Lógica: Elementos básicos

amigo.

PRÓLOGO

Hace algunos años prologué el primer texto de Marcial Arredondo relacionado con la lógica. Un texto esencialmente didáctico, para iniciarse —tal vez desde el liceo— en las exigencias del discurso racional, especialmente con su comprensión.

En todo este tiempo han venido ocurriendo numerosos cambios en la fisonomía y el alma de la cultura occidental; varios casos, varias muertes, fragmentaciones del saber, hogueras con lo que antes se amó y se tuvo por bueno, etc.

Entre estas diversas formas de idioloclastias está, por cierto, el desprestigio de la lógica pura, de la lógica formal, hechos ligados a un casi no disimulado menosprecio por la coherencia y la claridad racionales del discurso.

En este estado, la presentación de un nuevo libro de lógica pura —como si no hubiese ocurrido absolutamente nada— merece un comentario y una justificación que no provenga del mismo autor, que sería una recomendación muy cercana.

Creo que hay muy buenas razones para acoger este libro de elementos básicos de Lógica, de Marcial Arredondo, como un aporte a la investigación filosófica.

La primera razón, de carácter muy general; porque quien prologa este libro no cree en las muertes anunciadas. Se ha dicho jamás nos libraremos de la metafísica. Y me parece un juicio muy prudente. Por lo tanto, concluyo: jamás nos libraremos, y como antídoto, de la lógica.

La segunda razón es que en Chile, justamente en Chile, la necesidad de preocuparnos seriamente de cómo pensamos, cuando pensamos, tiene hoy un carácter de urgencia a rojo vivo. Se dirá que no basta enseñar lógica. Por cierto, pero es preciso practicarla. Por lo demás, en el transcurso de esta crisis del letargo del pensamiento, que dura varias décadas, han ido desapareciendo los viejos textos que usábamos en lengua castellana: los de Ferrater Mora y Leblanche, los de Juan Rivano, los de Gerold Stahl. Es preciso, pues, renovar las fuentes de estudio.

Y esta, la de Marcial Arredondo, me parece una renovación de buena ley; con años de preparación, bien estructurada y bien compensada en lo histórico y en lo estrictamente teórico; rigurosa, pero sencilla y apoyada en ejemplos de fácil comprensión. Un texto que puede ser de gran utilidad y apoyo en la Educación Media, y de consulta, en los estudios superiores.

Humberto Giannini Íñiguez

Introducción 

LOS COMIENZOS DE LA LÓGICA

1. La lógica antes de Aristóteles

Si estamos de acuerdo en que la lógica se ocupa simplemente de establecer qué argumentos son válidos y, funda­mental­mente, de estudiar los principios de la validez de un argumento cual­quiera, entonces, la lógica surgirá una vez que exista una considerable cantidad del material que la hace posible, es decir, de argu­mentos o inferencias. Porque no todo discurso da pie a una inves­tigación lógica, como no la daría, por ejemplo, un discurso litera­rio en la medida en que este no se ocupe tanto de demostrar algo como de describirlo; son aque­llos discursos donde se busca o se intenta probar algo —una conclusión— los que interesan especial­mente a la lógica, pues probar una sentencia es inferirla válidamente de premi­sas verdaderas; o sea, las condiciones generales para probar una sentencia son dos:

a)  Contar con un punto de partida (premisas) verda­de­ro, y

b)  Llegar a la o las proposiciones que se desea probar mediante argumentos válidos.  

No es posi­ble decir con preci­sión cuánto tiempo antes de Aristó­teles y en qué medida era claro que estas dos condicio­nes de una prueba son indepen­dien­tes.

Aristóteles (384-322 a. C.) nos habla en los Tópicos y también en Primeros analíticos de premisas demostrativas y premisas dialécticas, en­ten­diendo las primeras como verda­deras y necesarias (se refería principalmente a las proposiciones de la ciencia) y las segundas como aquellas que se eligen o adoptan en un debate o discusión, en favor de un argumento determi­nado, de modo que admiten —las premisas dia­lécticas— la posibilidad de no ser verdaderas.

La importancia de que la distinción entre las dos condi­ciones de una prueba sea clara radica en que, por una parte, efectivamente es posible partir de premisas verdaderas, pero desarrollar a partir de ellas un argumento inco­rrecto, con­cluyendo en una sentencia falsa:

todas las lechugas son vegetales 

todas las zanahorias son vegetales

todas las zanahorias son lechugas

Por otra parte, es posible partir de premisas falsas y llegar a una conclu­sión verdadera mediante (a) una argumentación correcta e incluso (b) inco­rrecta.  

