Estadistica Descriptiva

3. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Dr. Edgar Acuna
http://math.uprm.edu/~edgar

UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO
RECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ

Minitab 14

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

En este capítulo se verán las técnicas que se usan para la organización
y presentación de datos en tablas y gráficas, así como el cálculo de
medidas estadísticas. Se considerarán solamente datos univariados y
bivariados.

Minitab 14 Edgar Acuna Universidad de2Puerto R

3.1Organización de datos
Cuantitativos Discretos
3.1.1 Tablas de Frecuencias: Los datos cuantitativos discretos se organizan
en tablas, llamadas Tablas de Distribución de frecuencias. tipos de
frecuencias:
Frecuencia absoluta: Indica el número de veces que se repite un valor de la
variable.

Frecuencia relativa: Indica la proporción con que se repite un valor. Se
obtiene dividiendo la frecuencia absoluta entre el tamaño de la muestra.
Para una mejor interpretación es más conveniente mutiplicarla por 100
para trabajar con una Frecuencia relativa porcentual.

Frecuencia absoluta acumulada: Indica el número de valores que son
menores o iguales que el valor dado.

Frecuencia relativa porcentual acumulada: Indica el porcentaje de datos
que son menores o iguales que el valor dado.

3.1.2 El plot de puntos (“Dotplot”)
La gráfica más elemental es el plot de puntos (“Dotplot”) que consiste en
colocar un punto cada vez que se repite un valor. Esta gráfica permite
explorar la simetría y el grado de variabilidad de la distribución de los
datos con respecto al centro, el grado de concentración o dispersión de los
datos con respecto al valor central y permite detectar la presencia de
valores anormales (“outliers”).
En MINITAB el plot de puntos se obtiene eligiendo la opción Dotplot del
menú Graph.


3.1.3 Gráfica de Línea
La gráfica de línea es una alternativa a la gráfica de puntos. Por cada valor
de la variable se traza una linea vertical de altura proporcional a la
frecuencia absoluta del valor de la variable.

3.2 Organización de datos Cuantitativos Continuos:
Cuando los datos son de una variable continua o de una variable discreta
que asume muchos valores distintos, ellos se agrupan en clases que son
representadas por intervalos y luego se construye una tabla de frecuencias,
cada frecuencia absoluta (relativa porcentual) representa el número
(porcentaje) de datos que caen en cada intervalo.


3.2.1 Tablas de frecuencias-Histograma
en modo texto
La forma de obtener este histograma es eligiendo la opción Character Graphs
del menú Graph y luego del submenú que sale se elige Histogram. En la salida
aparecerán los puntos medios de los intervalos de clase (llamados también
Marcas de clase) y la frecuencia absoluta de cada clase.

3.2.2 Histograma en modo gráfico
Es la gráfica de la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados,
consiste de barras cuyas bases son los intervalos de clases y cuyas alturas son
proporcionales a las frecuencias absolutas (o relativas) de los correspondientes
intervalos.


3.3 Presentación de datos cualitativos
En este caso los datos también se pueden organizar en tablas de frecuencias,
pero las frecuencias acumuladas no tienen mucho significado, excepto cuando
la
variable es ordinal. Para obtener la tabla se sigue la secuencia STATSTablesT
Tally. Si se desea obtener las frecuencias acumuladas se pueden seleccionar en
la ventana Tally.

3.3.1 Gráficas de Barras
Las gráficas de barras pueden ser verticales u horizontales. Las gráficas de
barras se obtienen eligiendo la opción Bar Chart del menú Graph. Si se
desea una gráfica de barras verticales simple, entonces se elige la opción de
Counts of unique variables como el significado de las barras y
simultáneamente la opción Simple.


3.3.2 Gráficas Circulares

Este tipo de gráfica se usa cuando se quiere tener una idea de la
contribución de cada valor de la variable al total. Aunque es usada más
para variables cualitativas, también podría usarse para variables
cuantitativas discretas siempre que la variable no asuma muchos valores
distintos.

Para obtener gráficas circulares se usa la opción Pie Chart del menú
Graph.


3.4 Gráfica de tallo y hojas (“Stem-
and-Leaf ”)
Es una gráfica usada para datos cuantitativos.
Ejemplo 3.4. Los siguientes datos representan pesos de una muestra de 15
varones adultos.
165 178 185 169 152 180 175 189 195 200 183 191 197
208 179
Hacer su gráfica de “Stem-and Leaf”.

