Física para ciencias médicas

2008

CAPÍTULO I

CINEMÁTICA

1.1. El problema clásico del movimiento

Un problema clásico de la filosofía griega, que motivó por mucho tiempo discusiones acerca del espacio y el tiempo, lo constituye la llamada paradoja de Zenón de Elea (s. IV-III a.C.), que se representa a través de la carrera entre Aquiles y una tortuga. Si Aquiles, el corredor más rápido de la Grecia antigua, corre contra una tortuga dándole una cierta ventaja inicial, nunca puede alcanzarla. En el razonamiento de Zenón ello ocurre porque cuando Aquiles llega al punto en que inicialmente se encontraba la tortuga, ésta, por lento que sea su movimiento, ha logrado recorrer una cierta distancia. Cuando Aquiles llega a la nueva posición de la tortuga, ésta nuevamente se ha desplazado una cierta distancia. El proceso se repite indefinidamente, con Aquiles cada vez más cerca de la tortuga, pero nunca alcanzándola, razonamiento que contradice nuestra experiencia.

Muchos de los conceptos que veremos en la primera parte de este capítulo los debemos a Galileo Galilei, el padre de la física experimental. Galileo realizó múltiples experimentos para describir el movimiento de los cuerpos bajo condiciones de mayor o menor fricción, cuñas con distintos ángulos de inclinación y caída libre desde edificios. Encontró, como veremos, que un objeto que cae recorre una distancia que es proporcional al cuadrado del tiempo, y que no depende de la masa del objeto, al contrario de lo que afirmaba Aristóteles.

Retrato de Galileo Galilei pintado por Tintoretto.

Galileo entró a la escuela de artes de la Universidad de Pisa en 1581 con el propósito de estudiar medicina. Dos años después decidió cambiarse y estudiar matemáticas, disciplina que también formaba parte de la escuela de artes. Posteriormente enseñó astronomía básica a los alumnos de medicina, estudios muy necesarios en aquella época ya que un buen doctor debía confeccionar horóscopos para sus pacientes. Galileo no creía en la validez de estas prácticas, tal como sabemos hoy. Galileo ha sido probablemente el científico que más descubrimientos ha legado a la Humanidad, entre ellos haber reconocido los cráteres y valles en la Luna, los cuatro satélites más grandes de Júpiter, la naturaleza estelar de la Vía Láctea (nuestra galaxia), y las fases de Venus.

En las secciones siguientes veremos cómo, con las ideas de Galileo y en el marco conceptual de la física, se resuelve por ejemplo la paradoja de Zenón. Para esto es necesario introducir formalmente el concepto de velocidad, que caracteriza el movimiento, relacionando las variables espacio y tiempo.

1.2. Velocidad media

Figura 1.1: Desplazamiento rectilíneo.

Consideremos el caso más simple posible de un objeto en movimiento: a lo largo de una línea recta. Por ejemplo, un corredor de los 100 m planos. Supongamos que, como en una verdadera carrera, el reloj empieza a correr al partir los corredores, es decir, t = 0 en x = 0, donde x representa la distancia recorrida. Si x1 y x2 representan respectivamente las distancias a que se encontraba el corredor del punto de partida en los instantes de tiempo t1 y t2, como muestra la Figura 1.1, se define la rapidez media, ⟨v⟩, para el intervalo entre x1 y x2 como:

Es decir, la rapidez media es la distancia total (absoluta), ∆x, dividida por el tiempo total, ∆t, que toma recorrer esa distancia. Note que se ha usado el término rapidez y no el término velocidad. Ya veremos por qué.

La rapidez así definida corresponde a un valor representativo del movimiento sobre una cierta distancia finita, o alternativamente, durante un cierto lapso, también finito. En contraste con esta definición, estamos acostumbrados a oír frases tales como pasó a 120 km/h, o puede correr a un máximo de 180 km/h, que involucran de algún modo el concepto de rapidez en un instante particular, a diferencia del concepto anterior, que involucra un lapso. En el caso del corredor de 100 m planos, el que determinemos una rapidez media en un cierto intervalo de tiempo o sobre una cierta distancia no nos dice nada acerca de cómo varió la posición con el tiempo durante

el intervalo considerado. Es decir, no sabemos si al dividir, por ejemplo, ese intervalo en dos, y luego determinar la rapidez media en cada una de esas dos mitades, el resultado es igual al que se tenía para el intervalo original. En otras palabras, el conocimiento de la rapidez media sobre un cierto intervalo no nos dice nada acerca de cómo varió esa rapidez en el intervalo.