(a) 

todas las lechugas son anaranjadas

todas las zanahorias son lechugas

todas las zanahorias son anaranjadas

(b)

todos los animales que vuelan son aves

todos los cóndores son verdes

todos los cóndores son aves 

La importancia de una clara distinción de la independen­cia de estas condiciones permite evitar una serie de falacias. Porque basta que una de ellas no se cumpla para invalidar la prueba. Y la independen­cia entre premisas verdaderas y argu­mentación válida consiste en el hecho de que no se dan ambas conjunta­mente; el hecho de partir de pre­misas verdaderas no implica que la conclu­sión obte­nida a partir de ellas también lo sea; la argumen­tación que conduce a la conclusión bien puede ser incorrecta; el hecho de que el argumen­to sea válido no implica que la conclusión que preten­de probar sea verdadera; el haber partido de premisas falsas inva­lida la prueba.

Sin embargo, lo que más interesa de todo lo anterior es la noción de validez más o menos clara que ello implica, fundamental en toda lógica y que con Aristóteles se hace entera­mente diáfana, posibili­tando así la sistematización de la lógica. Dijimos más atrás que no todo discurso puede originar una inves­tiga­ción lógica, que es importante que el dis­curso del que se ocupe un lógico intente probar algo. En la antigua Grecia este tipo de discurso comprende princi­palmente tres ámbitos:

a) El discurso de la Matemática pura,

b) El discurso de la Metafísica y

c) El discurso de la Política.

2.  La geometría, primer sistema deductivo

La noción de demostración en geometría atrajo la aten­ción de algunos pensadores (filósofos). Se sabe que los egipcios descubrieron algunas verdades empí­ri­camente (fórmula para calcular el volumen de una pirámide cortada), y que el nombre ‘geometría’ sig­ni­ficaba originalmente medición de la tie­rra; esto muestra cómo era considerada dicha disciplina al ser introducida en Grecia. El gran aporte de los grie­gos consis­tió en reemplazar este estudio empírico por una ciencia demostra­tiva a priori.  Generalmente, se señala a Tales de Mileto (640-546 a. C.) como el primero en demostrar un teorema geométrico, pero el estudio sistemático de la geometría parece haber comenzado en la escuela pitagórica (siglo VI-V a. C.).

Veamos ahora qué elementos de la geometría podrían susci­tar más interés por parte de los filó­so­fos con relación a la lógica o, mejor dicho, en relación con ciertos aspectos del razona­miento.

La geometría elemental considera como elementos suyos:

1) Ciertas proposiciones de la ciencia que deben ser acep­ta­das como verdaderas sin demostración (axiomas y postulados).

2) Todas las demás proposiciones de la ciencia (teoremas), que deben deri­var­se de las anteriores.

3) La derivación (demostración) debe realizarse sin recu­rrir a ninguna sentencia geométrica que no sean aque­llas tomadas como primitivas (o ya demostradas a partir de ellas), es decir, este proceso de derivación debe ser FORMAL, en el sentido de su independencia con respecto al objeto específi­co de dicha derivación y al contenido específico de las proposiciones que conducen a él.

Desde nuestro punto de vista, resulta de gran interés el tercer aspecto, puesto que es claro que la elaboración de un sistema deductivo conlleva la consideración de relaciones de consecuencia lógica. Históricamente, la geometría es el primer cuerpo de conocimientos presentado como sistema deduc­tivo y ha sido considerado, desde los antiguos griegos, como el para­digma de los sistemas deductivos construidos posteriormente (por ejemplo, Spinoza llamó a su Ética Ethica more geometrico demonstrata).

Infortunadamente, no llegaron hasta nosotros traba­jos completos de geómetras anteriores a Eucli­des (el geómetra que vivió en Alejandría hacia el año 300 a. C.), de modo que se hace difícil describir en detalle el proceso por medio del cual los griegos tomaron conciencia de los requisitos de la demostra­ción. Sin embargo, sabemos que hubo tratados deduc­tivos antes del de Euclides, por bosquejos de algu­nas prime­ras pruebas reproducidas en los trabajos de Platón y Aristó­teles, y a través del material conte­nido en una historia de la geometría escrita por Eudemo —alumno de Aristóteles— que es mencionado por Proclo en su comentario de Euclides.