Solución: En este caso las ramas la forman los primeros dos dígitos de los
datos, y las hojas serán dadas por los últimos dígitos de los datos.

continuación: …


Ejemplo 3.4.
Luego el “stem-and leaf “ será de la siguiente manera:

Interpretación: El uso del “stem-and-leaf” es exactamente igual al del
Histograma, la única diferencia está en que del “stem-and-leaf” se
pueden recuperar los datos muestrales, pero de un histograma no se puede
hacer. En este ejemplo el “stem-and-leaf” es asimétrico a la izquierda,
no tiene mucha variabilidad ni “outliers”.

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3.5 Cálculo de Medidas Estadisticas
Hay dos tipos principales de medidas Estadísticas: medidas de Tendencia
Central y medidas de Variabilidad.
Las medidas de tendencia central dan una idea del centro de la
distribución de los datos. Las principales medidas de este tipo son la media
o promedio aritmético, la mediana, la moda y la media podada.

Las medidas de variabilidad expresan el grado de concentración o
dispersión de los datos con respecto al centro de la distribución. Entre las
principales medidas de este tipo están la varianza, la desviación estándar,
el rango intercuartílico. Aparte también hay medidas de posición, como
son los cuartiles, deciles y percentiles. Además, una medida de asimetría
(“skewness”) y una medida de aplanamiento (“kurtosis”).

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3.5.1 Medidas de Centralidad
La media o promedio se obtiene sumando todos los datos y dividiendo
entre el número de datos. Es decir, si x1, x2,…,xn, representan las
observaciones de una variable X en una muestra de tamaño n, entonces la
media de la variable X está dada por:
n

∑x i
x= i =1

n
La media podada es una medida más resistente que la media a la
presencia de valores anormales. Para calcular la Media Podada, primero se
ordenan los datos en forma creciente y luego se elimina un cierto
porcentaje de datos (redondear si no da entero) en cada extremo de la
distribución, finalmente se promedian los valores restantes.

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3.5.2 Medidas de Variabilidad
El rango o amplitud es la diferencia entre el mayor y menor valor de la
muestra. Mientras mayor sea el rango existe mayor variabilidad.
La varianza es una medida que da una idea del grado de concentración de
los datos con respecto a la media. Para determinar el grado de
concentración de los datos sería el promedio de las desviaciones con
repecto a la media, es decir ,
n

∑( x
i=1
i −x)

n

La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza y tiene
la ventaja que está en las mismas unidades de medida que los datos. Se
representa por s.

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3.5.3. Medidas de Posición
Los Cuartiles: Son valores que dividen a la muestra en 4 partes
aproximadamente iguales. El 25% de los datos son menores o iguales que
el cuartil inferior o primer cuartil, representado por Q1. El siguiente 25 %
de datos cae entre el cuartil inferior y la mediana, la cual es equivalente al
segundo cuartil. El 75 % de los datos son menores o iguales que el cuartil
superior o tercer cuartil, representado por Q3, y el restante 25% de datos
son mayores o iguales que Q3.

Los Deciles: Son valores que dividen a la muestra en 10 partes iguales

Los Percentiles: Dado un cierto porcentaje 100p, donde p varía entre 0 y
1, el percentil del 100p% es un valor tal que 100p% de los datos caen a la
izquierda del percentil. En particular, la mediana y los cuartiles son
percentiles. El primer cuartil es el percentil de 25%, la mediana es el
percentil del 50% y el tercer cuartil es el percentil del 75%.
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3.5.4 Cálculo de medidas estadísticas
usando MINITAB.
En MINITAB se pueden calcular simultáneamente varias medidas estadísticas de
centralidad y de variabilidad para un conjunto de datos, para esto se elige la opción
Display Descriptive Statistics del submenú de Basic Statistics del menú STAT.

3.6 El Diagrama de Caja (“Boxplot”)
Permite tener una idea visual de la distribución de los datos. O sea, determinar si
hay simetría, ver el grado de variabilidad existente y finalmente detectar “outliers”
.
En MINITAB hay varias maneras de obtener el “Boxplot” de un conjunto de datos,
una de ellas es eligiendo la opción Boxplot del menú Graph. Otra manera es
obtener un “boxplot” es eligiendo la opción Character Graphs del menú
Graph y luego boxplot del listado que aparece.