Para ilustrar estos conceptos, consideremos los gráficos de la Figura 1.2. En a) se presenta un movimiento rectilíneo en que la posición d varía con el tiempo en forma constante, es decir, linealmente. Ello significa que para cualquier intervalo de tiempo o de distancias que se considere, se obtiene la misma rapidez media, esto es, la rapidez media es constante.

En cambio, en el caso de b), la posición d no varía de manera constante con el tiempo, por lo que la rapidez media cambiará su valor dependiendo del intervalo de tiempo que se considere. Para ilustrar esto, anotemos en la Tabla 1.1 las posiciones correspondientes al movimiento descrito en a) y en b), para los mismos tiempos.

Figura 1.2: Gráficos de posición versus tiempo: a) rapidez constante, b) rapidez variable.

Tabla 1.1: Posición vs. tiempo.

Consideremos los siguientes intervalos de tiempo:

∆t1 = t2 − t1 = 10 s

∆t2 = t3 − t2 = 10 s

con los correspondientes intervalos de distancia:

∆da1 = da2 − da1 = 20,0 m

∆da2 = da3 − da2 = 20,0 m

∆db1 = db2 − db1 = 18,53 m

∆db2 = db3 − db2 = 14,21 m

Al calcular la rapidez media para los distintos intervalos, se obtiene:

va1 = va2 = 2 m/s

vb1 = 1,853 m/s ; vb2 = 1,421 m/s

En el caso a) la rapidez media es constante y en el caso b) es variable, decreciendo en el tiempo. Ello significa que en el caso a) no importa el tamaño del intervalo que se considere para evaluar la rapidez media, pudiendo ser tan pequeño como se quiera: el resultado es siempre el mismo valor. De acuerdo con esto, resulta correcto afirmar que, en cualquier punto del movimiento que representa el gráfico a), la rapidez es igual a la rapidez media y entonces el objeto se mueve a 2 m/s durante todo el recorrido. La situación en b) es diferente, aquí la rapidez media es esencialmente variable y el valor que se obtenga dependerá del intervalo de tiempo que se usó. En particular, notemos que la rapidez media para este caso disminuye a medida que aumenta el tiempo, para un mismo intervalo.

Notemos que la definición de rapidez media sólo entrega información sobre la variación de la posición en el tiempo, sin indicar la dirección en que se mueve el objeto. Por ejemplo, en el caso de movimiento rectilíneo, no dice si el objeto se acerca o aleja del origen. Si a la noción de rapidez media agregamos la información de dirección, obtenemos el concepto de velocidad media. Así, la rapidez media sólo indica cuán rápido se mueve el objeto en un intervalo de tiempo dado, y la velocidad media además informa en qué dirección, respecto de las coordenadas de origen, se realiza el movimiento. Si el objeto se aleja del origen, la velocidad es una magnitud positiva, y si se acerca, la velocidad es negativa. Una entidad física que además de magnitud (tamaño), posee dirección y sentido es un vector. Así, definimos la velocidad media (magnitud vectorial) como:

representa el cambio en la posición del objeto respecto del origen de coordenadas, que ocurre en un intervalo de tiempo ∆t = t2 − t1.

1.3. Velocidad instantánea

Si queremos describir mejor el movimiento de un objeto con rapidez media variable en el tiempo, debemos introducir el concepto de rapidez instantánea. Es decir, necesitamos una medida de cuán rápido se está moviendo el objeto en cada instante. Esto se logra considerando un intervalo muy corto en torno al instante de tiempo que interesa. Si el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, la rapidez media para ese intervalo corresponderá a la rapidez en el instante de tiempo asociado al intervalo. Así, podemos definir rapidez instantánea, v, mediante:

Ello significa que la rapidez instantánea en un instante de tiempo dado t es igual a la rapidez media en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, en torno al instante t.