Es posible afirmar que la idea de sistema deductivo era conocida en la Escuela Pitagórica y en la Acade­mia Platónica, la que, como es sabido, continuó algunas de sus tradiciones.

Ahora bien, si el tipo de reflexión que llamamos lógica surgió en el contexto antes descrito, podemos esperar, conse­cuen­temente, que el acento de dicha reflexión estuviera puesto en ciertos aspectos:

1) En primer lugar, en las proposiciones o sentencias generales, o sea, en las afirmaciones acerca de clases de cosas. Y decimos esto, obvia­mente, porque cuan­do el geómetra habla de la línea A-B, por ejem­plo, no se refiere a una línea única que él acaba de trazar, sino más bien a todas las líneas posibles análogas a esa que él nombra A-B.

2) Además, se puede conjeturar que incitaron gran interés en los primeros lógicos, de entre las proposiciones genera­les o univer­sales, aquellas proposiciones necesariamente verda­de­ras (y no accidental o contingentemente verdade­ras), a saber, los axiomas, definiciones, postulados.

3) Si consideramos que para los griegos la definición no consis­tía en una mera conven­ción, sino que la entendían en un sentido real, o sea, en el senti­do que el definiendo responde al qué es del definido, es coherente pensar que de entre las proposiciones universales, necesaria­men­te verdaderas, las definiciones de la geometría han de haber llamado la atención. 

4) Los precurso­res de la lógica deben haberse interesado además en las específicas variedades de principios o axiomas asumidos bajo las reglas genera­les, vale decir, los deter­mi­nados conjun­tos de principios que posibilitaban la demostración de los teoremas que comprende un sistema deductivo. Porque en general, los teoremas pueden ser demostrados de diferentes maneras y ello depende de los principios que seleccionemos para la demostración. Según sea el grupo de axiomas en que se base el sistema (como ocurre en las geometrías euclideanas comparadas con las no-euclideanas), el conjunto de teoremas posibles de demostrar puede variar.

Al estudiar el Organon de Aristóteles, se observa cómo cada uno de los aspectos antes mencio­na­dos son analizados en él, e incluso algunos aparecen considerados ya en Platón o antes.

Por tanto, es muy razonable pensar que el senti­do de la lógica griega fue determinado en apreciable medida por la re­flexión acerca de los problemas surgidos del intento de represen­tar la geometría como un sistema deductivo.

3.  Metafísica y argumentación dialéctica

Sin embargo, el carácter de la lógica griega no puede ser explicado enteramente solo por su vínculo con la idea de demostración en un sistema deductivo. Los filósofos se preocupan también de asuntos más propios, por decirlo así, de la Filoso­fía de aquella época, como lo eran los problemas que se plan­teaba la Metafísica. Esta era presentada con argu­mentos que intenta­ban, de alguna manera, probar que determinadas ideas daban respuesta satisfactoria a la proble­mática Metafísica; el tipo de argumentos empleado por algunos filósofos fue la dialéctica y es precisamente este uno de los primeros sentidos que se dio a la palabra dialéctica: el ser un método de argumentación carac­te­rís­tico de la Metafísica.

En cuanto método, por lo que sabemos, y sobre esto parece haber acuerdo entre los historiadores, la dialéctica fue, en gran medida, creada y utiliza­da por Zenón de Elea (490-430 a. C.). Este, por lo que dijo Platón desde el Par­ménides, aplicó dicho método en la defensa del monismo de Parménides, tratando de mostrar las absurdas consecuencias que traería el suponer que exista una pluralidad de seres para dar cuenta de la realidad. 

Una vez establecido el método dialéctico por Zenón, fue aplicado también, para nombrar a sus contemporáneos más destaca­dos, por Sócrates (470-399) y por su discípulo y amigo Eucli­des de Megara (450-380 a.c.). Tanto Zenón como Sócrates y Eucli­des, con algunas diferencias, aplicaron el método dialécti­co concebido como 'reductio ad impossibile' (o 'reduc­ción por absurdo'), lo que dio a la dialéc­tica su primer sentido preciso en cuanto método.

Así, más tarde, Aristóteles en su des­crip­ción del Silogismo, considera que su estudio comprende tanto el argu­mento demostrativo como el dialéctico.

