes. Beim Rechnen mit Differentialformen λ∈Λk(Ω), μ∈Λl(Ω) sind die Regeln

(90)λ∧μ=(−1)klμ∧λ,

(91)d(λ∧μ)=dλ∧μ+(−1)kλ∧dμ,

zu beachten, wobei ∧:Λk(Ω)×Λl(Ω)→Λk+l(Ω) das alternierende äußere Produkt oder Keilprodukt darstellt. Mit dem Satz von Stokes erhält man für λ∈Λk(Ω) und μ∈Λn−k−1(Ω) die partielle Integrationsformel

(92)⟨dλ|μ⟩Ω=⟨trλ|trμ⟩∂Ω−(−1)k⟨λ|dμ⟩Ω,

wobei

(93)⟨λ|ν⟩Ω:=∫Ωλ∧ν

das Dualitätsprodukt oder die natürliche Paarung zweier Differentialformen λ∈Λk(Ω) und ν∈Λn−k(Ω) abkürzt. Der Hodge-Stern-Operator∗:Λk(Ω)→Λn−k(Ω) erlaubt es, ein inneres Produkt, z. B. das L2-Produkt (α,β)Ω zweier Differentialformen α,β∈Λk(Ω) mit Koeffizientenfunktionen αi, βi durch das Dualitätsprodukt auszudrücken:

(94)(α,β)Ω=∫Ω∑iαiβidΩ=:⟨α|∗β⟩Ω.

Die zweimalige Anwendung des Hodge-Operators auf α∈Λk(Ω) ändert ggf. das Vorzeichen:

(95)∗∗α=(−1)k(n−k)α.

Die musikalischen Isomorphismen ♭ und ♯ erzeugen aus einer 1-Form ein Vektorfeld mit identischen Komponenten und umgekehrt. Unter Beachtung der dargestellten Rechenregeln lassen sich die Differentialoperatoren aus der Vektorrechnung wie folgt ausdrücken:

(96)gradf=(df)♯,rotg=(∗(dg♭))♯,divg=∗d(∗g♭).

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Received: 2018-02-27

Accepted: 2018-05-14

Published Online: 2018-07-13

Published in Print: 2018-07-26

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