Spektra radiuso

En matematiko, la spektra radiuso de matrico aŭ barita lineara operatoro estas la preciza supra rando inter la absolutaj valoroj de la eroj en ĝia spektro, kiu estas iam signifata per ρ(·).

Spektra radiuso de matrico

Estu λ₁, ..., λ_s la (reelaj aŭ kompleksaj) ejgenoj de matrico A ∈ C^n×n. Tiam ĝia spektra radiuso ρ(A) estas difinita kiel:

$\rho (A)=\max _{i}(|\lambda _{i}|)$

Estu A komplekso-valora n×n matrico, ρ(A) ĝia spektra radiuso kaj ||·|| konsekvenca matrica normo (konsekvenceco estas ke ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| por ĉiu matrico A kaj ĉiu vektoro x de amplekso n). Tiam ĝia spektra radiuso de matrico havas jenajn propraĵojn:

• Supera baro por la spektra radiuso de matrico: por ĉiu k ∈ N :

  $\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k},\ \forall k\in \mathbb {N}$

• La spektra radiuso estas proksime rilatanta al la konduto de la konverĝo de la potenca vico de matrico:

  $\lim _{k\to \infty }A^{k}=0$ se kaj nur se ρ(A)<1.

  Ankaŭ, se ρ(A)>1, ||A^k|| estas ne barita kun pligrandiĝo de k (veras ankaŭ por ne-konsekvenca matrica normo).

• Formulo de Gelfand (veras ankaŭ por ne-konsekvenca matrica normo)

  $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }||A^{k}||^{1/k}$

  En aliaj vortoj, la formulo de Gelfand montras kiel la spektra radiuso de A donas la asimptotan kreskadan kurzon de la normo de A^k:

  $\|A^{k}\|\sim \rho (A)^{k}$ por $k\rightarrow \infty$

• La formulo de Gelfand kondukas rekte al baro sur la spektra radiuso de produto de finie multaj matricoj, alprenanta ke ili ĉiuj komutiĝas (kio estas ke iliaj produtoj ne dependas de la ordo de multiplikatoj):

  $\rho (A_{1}A_{2}\ldots A_{n})\leq \rho (A_{1})\rho (A_{2})\ldots \rho (A_{n})$

• Kunigante la formulon de Gelfand kun la supre skribitan propraĵon, se la normo estas konsekvenca, eblas skribi plu ke aliro al la limigo estas desupre

  $\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)^{+}$

Ekzemplo: Estu matrico

$A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}$

kies ejgenoj estas 5, 10, 10. Laŭ difino, ĝia spektra radiuso estas ρ(A)=10. Jen estas, la valoroj de $\|A^{k}\|^{1/k}$ por la kvar plejmulte uzataj normoj estas por kelkaj pligrandiĝantaj valoroj de k (Notu, ke pro la aparta formo de ĉi tiu matrico, $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$):

k	$\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$	$\|.\|_{F}$	$\|.\|_{2}$
1	14	15,362291496	10,681145748
2	12,649110641	12,328294348	10,595665162
3	11,934831919	11,532450664	10,500980846
4	11,501633169	11,151002986	10,418165779
5	11,216043151	10,921242235	10,351918183
10	10,604944422	10,455910430	10,183690042
11	10,548677680	10,413702213	10,166990229
12	10,501921835	10,378620930	10,153031596
20	10,298254399	10,225504447	10,091577411
30	10,197860892	10,149776921	10,060958900
40	10,148031640	10,112123681	10,045684426
50	10,118251035	10,089598820	10,036530875
100	10,058951752	10,044699508	10,018248786
200	10,029432562	10,022324834	10,009120234
300	10,019612095	10,014877690	10,006079232
400	10,014705469	10,011156194	10,004559078
1000	10,005879594	10,004460985	10,001823382
2000	10,002939365	10,002230244	10,000911649
3000	10,001959481	10,001486774	10,000607757
10000	10,000587804	10,000446009	10,000182323
20000	10,000293898	10,000223002	10,000091161
30000	10,000195931	10,000148667	10,000060774
100000	10,000058779	10,000044600	10,000018232