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3.7 Organización y Presentación de
datos Bivariados
3.7.1 Datos bivariados categóricos
Para organizar datos de dos variables categóricas o cualitativas se usan
tablas de doble entrada. Los valores de una variable van en columnas y
los valores de la otra variable van en filas. Para hacer esto en MINITAB
se elige la opción Tables del menú Stat. y luego la opción Cross
Tabulation del submenú deTables.

Hay dos maneras de usar Cross Tabulation dependiendo de como se
han entrado los datos. Primero, cuando los datos de cada variable están
dados en dos columnas distintas. O sea, como si hubiesen sido las
contestaciones de un cuestionario.

La segunda situación donde Cross Tabulation es usada, es cuando las
frecuencias absolutas de cada celda están totalizados
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Ejemplo 3.17.
Los siguientes datos se han recopilados para tratar de establecer si
hay relación entre el Sexo del entrevistado y su opinión con respecto a
una ley del Gobierno.

Usar MINITAB para construir una tabla de contingencia y responder
además las siguientes preguntas:
a) ¿Qué porcentaje de los entrevistados son mujeres que se abstienen
de opinar?
b) De los entrevistados varones. ¿Qué porcentaje está en contra de la
ley?
De los entrevistados que están a favor de la ley. ¿Qué porcentaje son
varones?
De los que no se abstienen de opinar ¿Qué porcentaje son varones?
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Solución:
En este caso se entra la columna c3 (‘conteo’ ) en la ventanita
correspondiente a Frequencies are in que aparece en la ventana de
dialogo de Cross Tabulation . Los resultados serán como sigue:

Cuando se tiene dos variables categóricas se pueden hacer gráficas de
barras agrupadas ("bars in clusters") o en partes componentes ("stacked
bars") para visualizar la relación entre ellas.
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Ejemplo 3.20
Hallar una gráfica de partes componentes para comparar los estudiantes
(por programa) según el tipo de escuela de donde proceden, usando datos
del ejemplo 3.1.
Solución: Bajo la opción de Graphs -> Bar Chart, las opciones que se
muestran en la figura 3.37.

Figura 3.37: Ventanas de diálogo para una gráfica de partes componentes

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Continuación (Ejemplo 3.20)
Solución:
Luego, en la ventana de Scale -> Axes and Ticks elija la opción
“Transpose value and category scales” y en la ventana de Labels coloque
el título de la gráfica y los valores correspondientes a las barras. La gráfica
resultante se muestra en la Figura 3.38.

Figura 3.38. Gráfica de barras en partes componentes para la variable
Programa según Escuela
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3.7.2 Conjunto de datos que contienen
una variable cualitativa y otra
cuantitativa
La forma estándar de presentar los datos es en columnas donde cada
columna representa un valor de la variable cualitativa y los valores dentro
de cada columna representan valores de la variable cuantitativa. En general
el objetivo es comparar los valores de la variable cualitativa según los
valores de la variable cuantitativa, esto se lleva a cabo con una técnica
llamada análisis de varianza (ver capítulo 10).

La gráfica más adecuada para representar este tipo de información es el
"Boxplot".

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3.7.3 Datos Bivariados Continuos

Si se quiere representar la relación entre dos variables cuantitativas
entonces se usa un diagrama de dispersión (“Scatterplot”). Para obtener un
diagrama de dispersión entre dos variables X e Y se usa la opción
Scatterplots del menú Graph.

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Ejemplo 3.22
Es bien frecuente tener datos de una variable para un período de tiempo
(dias, meses o años), estos tipos de datos son llamados series cronológicas
o series temporales. Para este tipo de datos se pueden hacer gráficos de
barras (aunque éstas son inadecuadas si el período de tiempo es muy
grande) y gráficas lineales. Las siguientes gráficas se refieren al número
de visitantes a Puerto Rico desde 1950 hasta 1998.

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3.8 El Coeficiente de Correlación
Llamado también coeficiente de correlación de Pearson, se representa por r y es
una medida que representa el grado de asociación entre dos variables cuantitativas
X e Y.

Sxx es llamada la Suma de Cuadrados corregida de X, Syy es la Suma de
Cuadrados Corregida de Y, y Sxy es la Suma de Productos de X e Y.
Tanto Sxx como Syy no pueden ser negativas, Sxy si puede ser positiva o
negativa.
La correlación varia entre -1 y 1.
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Ejemplo 3.23.
El dueño de una empresa que vende carros desea determinar si hay relación
lineal entre los años de experiencia de sus vendedores y la cantidad de
carros que venden. Los siguientes datos representan los años de experiencia
(X) y las unidades de carros vendidas al año (Y), de 10 vendedores de la
empresa.