En este punto, habría que mencionar necesariamente a Platón, aunque sea brevemente, pues es por él por quien conocemos con mayor preci­sión muchos aspectos de la dialéctica.

Aún cuando Platón (428/27-347) no fue un pensa­dor que culti­vara propiamente lo que llamamos Lógi­ca, indudablemente se le debe mucho en el terreno de la filosofía de la Lógica. Se ocu­pó fundamental­mente y con algún detenimiento, de res­ponder a tres proble­mas lógicos:

1) ¿Qué es aquello que propiamente puede ser llama­do verda­de­ro o falso?

2) ¿Qué es aquello que hace que una conexión (infe­rencia) sea necesaria?

3) ¿Cuál es la naturaleza de la definición y qué es aquello que definimos?

Los textos importantes para la consideración de las respuestas a estos problemas lógicos son fundamentalmen­te tres: Teetetos, Sofistas y fragmentos de La República.

4.  La Escuela Megárica y la erística

Es importante mencionar el aporte de la Escuela Megári­ca, fundada por Euclides (de Megara), discípu­lo de Sócrates. Porque además de dominar la dialéc­tica, en el sentido antes señalado, los megáricos fueron ampliamente conocidos por su destreza en la discusión, o sea en la erís­tica, lo que les valió fuertes críti­cas de Aristóteles, quien los acusó de poseer un saber aparente, asociándolos de esta mane­ra a los sofistas, obviamente en un sentido peyora­tivo. 

Por otra parte, sabemos que los megáricos de las genera­ciones posteriores a Aristóteles, como Diodoro Cronos (fl 300 a. C.) y Filón de Megara (fl 300 a. C.) mostraron un genuino conocimiento de los problemas lógicos, progresos que sería muy difícil explicar si no convenimos en que tuvie­ron una sólida prepara­ción previa.

5.  El aporte de los sofistas

Mucho se ha dicho y discutido sobre los sofis­tas. La práctica de la disputa en público, de acuerdo a ciertas reglas, era en la Grecia antigua algo usual. El Eutidemo de Platón y los Elencos sofísticos de Aristóteles muestran claramente que así era.

Aunque no podemos decir con absoluta certeza cuál era el propósito de tales disputas, sabemos por Platón (República 498) que muchos jóvenes la practi­caban por mera entretención. Pero tal vez tiene mucho sentido pensar que la sofís­tica, es decir, la labor de los sofistas, tuvo también sentido práctico. Porque en la Grecia de aquella época era conside­rado importante que los hombres públicos hablaran bien (ora­toria) y argumentaran bien, ya sea que estuvieran practicando en asuntos políticos, o en las cortes discutiendo en favor o en contra de algún acusado. Por otro lado, es sabido que los sofistas pedían remuneración por sus enseñanzas, y el conte­nido de aquellas enseñanzas era la retórica, o para decirlo mejor, el arte de conven­cer en la disputa. De modo que el sofista cobra por enseñar a vencer en una discusión, arte que sin duda resultaba más que atractivo para los jóvenes griegos que tu­vieran la posibilidad de llegar a ser hombres pú­bli­cos.

Pero al margen de toda la problemática que pueda presen­tar este aspecto de la sofística, y conside­rando que a fin de cuentas eran hombres que necesa­riamente tenían que saber manejarse más o menos bien con diferentes tipos de argumen­tos, lo que nos im­porta, desde el punto de vista de la lógi­ca, es que algunos sofistas deben haber aportado, con seguri­dad, el descu­brimiento de más de algún principio gene­ral respecto de argumen­tos meramente verbales. De más está seña­lar que algunos sofistas famosos, como Protágoras (480 a. C.-410 a. C.), por ejemplo, tuvieron contacto directo con los filóso­fos, aunque resulta algo impropio decirlo así, pues muchos sofis­tas fueron, por lo demás, filóso­fos.

6.  Resumen

En fin, podemos concluir entonces que efectiva­mente hubo considerable reflexión acerca de tópicos lógicos antes de Aristóteles, y que contribuyeron o permitieron que sur­gieran en tal tipo de reflexión di­ver­sos elementos, destacándose la in­fluencia de la demostración geométrica en cuanto constituyó un sistema deductivo; el aporte de Zenón, Sócrates, Euclides, Platón, etc., al aplicar el méto­do dialéc­tico; el aporte de los megáricos, los estoicos y de los sofis­tas. En todo caso, es indudable que el Organon de Aristóte­les fue el primer tratado sistemá­tico sobre lógica formal.