Pruvoj

Lemo pri supera baro por la spektra radiuso de matrico:

Lemo: Estu A komplekso-valora n×n matrico, ρ(A) ĝia spektra radiuso kaj ||·|| konsekvenca matrica normo; tiam, por ĉiu k ∈ N :

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k},\ \forall k\in \mathbb {N}$

Pruvo: Estu (v, λ) ejgenvektoro-ejgena paro por matrico A. Pro la sub-multiplika propraĵo de la matrica normo:

$|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|$

kaj pro tio ke v ≠ 0 por ĉiu λ ni havi

$|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|$

kaj pro tio

$\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}$

La spektra radiuso estas proksime rilatanta al la konduto de la konverĝo de la potenca vico de matrico; jena teoremo veras:

Teoremo: Estu A komplekso-valora n×n matrico, ρ(A) ĝia spektra radiuso; tiam

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=0$ se kaj nur se ρ(A)<1.

Ankaŭ, se ρ(A)>1, ||A^k|| estas ne barita kun pligrandiĝo de k.

Pruvo de tio ke $\lim _{k\to \infty }A^{k}=0\Rightarrow \rho (A)<1$:

Estu (v, λ) ejgenvektoro-ejgena paro por matrico A. (Ekde, Ĉar, Pro tio ke)

$A^{k}\mathbf {v} =\lambda ^{k}\mathbf {v}$

oni havas:

$(\lim _{k\to \infty }A^{k})\mathbf {v} =0$

$\lim _{k\to \infty }A^{k}\mathbf {v} =0$

$\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} =0$

$\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0$

kaj, pro tio ke per hipotezo v ≠ 0 , oni devas havi

$\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0$

kio implicas ke |λ| < 1. Pro tio ke ĉi tio devas esti vera por ĉiu ejgeno λ, oni povas konkludi ke ρ(A) < 1.

Pruvo de tio ke $\rho (A)<1\Rightarrow \lim _{k\to \infty }A^{k}=0$:

De la teoremo pri jordana normala formo, oni scii ke por ĉiu n×n komplekso-valora matrico A, ekzistas ne-degenera matrico n×n komplekso-valora matrico V kaj n×n komplekso-valora bloko-diagonala matrico J tiaj ke:

A = VJV⁻¹

kun

$J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

kie

$J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbb {C} ^{m_{i},m_{i}},1\leq i\leq s$

Tiel

A^k = VJ^kV⁻¹

kaj, pro tio ke J estas bloko-diagonala,

$J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}$

Nun, norma rezulto sur la k-a potenco de m_i × m_i jordana bloko estas ke, por k≥m_i-1:

$J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}$

Tial, se ρ(A) < 1 do |λ_i| < 1 por ĉiuj i kaj do por ĉiuj i

$\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0$

kio implicas ke

$\lim _{k\to \infty }J^{k}=0$

Pro tio,

$\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V(\lim _{k\to \infty }J^{k})V^{-1}=0$

Male, se ρ(A)>1, do estas almenaŭ unu ero en J kiu ne restas barita kiam k pligrandiĝas, tiel pruvante la duan parton de la frazo.