Solución:
Haciendo uso de la calculadora de MINITAB. Se obtienen los siguientes
resultados

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Solución: (Ejemplo 3.23.)
Interpretación:
Existe una buena relación lineal entre los años de experiencia y las
unidades que vende el vendedor. Además mientras más experiencia tiene
el vendedor más carros venderá. Se puede usar los años de experiencia
para predecir las unidades que venderá anualmente a través de una línea
recta.

En MINITAB, el coeficiente de correlación se puede obtener eligiendo la
opción correlation del submenú Basic Statistics del menú Stat.

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3.9 Una introducción a Regresión
Lineal.
La variable Y es considerada como la variable dependiente o de respuesta
y la variable X es considerada la variable independiente o predictora. La
ecuación de la línea de regresión es:

ˆ
Donde: α es el intercepto con el eje Y, y β es la pendiente de la línea de
ˆ

regresión. Ambos son llamados los coeficientes de la línea de regresión.
ˆ
Los estimadores α y β son hallados usando el método de mínimos
ˆ

cuadrados, que consiste en minimizar la suma de los errores cuadráticos
de las observaciones con respecto a la línea. Las fórmulas de cálculo son:

donde x es la media de los valores de la variable X y y es la media de los
valores de Y.

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3.9 Una introducción a Regresión
Lineal.
Interpretación de los coeficientes de regresión:
ˆ
La pendiente β se interpreta como el cambio promedio en la variable de
respuesta Y cuando la variable predictora X se incrementa en una unidad
adicional.
El intercepto indica el valor promedio de la variable de respuesta Y
cuando la variable predictora X vale 0. Si hay suficiente evidencia de que
X no puede ser 0 entonces no tendría sentido la interpretación deα .
ˆ

En MINITAB, es posible obtener simultáneamente, el “scatterplot”, el
coeficiente R2 y la línea de regresión. Para esto, se sigue la secuencia
StatS Regression Fitted line Plot

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Ejemplo 3.25.
Supongamos que se desea establecer una relación entre la nota que un
estudiante obtiene en la parte de aprovechamiento matemático de ingreso
(CEEB) y el Promedio académico al final de su primer año de universidad
(GPA). Se toma una muestra de 15 estudiantes y se obtiene los siguientes
datos:

Obtener el diagrama de dispersión de los datos, la ecuación de la línea de
regresión y trazar la línea encima del diagrama de dispersión.

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Solución (Ejemplo 3.25.)
La variable independiente es CEEB y la La ecuación de la línea de regresión
variable dependiente es GPA. La gráfica es: aparecerá en la ventana session
Regresión de GPA versus CEEB
GPA = 2.210 + 0.001087 CEEB
3.50 S 0.291371
R-Sq 12.1%
R-Sq(adj) 5.4%

3.25

3.00
GPA

2.75

Interpretación: La pendiente
2.50
0.00109 indica que por cada punto
400 500 600
CEEB
700 800
adicional en el College Board el
promedio del estudiante subiría en
Interpretación: El coeficiente de promedio en 0.00109, o se podría
determinación es .121 y como la pendiente de decir que por cada 100 puntos más
la línea de regresión es positiva resulta ser en el College Board el promedio
académico del estudiante subiría
que la correlación es .11, esto indica una en .109. Por otro lado, si
pobre relación lineal entre las variables consideramos que es imposible que
CEEB y GPA. O sea que es poco confiable un estudiante sea admitido sin tomar
predecir GPA basado en el CEEB usando una el College Board, podemos decir que
no tiene sentido interpretar el
línea. intercepto.
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Predicción
Uno de los mayores usos de la línea de regresión es la predicción del valor
de la variable dependiente dado un valor de la variable predictora. Esto se
puede hacer fácilmente sustituyendo el valor dado de X en la ecuación.

Por ejemplo, supongamos que deseamos predecir el promedio académico
de un estudiante que ha obtenido 600 puntos en la parte matemática del
examen de ingreso. Sustituyendo x =600 en la ecuación de la línea de
regresión se obtiene Y=2.21+.00109*600=2.21+.654=2.864. Es decir que
se espera que el estudiante tenga un promedio académico de 2.86.

MINITAB también tiene una opción que permite hacer predicciones pero,
esto será tratado en el capítulo 9 del texto.

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