Análogamente, definimos velocidad instantánea (magnitud vectorial) como:

1.4. Aceleración

Si la rapidez con que se mueve un objeto está cambiando en el tiempo, decimos que el objeto experimenta aceleración. Definimos la aceleración media, para un objeto que en cierto instante de tiempo ty que en un instante posterior t, como:

es decir, aceleración media es el cambio en velocidad dividido por el tiempo requerido para que ocurra ese cambio.

En el caso en que la aceleración está cambiando en el tiempo, debemos introducir el concepto de aceleración instantánea. En analogía con el caso de la velocidad, la obtención de la aceleración instantánea requiere de un intervalo de tiempo infinitamente pequeño, es decir, la aceleración instantánea está dada por:

1.5. Movimiento en 1-D con aceleración constante

Existen algunas situaciones de movimiento a lo largo de una línea recta que se caracterizan por que la aceleración es constante o de variación despreciable. Supongamos un caso en que efectivamente la aceleración es constante y que, en t = 0, la velocidad es v0. Si en un instante t posterior la velocidad es v, la aceleración constante a está dada por:

Reordenando la ecuación anterior, se obtiene para la velocidad como función del tiempo la siguiente ecuación:

Para las mismas condiciones anteriores, la velocidad media ⟨v⟩ resulta ser igual a la velocidad promedio en el intervalo de tiempo, dada por la media aritmética:

Por otra parte, la velocidad promedio resulta ser igual a la distancia total recorrida, dividida por el intervalo de tiempo correspondiente. Así, si el objeto en movimiento se encontraba en el punto x0 en t = 0, y en el punto x en el instante t, la velocidad media en el intervalo es:

Combinando las ecuaciones 1.9 y 1.10, se obtiene:

Reemplazando v en función de la aceleración y el tiempo, y reordenando los términos, se obtiene:

Notemos que a partir de la ecuación 1.8 se puede obtener:

Reemplazando t de la ecuación 1.13 en la ecuación 1.11 y reordenando términos, se obtiene:

Las ecuaciones 1.8, 1.12 y 1.14 forman la base de la cinemática unidimensional.

EJEMPLO 1

Un corredor parte desde el origen de coordenadas en t = 0 y se mueve en línea recta con velocidad constante 6 m/s. ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer 450 m?

SOLUCIÓN

Este problema trata de un movimiento en 1-D, con velocidad constante, esto es, con aceleración igual a cero. Es decir:

x0 = 0

v0 = 6 m/s

a = 0

Mediante la ecuación 1.12, se puede escribir:

EJEMPLO 2

Un corredor de 100 m planos acelera desde la partida durante 2 s con aceleración constante y luego sigue con velocidad constante hasta cruzar la meta, demorando 10 s en recorrer los 100 m. Encuentre la aceleración de la etapa inicial y la velocidad con que se movía al cruzar la meta.

SOLUCIÓN

La carrera resulta de una secuencia de dos movimientos, un movimiento uniformemente acelerado, con aceleración a y velocidad inicial cero, durante un tiempo t1, y un movimiento con velocidad constante vf durante un tiempo t2, siendo vf la velocidad alcanzada al tiempo t1. El tiempo total para xt = 100 m es tt = t1 + t2 = 10 s. Las ecuaciones que relacionan estas variables son:

Despejando a de la primera ecuación, reemplazando en la segunda y usando tt = t1 + t2, se obtiene:

1.6. Cinemática en 2-D con aceleración constante

La posición de un punto en el espacio se puede especificar mediante un vector. En la . Las coordenadas de los vectores están dadas por:

De acuerdo con la definición, si el cambio de posición ocurre en un intervalo de tiempo ∆t, la velocidad media es:

donde vx y vy son las componentes del vector velocidad. La rapidez, es decir el módulo o tamaño de la velocidad, está dada por:

es constante, se puede escribir, siguiendo el mismo desarrollo que para el caso unidimensional:

Figura 1.3: Cambio de posición en el plano.