Formulo de Gelfand

Por ĉiu matrica normo ||·||

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }||A^{k}||^{1/k}$

En aliaj vortoj, la formulo de Gelfand montras kiel la spektra radiuso de A donas la asimptotan kreskadan kurzon de la normo de A^k:

$\|A^{k}\|\sim \rho (A)^{k}$ por $k\rightarrow \infty$

Pruvo:

Por ĉiu ε > 0, konsideru la matricon

${\tilde {A}}=(\rho (A)+\epsilon )^{-1}A$

Tiam

$\rho ({\tilde {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)+\epsilon }}<1$

kaj, per la antaŭa teoremo,

$\lim _{k\to \infty }{\tilde {A}}^{k}=0$

Ĉi tio signifas, luzu difino de limigo, ekzistas natura nombro N₁ tia ke

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|{\tilde {A}}^{k}\|<1$

kio laŭvice signifas ke

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|A^{k}\|<(\rho (A)+\epsilon )^{k}$

aŭ

$\forall k\geq N_{1}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}<(\rho (A)+\epsilon )$

Konsideru la matricon

${\check {A}}=(\rho (A)-\epsilon )^{-1}A$

Tiam

$\rho ({\check {A}})={\frac {\rho (A)}{\rho (A)-\epsilon }}>1$

kaj tiel, per la antaŭa teoremo, $\|{\check {A}}^{k}\|$ estas ne barita.

Ĉi tio signifas ke ekzistas natura nombro N₂ tia ke

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|{\check {A}}^{k}\|>1$

kio laŭvice signifas ke

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|>(\rho (A)-\epsilon )^{k}$

aŭ

$\forall k\geq N_{2}\Rightarrow \|A^{k}\|^{1/k}>(\rho (A)-\epsilon )$

Estu N=max(N₁, N₂)

kaj do

$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)-\epsilon <\|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon$

kiu, laŭ difino, estas

$\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)$

Reale, en la okazo se la normo estas konsekvenca, la pruvo montras pli multon ol la tezo; fakte, uzante la antaŭan lemon, oni povas anstataŭi en la difino de la limigo la suban baron per la spektra radiuso mem kaj skribi pli detale:

$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} :\forall k\geq N\Rightarrow \rho (A)\leq \|A^{k}\|^{1/k}<\rho (A)+\epsilon$

kio, laŭ difino, estas

$\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}=\rho (A)^{+}$

La formulo de Gelfand kondukas rekte al baro sur la spektra radiuso de produto de finie multaj matricoj, alprenante ke ili ĉiuj komutiĝas:

$\rho (A_{1}A_{2}\ldots A_{n})\leq \rho (A_{1})\rho (A_{2})\ldots \rho (A_{n})$

Por pruvo necesas elekti sub-multiplikan matrican normon.

Spektra radiuso de barita lineara operatoro

Por barita lineara operatoro A kaj la operatora normo ||·||, denove estas

$\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$

Barita operatoro (sur kompleksa hilberta spaco) nomata kiel spectruma operatoro se ĝia spektra radiuso koincidas kun ĝia cifereca radiuso. Ekzemplo de ĉi tia operatoro estas normala operatoro (kio estas operatoro kiu komutiĝas kun sia adjunkta operatoro: A^*A = AA^*).

Spektra radiuso de grafeo

La spektra radiuso de finia grafeo estas difinita kiel la spektra radiuso de ĝia najbarmatrico.

Ĉi tiu difino etendas al la okazo de malfiniaj grafeoj kun baritaj gradoj de verticoj (kio estas tie ekzistas iu reela nombro C tia ke la grado de ĉiu vertico de la grafeo estas pli malgranda ol C). En ĉi tiu okazo, por la grafeo G estu $l^{2}(G)$ signifi la spaco de funkcioj $f\colon V(G)\to {\mathbb {R} }$ kun $\sum _{v\in V(G)}\|f(v)^{2}\|<\infty$. Estu $\gamma \colon l^{2}(G)\to l^{2}(G)$ la najbareca operatoro de G, kio estas, $(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)$. La spektra radiuso de G estas difinita kiel la spektra radiuso de la barita lineara operatoro γ.

Vidu ankaŭ

• Spektra breĉo
• La kuna spektra radiuso estas ĝeneraligo de la spektra radiuso al aroj de matricoj.

Eksteraj ligiloj

• Spektra radiuso de ebenaj grafeoj