Ομογενές πολυώνυμο

Στα μαθηματικά, ένα ομογενές πολυώνυμο, μερικές φορές αποκαλούμενο κβαντικό πολυώνυμο σε παλαιότερα κείμενα, είναι ένα πολυώνυμο του οποίου όλοι οι μη μηδενικοί όροι έχουν τον ίδιο βαθμό. Παραδείγματος χάριν, το $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ είναι ένα ομογενές πολυώνυμο βαθμού 5, σε δύο μεταβλητές- το άθροισμα των εκθετών σε κάθε όρο είναι πάντα 5. Το πολυώνυμο $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}$ δεν είναι ομογενές, επειδή το άθροισμα των εκθετών δεν ταιριάζει από όρο σε όρο. Η συνάρτηση που ορίζεται από ένα ομογενές πολυώνυμο είναι πάντα μια ομογενής συνάρτηση.

Μια αλγεβρική μορφή, ή απλώς μορφή, είναι μια συνάρτηση που ορίζεται από ένα ομογενές πολυώνυμο. Μια δυαδική μορφή είναι μια μορφή με δύο μεταβλητές. Μια μορφή είναι επίσης μια συνάρτηση που ορίζεται σε έναν διανυσματικό χώρο, η οποία μπορεί να εκφραστεί ως ομογενής συνάρτηση των συντεταγμένων πάνω σε οποιαδήποτε βάση.

Ένα πολυώνυμο βαθμού 0 είναι πάντα ομογενές- είναι απλώς ένα στοιχείο του πεδίου ή του δακτυλίου των συντελεστών, που συνήθως ονομάζεται σταθερά ή βαθμωτό. Μια μορφή βαθμού 1 είναι μια γραμμική μορφή. Μια μορφή βαθμού 2 είναι μια τετραγωνική μορφή. Στη γεωμετρία, η ευκλείδεια απόσταση είναι η τετραγωνική ρίζα μιας τετραγωνικής μορφής.

Τα ομογενή πολυώνυμα είναι πανταχού παρόντα στα μαθηματικά και τη φυσική. Παίζουν θεμελιώδη ρόλο στην αλγεβρική γεωμετρία, καθώς μια προβολική αλγεβρική ποικιλία ορίζεται ως το σύνολο των κοινών μηδενικών ενός συνόλου ομογενών πολυωνύμων.

Ιδιότητες

Ένα ομογενές πολυώνυμο ορίζει μια ομογενή συνάρτηση. Επομένως, αν ένα πολυμεταβλητό πολυώνυμο P είναι ομογενές βαθμού d, τότε

$P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})\,,$

για κάθε $\lambda$ σε οποιοδήποτε πεδίο που περιέχει τους συντελεστές του P. Αντίστροφα, αν η παραπάνω σχέση ισχύει για άπειρα πολλά $\lambda$ τότε το πολυώνυμο είναι ομογενές βαθμού d.

Ειδικότερα, αν το P είναι ομογενές τότε

$P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0,$

για κάθε $\lambda .$ Αυτή η ιδιότητα είναι θεμελιώδης στον ορισμό μιας προβολικής ποικιλίας.

Κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο μπορεί να αναλυθεί, με μοναδικό τρόπο, ως άθροισμα ομογενών πολυωνύμων διαφορετικού βαθμού, τα οποία ονομάζονται ομογενείς συνιστώσες του πολυωνύμου.

Λαμβάνοντας υπόψιν έναν πολυωνυμικό δακτύλιο $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ πάνω από ένα πεδίο (ή, γενικότερα, έναν δακτύλιο) K, τα ομογενή πολυώνυμα βαθμού d σχηματίζουν έναν διανυσματικό χώρο (ή μια ενότητα), που συνήθως συμβολίζεται με $R_{d}.$. Η παραπάνω μοναδική διάσπαση σημαίνει ότι ο $R$ είναι το άμεσο άθροισμα των$R_{d}$ (άθροισμα επί όλων των μη αρνητικών ακεραίων αριθμών).