Para que dos vectores sean iguales deben ser iguales coordenada a coordenada. Ello implica que igualando componentes en x e y, en las ecuaciones 1.18 y 1.19, se obtienen ecuaciones independientes para la posición y velocidad a lo largo de cada eje de coordenadas. Es decir, la cinemática en dos dimensiones se reduce a dos cinemáticas independientes, cada una de ellas en una dimensión. Así:

EJEMPLO 3

Un bote, cuya velocidad relativa al agua es 15 km/h, cruza un río en línea recta, en dirección Oeste-Este, llegando al otro lado a un punto exactamente al frente del de partida. La corriente del río se desplaza en dirección Norte-Sur a 5 km/h.

a) ¿En qué dirección debe apuntar la quilla del bote durante el cruce?

b) Si el río tiene en ese punto un ancho de 3 km, ¿cuánto tiempo demora en cruzar?

SOLUCIÓN

Figura 1.4: Ejes de coordenadas y vectores de velocidad.

El bote debe cruzar el río con la quilla apuntando en una dirección tal que su vector velocidad relativo a la orilla tenga sólo componente en la dirección Oeste-Este. La velocidad del bote relativa a la orilla resulta de la suma de la velocidad de la corriente relativa a la orilla y la velocidad del bote relativa al agua. Usando un sistema de coordenadas en que el eje x apunta en dirección Oeste-Este y el eje y lo hace en dirección Sur-Norte, la velocidad del bote relativa a la orilla está dada por:

es la velocidad de la corriente (que apunta en la dirección negativa de las ysiendo el módulo de la velocidad del bote relativa al agua. La condición de componente de velocidad nula en dirección y impone que vc = vby, por lo que el vector velocidad del bote relativo a la orilla resulta ser:

De acuerdo con la Figura 1.4, vbx = vb cos α y tan α = vby/vbx = vc/vbx.

a) De las expresiones anteriores se tiene que

por lo que:

que se puede obtener directamente de la Figura 1.4, con la condición vc = vby. De acuerdo con este resultado, el ángulo de la quilla con la dirección x está dado por:

Reemplazando los valores numéricos, se obtiene

Aplicando la función inversa de la tangente, se obtiene

α = tan−1(0,3535) = 19,47°

b) El tiempo t necesario para cruzar el río está dado por la expresión:

donde d = 3 km es el ancho del río. Entonces:

1.7. Movimiento bajo aceleración de gravedad

Si se desprecian efectos de roce con el aire, cualquier objeto que cae libremente sobre la Tierra lo hace con una aceleración constante, conocida como aceleración de gravedad. Esta aceleración resulta de la fuerza de gravedad que ejerce la masa de la Tierra sobre la masa del objeto. La magnitud de esta aceleración, que representamos por g, es, en la superficie de la Tierra:

g = 9,8 m/s²

Hay que notar que g varía ligeramente con la altura respecto del nivel del mar y con la latitud, pero el valor dado es una muy buena aproximación para cualquier caso práctico.

La aceleración en general es una magnitud vectorial. En el caso particular de la aceleración de gravedad, apunta siempre en dirección al centro de la Tierra. Si elegimos la dirección de la vertical hacia arriba como dirección positiva de las y. Si la única aceleración presente es la de gravedad, las ecuaciones cinemáticas para un objeto que se mueve sobre la superficie de la Tierra se pueden escribir a partir de las ecuaciones 1.20 y 1.21 y toman la forma particular:

EJEMPLO 4

Una persona cae desde un segundo piso. Estime la aceleración media a que está sometida la persona para los casos a) de una caída sin consecuencias, en que la persona hace contacto con el suelo primero con sus pies y amortigua la caída flectando las rodillas, hasta quedar tendida sobre la superficie, y b) de una caída con consecuencias, en que el cuerpo hace contacto de espaldas con el suelo.

SOLUCIÓN

Supongamos que la persona mide 1,60 m y cae desde una altura de 3 m. Supongamos además que la distancia entre el pie y la rodilla de la persona es 45 cm. Las ecuaciones que describen la caída, suponiendo que hay movimiento sólo a lo largo de la vertical, son:

el módulo de la velocidad con que llega al suelo es

.

