Μέθοδος Ντ'Οντ

Η μέθοδος Ντ'Οντ (ονομάζεται και μέθοδος Τζέφερσον) είναι μεθοδολογία για την κατανομή των εδρών μετά από εκλογές κομμάτων με σύστημα αναλογικής εκπροσώπησης. Βασίζεται στους υψηλότερους μέσους όρους. Η μέθοδος ονομάστηκε Τζέφερσον στις ΗΠΑ, προς τιμήν του Τόμας Τζέφερσον, ο οποίος την εισήγαγε το 1792 για την κατανομή των εδρών στην Αμερικανική Βουλή των Αντιπροσώπων, ενώ στην Ευρώπη ονομάστηκε προς τιμήν του Βέλγου μαθηματικού Βικτόρ Ντ'Οντ, ο οποίος το 1878 την περιέγραψε σε ένα από τα έργα του.

Τα συστήματα αναλογικής εκπροσώπησης αποσκοπούν στην κατανομή των εδρών μεταξύ των κομμάτων ανάλογα με τον αριθμό των ψήφων που συγκέντρωσαν. Δηλαδή, εάν ένα κόμμα συγκεντρώσει το 1/3 των ψήφων τότε του αναλογεί το 1/3 των εδρών. Πρακτικά, η απόλυτη αναλογικότητα είναι αδύνατη επειδή από τις διαιρέσεις δεν προκύπτουν μόνο ακέραιοι αριθμοί αλλά και κλάσματα. Γι'αυτό, έχει αναπτυχθεί μία ποικιλία μεθόδων, όπως η Ντ'Οντ, που αυξάνουν την αναλογικότητα, και ελαχιστοποιούν τις διαφόρων ειδών δυσαναλογίες. Η γενική άποψη είναι ότι η Ντ'Οντ ευνοεί περισσότερο τα μεγάλα κόμματα και τις συμμαχίες, ενώ αφήνει τα μικρά κόμματα εκτός κοινοβουλίου. Η μέθοδος Ντ'Οντ χρησιμοποιείται σε εκλογικά συστήματα σε όλον τον κόσμο.

Περιγραφή

Αφού καταμετρηθούν όλες οι ψήφοι, υπολογίζονται οι διαδοχικοί λόγοι για κάθε κόμμα και το κόμμα με το μεγαλύτερο πηλίκο κερδίζει μία έδρα. Μετά, υπολογίζεται ο νέος λόγος, και επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία μέχρι να πληρωθούν όλες οι έδρες. Ο λόγος δίνεται από τον τύπο:

${\text{λόγος}}={\frac {V}{s+1}}$

όπου:

• V είναι ο συνολικός αριθμός ψήφων που συγκέντρωσε το κόμμα
• s είναι ο αριθμός των εδρών που έχει κερδίσει το κόμμα μέχρι στιγμής, και στην αρχή είναι 0 για όλα τα κόμματα.

Οι συνολικός αριθμός ψήφων που συγκέντρωσε ένα κόμμα σε μία εκλογική περιφέρεια διαιρείται, πρώτα με 1, μετά με 2, με 3, κ.ο.κ. μέχρι τον αριθμό των εδρών που πρέπει να πληρωθούν. Έστω ότι υπάρχουν p κόμματα και s έδρες. Τότε θα προκύψει ένας πίνακας αριθμών, με p σειρές και s στήλες, στον οποίο το στοιχείο που βρίσκεται στην σειρά i και στη στήλη j είναι ο αριθμός των ψήφων που κέρδισε το κόμμα i, διαιρεμένος με τον αριθμό j . Τα s στοιχεία που κερδίζουν είναι οι s υψηλότεροι αριθμοί ολόκληρου του πίνακα, και σε κάθε κόμμα αναλογούν τα στοιχεία που κέρδισαν στη σειρά του.

Παράδειγμα

Έστω ότι 230.000 εκλογείς ψηφίζουν για 8 έδρες που πρέπει να μοιραστούν μεταξύ 4 κομμάτων. Αφού πρέπει να πληρωθούν 8 έδρες, ο συνολικός αριθμός ψήφων που συγκέντρωσε κάθε κόμμα διαιρείται πρώτα με 1, μετά με 2, 3 και 4 (και αν χρειαστεί με 5, 6, 7, μέχρι και 8). Τα 8 υψηλότερα στοιχεία, που επισημαίνονται με αστερίσκους, κυμαίνονται σε ένα εύρος από 100.000 έως 25.000. Έκαστο αντιστοιχεί σε μία έδρα που διατέθηκε σε ένα κόμμα.

Η "πραγματική αναλογία" είναι ο αριθμός των εδρών που αναλογούν στο κόμμα βάσει του αριθμού ψήφων που συγκέντρωσε, αν επιτρέπονται οι δεκαδικοί αριθμοί. (π.χ. 100.000 / 230.000   ×   8   =   3.48). Από τη σύγκριση των στηλών "πραγματική αναλογία" και "έδρες που κέρδισε το κόμμα" φαίνεται ότι η μέθοδος Ντ'Οντ ευνοεί το μεγάλο κόμμα, επιβραβεύοντάς το με περισσότερες έδρες, ενώ δεν δίνει καμία έδρα στο μικρό κόμμα παρά τις ψήφους που συγκέντρωσε.