Aristóteles concibió la lógica como una disci­pli­na inte­lec­tual preparatoria; no aparece en su clasifica­ción de las ciencias ni como parte de la Filosofía.

Hemos heredado las obras lógicas en la forma de una compi­lación de tratados más o menos sistemáticos agrupa­dos bajo el título de Organon, palabra que significa instru­mento y que alude, precisamente, a la ya mencionada concep­ción aristo­télica de la lógi­ca como una disciplina previa a la enseñanza de la cien­cia.

Se atribuye a Andrónico de Rodas —undécimo suce­sor de Aristó­teles— la primera edición de las obras del maestro clasifi­cándo­las según el objeto del cual tratan, en el siglo I (a. C.).

Después del fin de la Antigüedad tenemos ya lo que podría­mos llamar la versión ortodoxa del Orga­non, que fue presen­tada en seis tratados a los que hay que agregar una Intro­ducción General al conjunto de la lógica redactada por Porfi­rio.

Estos tratados son:

1) Categorías:

En el que se da una lista de 10 modos diferentes según los cuales un atributo puede ser predicado de un sujeto al formar propo­si­ciones estructuradas en la forma sujeto-predicado.

2) De la interpretación:

Desarrolla la teoría de la oposición de las proposiciones (inferencia inmedia­ta) y se refiere también a la oposición de las pro­posicio­nes modales (posibi­lidad).

3) Primeros analíticos:

Expone la teoría del silogismo consi­de­rada específicamente desde el punto de vista de su validez formal.

4) Segundos analíticos:

Trata de la demostración, es decir, del silogismo fundado en premisas necesarias y por tanto presenta el silogismo demostrativo como instrumento de la ciencia.

5) Tópicos:

Está dedicado a la argumentación dia­léc­tica, o sea, al silogismo fundado en premisas solamen­te probables.

6) Refutaciones sofísticas:

Este tratado que cierra el Orga­non es, en realidad, la última parte de Tópicos y su conclu­sión general se refiere a aquel.

La autenticidad del conjunto de tratados que consti­tu­yen el Organon no ha sido puesta seriamen­te en duda.

En cuanto a lo que más nos interesa de estos trata­dos, expondremos parte de los contenidos de De la interpretación y parte de los Primeros analíticos, reelaborando su exposi­ción primitiva y agregando elementos que con el tiempo se han ido incorporando a esta lógica que usualmente se la llama Antigua o Aristotélica.

Aristóteles divide la lógica en tres partes:

—Lógica del Concepto.

—Lógica del Juicio.

—Lógica del Razonamiento.

Independientemente de que la posibilidad de una Lógica del Concepto, en sentido estricto, es discu­ti­ble, nos ocupa­remos aquí principalmente de las otras dos partes.

El filósofo empirista inglés John Locke decía que Dios no pudo haber sido tan mezquino como para crear­nos dotados de razón y haber dejado que Aristó­teles nos enseñara la lógica.

Como él, mucha gente piensa que la lógica —en­ten­dida en un sentido más o menos vulgar— es una especie de don natu­ral que cada uno posee en mayor o menor grado. Induda­ble­mente, no es necesario seguir un curso de lógica para aprender a pensar y, en este sentido, tiene razón. Sin embargo, también es induda­ble que una persona que conoce las formas de dife­rentes argumentos, que está familiarizado con razonamientos incorrec­tos, y que, por lo tanto, los detecta fácilmente, estará en ventaja con respecto a la anterior. Por otra parte, el campo de la lógica se ha amplia­do y sus contenidos se han enriquecido notable­mente desde que J. Locke hizo aquella afirmación. Sería tema de otro libro dar cuenta de los numerosos ámbitos en que está presente la lógica, sin contar sus aplicaciones prácticas. Además, la justificación de la enseñanza de la lógica que dio Aristóteles sigue te­niendo plena vigencia: es, sin duda, la disciplina que mejor prepara al estudiante para su desarrollo intelectual.

I. Lógica antigua 

La silogística aristotélica

1.  La Proposición

1.1 Verdad y falsedad

Es necesario establecer de partida la naturaleza del nombre y la del verbo; enseguida, aquella de la negación y de la afirma­ción, de la proposición y del discurso.

Con estas palabras inicia Aristóteles su tratado De la interpretación, segundo de los seis que compo­nen el Orga­non.