Función afín
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El documento explica conceptos básicos sobre funciones afines y rectas. Define una función afín como una función polinómica de primer grado de la forma f(x)=ax+b. Explica que los coeficientes a y b son la pendiente y la ordenada al origen, respectivamente. También cubre temas como representación gráfica de funciones afines, paralelismo y perpendicularidad entre rectas, ecuaciones de rectas en diferentes formas, y cálculo de distancias.
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Función afín
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- 4. Función afín . Ecuación explicita de la recta A la función polinómicas de la primer grado f (x) = ax + b, siendo a y b números reales, se la denomina función afín. Los coeficientes principales e independientes de la función reciben el nombre de pendiente y ordenada al origen , respectivamente. Ecuación explícita de la recta : Y = ax + b ordenada al origen Pendiente La representación grafica de una afín es una recta. • La Pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente ( • y) y la variación de la variable independiente ( • x) de cualquier punto de la misma. Y2 - Y1 X2 - X1 A= = • y • x • La ordenada al origen es el valor de donde la recta corta al eje y f (0) = b b X1 X2 y X1
- 5. El valor de la pendiente determina que una función afín se creciente, constante o decreciente. y x a > 0 creciente y x a= 0 Constante x y a < 0 Decreciente A las funciones afines que pasa por el origen de coordenadas (0,0), se las denomina funciones lineales . Representación grafica de una función afín en forma explícita Para graficar una función afín se debe marcar la ordenada al origen (b) y, a partir de ella, representar un par de valores cuyo cociente sea igual al valor de la pendiente (a). 3 4 1 3 b = 3 a = • y/ • x = 1/3 Y= 1/3x + 3 1 -2 5 -2 6 b = 1 a = • y/ • x = 5/-2 y y x x
- 6. Perpendicularidad y paralelismo entre rectas Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. M: y= a¹. x + b¹ P: y= a² . X + b² M//P a¹ = a ² 3 -4 0 y x T:y³=1/2 x - 4 R // S // T S:y ² = 1/2x R:y¹ = ½ x 3 y 5 x 1 -3 N // H // G G: y³ = -3 H: y²= 1 N: y¹ = 5
- 7. Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas. S: y= a¹ . X + b¹ N: y= a ². x + b ² S ┴ N a ¹ = -1/a² Rectas perpendiculares L ┴ Z Z: y² = -x L: y ¹ = x x y K ┴ V y x V: y² = -2/3x + 2 K: y¹ = 2/3x + 1
- 8. Ecuación segmentaria de la recta Toda ecuación de la forma x/m + y/n = 1, representa una recta en forma segmentaria. Los denominadores m y n representan a la abscisa y a la ordenada al origen, respectivamente. m n Abscisa al origen ordenada al origen x y x/m + y/n = 1 Dada la recta y= 3x – 2, para pasar de la ecuación explicita a la segmentaria se produce de la siguiente manera: Y = 3x – 2 3x –y = 2 3x – y = 2/2 2 3x/2 + y/-2 = 1 x/2/3 + y/-2 = 1 Para representar gráficamente una función afín en forma segmentaria se determina sobre los ejes las intersecciones con la recta y luego se traza la misma. y x 1 2/3 -1 -2 1 3 1 2 x/2/3 + y/-2 =1 Y= 3x - 2
- 9. Ecuación de una recta, dadas la pendiente y punto de la misma Formula para hallar la ecuación de una recta , dada su pendiente (a) y un punto perteneciente a la misma ( x¹ ; y ¹ ). Y – y¹ = a (x – x ¹) La ecuación explicita de una recta cuya pendiente es 2 y pasa por el punto ( 1;3) es: y – 3 =2 ( x – 1) y – 3 = 2x – 2 y= 2x – 2 + 3 y = 2x + 1 Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma Formula para hallar la ecuación de una recta, dados dos puntos pertenecientes a ella : (x¹; y ¹) y ( x²; y ²). y – y¹ = x – x¹ y² - y¹ = x² - x ¹ La ecuación explicita de una recta que pasa por los puntos (2;1) y (5;3) es : (2 ; 1) y ( 5 ; 3) X¹ y¹ x ² y ² y – 1 = x – 2 3 – 1 = 5 – 2 Y – 1 = x - 2 2 = 3 y – 1 =( 1/3x – 2/3 ) . 2 Y = 2/3x – 4/3 + 1 y = 2/3x – 1/3
- 10. Distancias en el plano La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que tiene a dichos puntos por extremos. Para la calcular la distancia entre dos puntos se aplica el teorema de Pitágoras. Sean los puntos :a = ( x¹ ; y ¹) y b = ( x²; y²) ab² = ac² + bc ab = ac² + bc² D (a,b) = (x² - x¹)² + ( y² - y¹)² La distancia entre m y n es: M= (-3; 1) n= (3; 2) x¹ y¹ x² y² D (m,n) = (3- (-3) )² + (2 – 1 ) ² D (m,n)= 6² + 1² = 37 y x X² X¹ y² y¹ b a c x¹ - x² y -3 x 3 1 2 n m
- 11. Distancia de un punto a una recta La distancia de una recta a un punto no perteneciente a la misma, es la longitud del segmento perpendicular a la recta que tiene por extremos a un punto de la misma y al punto considerado. La distancia de un punto p = ( x¹ ; y¹) a una recta. R: Ax + By + C = 0 está dada por la siguiente formula : D( R,p) = Ax¹ + By¹ + C A² + B² Calcular la distancia: del punto s= (2;4) a la recta A: y = 3/4x + 5 A: 3/4x – y + 5 = 0 A: 3x – 4y + 20 = 0 D (A,s ) = 3.2 – 4.4 + 20 3² + (-4) ² D( A,s) = 6 – 16 + 20 = 10/5 = 2 25 y x y¹ R x¹ y x 2 5 4 A: 3x – 4y +20 = 0
- 12. Función valor absoluto Se define la función modulo o valor absoluto como : F(x) = x = { x si x > 0 { -x si x < 0 f: R R -4 -5 -2 -3 -1 2 1 3 4 x 5 y y= x 5 3 4 1 2 y =-x Funciones de la forma: f(x) = x + c • Si c > 0, la función x queda desplazada c unidades hacia la izquierda . f(x) = x + 2 Si c < 0, la funcion x queda desplazada c unidades hacia la derecha F(x) = x-3 2 2 x y 3 3 x y
- 13. 2) Funciones de la forma: f(X)= x + b Si b > 0, la función x queda desplazada b unidades hacia arriba . F(x)= x + 1 • Si b < 0, la función x queda desplazada b unidades hacia abajo . F(x)= x - 4 x y 1 -4 -4 4 x y Para graficar ciertas funciones, se deben redefinir las mismas aplicando la definición de valor absoluto. F(x) = -3 2x – 4 + 1 a) 2x-4 > 0 x > 2 F(x) = -3 (2x – 4) + 1 = -6x + 12 + 1 F(x) = 6x + 13 x> 2 b) 2x – 4 < 0 x < 2 F(x) = -3 (-2x + 4 ) + 1 = 6x – 12 + 1 F(x) = 6x – 11 x < 2 F(x)= {¨-6x + 13 si x > 2 { 6x – 11 si x < 2 -2 -3 -1 1 -6 -7 -8 -4 -5 -11 1 -9 -10 5 3 2 4 x y 0 F(x) = -3 2x – 4 + 1 y=6x - 11 Y= -6x + 13