Las ecuaciones que describen el proceso de frenado del cuerpo son:

donde ys representa la altura en que empieza a ser detenido y vs la velocidad con que se mueve en ese instante. Como en el momento de detenerse, v = 0 e y = 0, despejando t de la segunda ecuación y reemplazándolo en la primera, se tiene:

a) En este caso, ys = 0,45 m, por lo que

El valor obtenido es aproximadamente 6,5 veces la aceleración de gravedad.

b) En este caso supongamos que, como resultado del impacto horizontal del cuerpo sobre el suelo, éste experimenta una compresión de 2 cm. Entonces, tomando esa distancia como la distancia de detención, se tiene:

¡El valor obtenido es cerca de 150 veces la aceleración de gravedad!

Ambos resultados son estimaciones que, en todo caso, muestran los altos valores que puede alcanzar la aceleración necesaria para detener un cuerpo en movimiento en una distancia pequeña. Los valores de aceleración se relacionan directamente con las fuerzas requeridas para detener los cuerpos, materia que se tratará en el próximo capítulo.

EJEMPLO 5

Una bala es disparada horizontalmente con una velocidad inicial de 2000 m/s, desde una altura de 1,5 m. ¿Qué distancia a lo largo de la horizontal recorre la bala?

SOLUCIÓN

La velocidad inicial tiene componente sólo en la dirección horizontal, que tomamos como dirección x. Si elegimos como origen de coordenadas el punto sobre el suelo inmediatamente por debajo del de lanzamiento, las ecuaciones para el movimiento de la bala en las direcciones x e y son:

con yo = 1,5 m, v0 = 2000 m/s y g = 9,8 m/s²

vx = vo

vy      = −gt

Al llegar la bala al suelo, y , que corresponde al tiempo total que viaja la bala. Luego, la distancia recorrida sobre la horizontal es:

Grabado de Leonardo da Vinci que muestra la trayectoria de balas de cañón.

Figura 1.5: Componentes del vector velocidad inicial de un proyectil.

1.8. Movimiento de proyectiles

Al lanzar un proyectil con velocidad inicial vo, las componentes de su velocidad inicial a lo largo de los distintos ejes de coordenadas son, de acuerdo con la Figura 1.5:

donde θ es el ángulo que hace vector velocidad inicial con la horizontal. Reemplazando estas expresiones en las ecuaciones 1.23 para un movimiento en dos dimensiones con aceleración constante, sin roce con el aire, y suponiendo que el proyectil parte desde el origen de coordenadas en t = 0, se obtiene:

Las ecuaciones 1.24 y 1.25 describen el movimiento del proyectil, en función del tiempo, a lo largo de ambos ejes de coordenadas. A partir de ellas se puede determinar fácilmente la altura máxima, hm, y el alcance máximo, s, para un proyectil dado, en función de la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.

En efecto, la altura máxima corresponde al instante en que la componente vertical de la velocidad del proyectil se hace cero, es decir, cuando éste invierte la dirección de su movimiento a lo largo de la vertical. De acuerdo con la ecuación para vy, ello ocurre cuando t = v0 sin θ/g. Reemplazando este tiempo en la ecuación para y, se obtiene la altura máxima (hm):

La distancia máxima se alcanza cuando y = 0. Imponiendo esta condición en la ecuación respectiva y usando el tiempo resultante en la ecuación para x, se obtiene:

donde se ha usado el hecho de que sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ).

De estas ecuaciones se advierte que la altura máxima posible, para una velocidad inicial dada, se logra con un lanzamiento en ángulo de 90°. Del mismo modo, el alcance máximo posible para una velocidad inicial dada ocurre cuando el ángulo de lanzamiento es 45°.

Despejando el tiempo de la ecuación para x y reemplazándolo en la ecuación para y, se obtiene una ecuación que relaciona directamente la posición sobre ambos ejes, sin la intervención del tiempo. Esta ecuación resulta ser:

La Figura 1.6 muestra un gráfico x vs. y de la trayectoria de un proyectil, para distintos ángulos iniciales de lanzamiento, pero con la misma velocidad inicial.

Figura 1.6: Trayectorias posibles de un proyectil para distintos ángulos de lanzamiento pero idéntica rapidez inicial.

El tiempo total en que el proyectil se encuentra en movimiento, tT, está dado por la relación:

Reemplazando xm en la expresión anterior, se obtiene:

De la ecuación 1.30 se desprende que el máximo tiempo de vuelo posible para el proyectil se logra cuando el lanzamiento es vertical.