Η διάσταση του διανυσματικού χώρου (ή της ελεύθερης μονάδας) $R_{d}$ είναι ο αριθμός των διαφορετικών μονώνυμων βαθμού d σε n μεταβλητές (δηλαδή ο μέγιστος αριθμός μη μηδενικών όρων σε ένα ομογενές πολυώνυμο βαθμού d σε n μεταβλητές). Είναι ίσος με τον διωνυμικό συντελεστή

${\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.$

Τα ομογενή πολυώνυμα ικανοποιούν την ταυτότητα του Όιλερ για τις ομογενείς συναρτήσεις. Δηλαδή, αν το P είναι ένα ομογενές πολυώνυμο βαθμού d στα απροσδιόριστα $x_{1},\ldots ,x_{n},$ έχουμε, όποιος είναι ο αντιμεταθετικός δακτύλιος των συντελεστών,

$dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},$

όπου $\textstyle {\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$ δηλώνει την τυπική μερική παράγωγο του P ως προς $x_{i}.$

P σε σχέση με $x_{i}.$

Ομογενοποίηση

Ένα μη ομογενές πολυώνυμο P(x₁,...,x_n) μπορεί να ομογενοποιηθεί εισάγοντας μια πρόσθετη μεταβλητή x₀ και ορίζοντας το ομογενές πολυώνυμο που μερικές φορές συμβολίζεται ως ^hP:

${^{h}\!P}(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})=x_{0}^{d}P\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{x_{0}}}\right),$

όπου d είναι ο βαθμός του P. Παραδείγματος χάριν, εάν

$P(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}+7,$

τότε

$^{h}\!P(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{3}^{3}+x_{0}x_{1}x_{2}+7x_{0}^{3}.$

Ένα ομογενοποιημένο πολυώνυμο μπορεί να αποδομηθεί θέτοντας την πρόσθετη μεταβλητή x₀ = 1. Δηλαδή

$P(x_{1},\dots ,x_{n})={^{h}\!P}(1,x_{1},\dots ,x_{n}).$

Χρήση στην αλγεβρική γεωμετρία

Ακριβώς όπως μια αφινική αλγεβρική ποικιλία πάνω από το Κ είναι ο τόπος ακύρωσης, σε έναν αφινικό χώρο Kⁿ, μιας οικογένειας πολυωνύμων με n μεταβλητές και συντελεστές στο Κ, μια προβολική ποικιλία πάνω από το Κ είναι ο τόπος ακύρωσης, σε έναν προβολικό χώρο P_n(K), μιας οικογένειας ομογενών πολυωνύμων με n + 1 μεταβλητές και συντελεστές στο Κ.

Παραδείγματος χάριν, μια αφινική αλγεβρική καμπύλη στον K² μπορεί να οριστεί ως το σημείο μηδενισμού ενός πολυωνύμου με δύο μεταβλητές και συντελεστές στον K. Αν θέλουμε να ορίσουμε μια αλγεβρική καμπύλη στο προβολικό επίπεδο P₂(K), μπορούμε να την ορίσουμε ως σημείο μηδενισμού ενός πολυωνύμου P σε τρεις μεταβλητές. Αλλά στο προβολικό επίπεδο, (λx : λy : λz) = (x : y : z), για όλα τα λ ≠ 0. Επομένως, θέλουμε αναγκαστικά P(x, y, z) = 0 ⇔ P(λx, λy, λz) = 0, έτσι ώστε το σημείο μηδενισμού να μην εξαρτάται από το επιλεγμένο λ. Γι' αυτό ζητάμε το πολυώνυμο P να είναι ομογενές.

Βιβλιογραφία

• Homogeneous Polynomial Forms for Robustness Analysis of Uncertain Systems
• Expansions in Series of Homogeneous Polynomial Solutions
• On Bezout Inequalities for non-homogeneous Polynomial Ideals
• The F-pure threshold of quasi-homogeneous polynomials

Δείτε επίσης

• Commutative algebra

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/04ZC Topological definition of (local) constructibility
• https://stacks.math.columbia.edu/tag/054H Constructibility properties of morphisms of schemes (incl. Chevalley's theorem)