γύρος (1 έδρα ανά γύρο)	1	2	3	4	5	6	7	8	έδρες που κέρδισε
Κόμμα Α (λόγος) έδρες μετά το γύρο	100.000 1	50.000 1	50.000 2	33,333 2	33,333 3	25.000 3	25.000 3	25.000 4	4
Κόμμα Β (λόγος) έδρες μετά το γύρο	80.000 0	80.000 1	40.000 1	40.000 2	26,667 2	26,667 2	26,667 3	20.000 3	3
Κόμμα Γ (λόγος) έδρες μετά το γύρο	30.000 0	30.000 0	30.000 0	30.000 0	30.000 0	30.000 1	15.000 1	15.000 1	1
Κόμμα Δ (λόγος) έδρες μετά το γύρο	20.000 0	20.000 0	20.000 0	20.000 0	20.000 0	20.000 0	20.000 0	20.000 0	0

Ο παρακάτω πίνακας δείχνει έναν εύκολο τρόπο εκτέλεσης των υπολογισμών:

Παρονομαστής	/ 1	/ 2	/ 3	/ 4	Έδρες που κέρδισε (*)	Πραγματική αναλογία
Κόμμα Α	100.000 *	50.000 *	33,333 *	25.000 *	4	3.5
Κόμμα Β	80.000 *	40.000 *	26,667 *	20.000	3	2.8
Κόμμα Γ	30.000 *	15.000	10.000	7,500	1	1.0
Κόμμα Δ	20.000	10.000	6,667	5.000	0	0.7
Σύνολο					8	8

Παράμετροι αξιολόγησης της μεθόδου Ντ'Οντ

Η μέθοδος Ντ'Οντ ευνοεί κάποια κόμματα περισσότερο από άλλα. Ένα μέτρο αυτής της τάσης είναι ο δείκτης πλεονεκτήματος. Για ένα κόμμα $p\in \{1,\dots ,P\}$, όπου $P$ είναι ο συνολικός αριθμός των εδρών, ο δείκτης πλεονεκτήματος είναι:

$a_{p}={\frac {s_{p}}{v_{p}}},$

όπου

$s_{p}$ - το μερίδιο εδρών που πήρε το κόμμα $p$, $s_{p}\in [0,1],\;\sum _{p}s_{p}=1$ ,

$v_{p}$ - το μερίδιο ψήφων που συγκέντρωσε το κόμμα $p$, $v_{p}\in [0,1],\;\sum _{p}v_{p}=1$ .

Ο μέγιστος δείκτης πλεονεκτήματος:

$\delta =\max _{p}a_{p},$

είναι μέτρο του πόσο υπερεκπροσωπήθηκε το κόμμα που ευνοήθηκε περισσότερο από τη μέθοδο Ντ'Οντ. Η κατανομή των εδρών πρέπει να γίνεται έτσι ώστε ο λόγος δ να λαμβάνει τη μικρότερη δυνατή τιμή:

$\delta ^{*}=\min _{\mathbf {s} \in {\mathcal {S}}}\max _{p}a_{p}$ ,

όπου $\mathbf {s} =\{s_{1},\dots ,s_{P}\}$ είναι μια έδρα που ανήκει σε ένα σύνολο εδρών ${\mathcal {S}}$. Ο μαθηματικός Γιούραϊ Μεντιόρσκι έδειξε ότι η μέθοδος Ντ'Οντ μοιράζει τις ψήφους στα κόμματα, αφήνοντας ένα σύνολο υπολειπόμενων ψήφων που υπολογίζονται με τον τύπο:

$\pi ^{*}=1-{\frac {1}{\delta ^{*}}}$ .

Τα υπόλοιπα ενός κόμματος $p$ είναι:

$r_{p}=v_{p}-(1-\pi ^{*})s_{p},\;r_{p}\in [0,v_{p}],\sum _{p}\,r_{p}=\pi ^{*}$ .

Δηλαδή, έστω ότι εξετάζεται το παραπάνω παράδειγμα με τα 4 κόμματα. Οι δείκτες πλεονεκτήματος για τα 4 κόμματα είναι 1,2 για το Α, 1,1 για το Β, 1 για το Γ και 0 για το Δ. Ο αντίστροφος αριθμός του μεγαλύτερου δείκτη πλεονεκτήματος είναι $1/1.15=0.87=1-\pi ^{*}$ . Τα ποσοστά των υπολειπόμενων ψήφων ως προς των συνολικό αριθμό ψήφων είναι 0% για το Α, 2,2% για το Β, 2,2% για Γ και 8,7% για Δ. Το άθροισμά τους είναι 13%, ήτοι $1-0.87=0.13$ . Η διάκριση των ψήφων σε αντιπροσωπευτικούς και υπολειπόμενους εμφανίζεται στον παρακάτω πίνακα.

Κόμμα	Ψήφοι ποσοστό	Έδρες ποσοστό	Δείκτης πλεονεκτήματος	Υπολειπόμενοι ψήφοι	Αντιπροσωπευτικοί ψήφοι
Α	43,5%	50,0%	1.15	0.0%	43,5%
Β	34,8%	37,5%	1,08	2,2%	32,6%
Γ	13,0%	12,5%	0,96	2,2%	10,9%
Δ	8,7%	0.0%	0,00	8,7%	0.0%
Σύνολο	100%	100%	-	13%	87%
Κατανομή οκτώ εδρών με τη μέθοδο Ντ'Οντ