EJEMPLO 6

Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo, en ángulo de 30° con la horizontal y con una velocidad inicial de 30 m/s. ¿Logra el proyectil pasar por sobre una pared de 2,5 m de altura ubicada a 50 m del punto de lanzamiento?

SOLUCIÓN

De acuerdo con los datos, θ = 30°, v0 = 30 m/s. Calculemos, usando la expresión que relaciona las coordenadas x e y, la altura a la que se encuentra el proyectil cuando se halla a 50 m del origen, medidos a lo largo del eje x.

El proyectil, por lo tanto, pasa con holgura sobre la pared.

1.9. Aquiles y la tortuga

Consideremos ahora el problema de Aquiles y la tortuga, de interés en la filosofía griega. Supongamos que Aquiles puede correr con velocidad constante a 9 m/s y que la tortuga lo hace a 0,02 m/s. Si Aquiles le da 100 m de ventaja a la tortuga y ambos empiezan a correr al mismo tiempo, ¿cuánto demora Aquiles en alcanzar a la tortuga?

Figura 1.7: Aquiles y la tortuga.

SOLUCIÓN

Usando como origen común el punto en que Aquiles se encuentra en t = 0, las ecuaciones para la posición de éste y la tortuga, suponiendo que ambos parten en t = 0, son:

xA = vAt

xT = x0 + vT t

donde vA y vT representan las velocidades de Aquiles y la tortuga, respectivamente.

a) A la griega

Como x0 = 100 m, Aquiles se demora un tiempo t0 = x0/vA, esto es, 100m/9m/s = 11,111s en llegar a la posición inicial de la tortuga. Durante este tiempo t0 la tortuga recorre una distancia x1 = vT · t0 = 0,02 (m/s) · 11,111 s = 0,222 m, por lo que Aquiles aún no la alcanza. Para recorrer la distancia x1 Aquiles necesita un tiempo t1 = x1/vA = 0,222 m/9 (m/s) = 0,025 s. En ese tiempo t2 la tortuga recorre x2 = vT · t2 = 0,02 (m/s) · 0,025 s = 0,0005 m, y, aunque está muy cerca, Aquiles no logra alcanzarla. El proceso se repite indefinidamente, con Aquiles siempre detrás de la tortuga, aunque cada vez más cerca. De acuerdo con lo anterior, Aquiles no alcanzaría nunca a la tortuga.

b) A la cinemática

Aquiles alcanza a la tortuga cuando xA = xT, es decir cuando ambos se encuentran a la misma distancia del origen. Es decir, cuando:

vAt = x0 + vT t

por lo que el tiempo correspondiente resulta ser:

¡y Aquiles alcanza a la tortuga!

¿Quién tiene la razón?

En la solución a la griega se puede construir la siguiente serie de tiempos:

que se puede representar en forma compacta como

con α ≡ vT /vA. Resulta que la sumatoria infinita, para el caso α² < 1, tiene como resultado

Como en este caso,

α² = (vT /vA)² = (0,02 m/s/9m/s)² = 0,00000494 < 1

reemplazando la sumatoria por su valor, se obtiene

que es el mismo valor anterior obtenido con las ecuaciones de la cinemática. Es decir, no hay contradicción entre ambas soluciones.

Moraleja: En física más vale calcular y argumentar que sólo argumentar.

1.10. Sistemas de referencia y trigonometría

1.10.1. Sistemas de coordenadas

En el estudio de los fenómenos naturales, una primera caracterización involucra necesariamente los conceptos de localización espacial. Ello requiere de la asignación de un conjunto de números, en un cierto sistema de unidades, que permitan inequívocamente determinar la posición en el espacio de algún objeto en particular. Determinada la posición en un instante dado de tiempo, el cambio de esa posición en un instante posterior conlleva la idea o concepto de movimiento.

Figura 1.8: Localización espacial en una dimensión.

Poder localizar espacialmente un objeto implica conocer su posición respecto de algún punto de referencia, lo que se expresa en términos de la distancia a la cual se encuentra el objeto del punto de referencia. Analicemos más en detalle