áLgebra

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
9 DE LA UNIDAD

Pág. 1

PÁGINA 191

EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Expresiones algebraicas

1 Haz corresponder cada enunciado con su expresión alge- 1,3x
braica: 3x
• La mitad de un número. 2

• El triple de la mitad de un número. x
2
• La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60
km/h. x – 60
• El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo. 1,3x
2
• La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene
x años, tenía 60 años cuando nació Pedro. 60x

• El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros.
x
• La mitad de un número →
2
3x
• El triple de la mitad de un número →
2
• La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60 km/h → 60x
• El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo → 1,3x
• La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60
años cuando nació Pedro → x – 60
1,3x
• El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros →
2

2 Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados:
• Teresa tiene x años.
• Su hija tiene 25 años menos que ella.
• Su madre tiene doble edad que ella.
• Su padre le saca 6 años a su madre.
• Teresa tenía 8 años cuando nació su hermano Lorenzo.

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 2

EDAD EDAD

TERESA x TERESA x
LA HIJA LA HIJA x 25
LA MADRE LA MADRE 2x
EL PADRE EL PADRE 2x 6
LORENZO LORENZO x 8

3 Lee los enunciados y completa la tabla:
• Eva recibe, de paga semanal, x euros. PAGA SEMANAL

EVA x
• A Leticia le faltan 10 € para recibir el
LETICIA
doble que Eva.
RAQUEL
• Raquel recibe 50 € más que Leticia.
ENTRE LAS TRES

PAGA SEMANAL

EVA x
LETICIA 2x 10
RAQUEL 2x 40
ENTRE LAS TRES 2x 30

4 Completa:
n 1 3 7 10 15 20 n 1 5 9 15 21 27
3n + 2 n+1
2

n 1 3 7 10 15 20 n 1 5 9 15 21 27
3n + 2 5 11 23 32 47 62 n+1
1 3 5 8 11 14
2

5 Expresa algebraicamente las sucesivas transformaciones que sufre un
número, n, al ser sometido a la siguiente cadena de operaciones:
ENTRADA SALIDA
↓ ↓
·4 +6 :2 –1
n  4n 
→ → 
→ 
→

Completa esta tabla de entradas-salidas para la anterior cadena de transforma-
ciones:
ENTRADAS 1 2 4 7 10 … n
SALIDAS 4

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 3

ENTRADA SALIDA
↓ ↓
·4 +6 :2 –1
n  4n  4n
→ → 6  2n
→ 3  2n
→ 2

ENTRADAS 1 2 4 7 10 … n
SALIDAS 4 6 10 16 22 … 2n 2

6 Completa el valor que corresponde a un número cualquiera n:

0 1 2 3 4 … n 2 4 8 16 20 … n
0 1 8 27 64 … 2 3 5 9 11 …

0 1 2 3 4 … n 2 4 8 16 20 … n
0 1 8 27 64 … n3 … n
2 3 5 9 11 1
2

Monomios y operaciones

7 Completa la tabla siguiente:

2 22 2 3
MONOMIO 2x3 –5ax xy –x y
3
COEFICIENTE

PARTE LITERAL

GRADO

2 22 2 3
MONOMIO 2x3 –5ax xy –x y
3
2
COEFICIENTE 2 –5 –1
3
PARTE LITERAL x3 ax x2y2 x2y3
GRADO 3 2 4 5

8 Reduce las siguientes expresiones:
a) x x x x x b) 3x 2x
c) 10x 6x d) 3x 7
e) 3x 2x x f) 10x 6x 2x
g) a a b h) 5a 3a 4b b
2 2 2
i) a 2a j) a a a

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 4

k) 3a 5a 2a2 4a2 l) 2a2 6a a2 a2
a) x x x x x 5x b) 3x 2x 5x
c) 10x 6x 4x d) 3x 7 → No se puede reducir más.
e) 3x 2x x 6x f ) 10x 6x 2x 6x
g) a a b 2a b h) 5a 3a 4b b 2a 5b
i) a 2 2a 2 3a 2 j) a 2 a a a2 2a
k) 3a 5a 2a 2 4a 2 8a 6a 2 l) 2a 2 6a a2 a2 6a

PÁGINA 192

9 Opera y reduce:
a) 2 (5a) b) ( 4) (3x)
c) (5x) ( x) d) (2x) (3x)
1
e) (2a) ( 5ab) f) (6b) b
3
2 2 5 2
g) x (3x) h) x x
3 5 2
a) 2 (5a) 10a b) ( 4) (3x) 12x

c) (5x) ( x) 5x 2 d) (2x) (3x) 6x 2
1
e) (2a) ( 5ab) 10a 2b f ) (6b) b 2b 2
3
2 2 5 2
g) x (3x) 2x 2 h) x x x3
3 5 2

10 Quita paréntesis:
a) 3 (1 x) b) 2a (a b)
c) ( 3x) (x x 2) d) ( 5) (1 2a)
e) a2 (a 1) f) 3x (2x 3y)
g) 5ab (a 2b) h) a2b (1 a b)
a) 3 (1 x) 3 3x b) 2a (a b) 2a 2 2ab
c) ( 3x) (x x 2) 3x 2 3x 3 d) ( 5) (1 2a) 5 10a
e) a 2 (a 1) a3 a2 f ) 3x (2x 3y) 6x 2 9xy

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 5

g) 5ab (a 2b) 5a 2b 10ab2 h) a 2b (1 a b) a 2b a 3b a 2b2

11 Reduce:
a) 5(1 2x) 5 b) 3(x 1) 2(x 1)
2
c) a (1 a) (1 a) d) a (a b) b (a b)
e) 5x (2x 3) 4x (2x 3) f) ab (1 a) ab (1 b)
a) 5 (1 2x) 5 5 10x 5 10x
b) 3 (x 1) 2 (x 1) 3x 3 2x 2 x 5
c) a (1 a) (1 a 2) a a2 1 a2 a 1
d) a (a b) b (a b) a2 ab ba b2 a2 b2
e) 5x (2x 3) 4x (2x 3) 10x 2 15x 8x 2 12x 2x 2 3x
f ) ab (1 a) ab (1 b) ab a 2b ab ab 2 ab2 a 2b

12 Opera y reduce:
a) (2x) : (2x) b) (6a) : ( 3a)
c) (3b) : (6b) d) (15x 2) : (3x)
e) ( 8x) : (4x 2) f) (a3b2) : (ab2)
g) (10x) : (5x 3) h) (2a2b) : (4ab2)
2x 6a 2 3 a
a) 1 b) 2
2x 3a 3 a
3b 3 b 1 15x 2 3 5 x x
c) d) 5x
6b 3 2 b 2 3x 3 x
8x 2 2 2 x 2 a 3b 2 a a a b b
e) 2 f) a2
4x 2 2 x x x ab 2 a b b
10x 2 5 x 2 2a 2b 2 a a b a
g) 3 h)
5x 5 x x x x2 4ab 2 2 2 a b b 2b

Ecuaciones para resolver por tanteo

13 x2 25
x 5, x 5

14 x2 1 24
x 5, x 5

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 6

15 x2 10 35
x 5, x 5

16 x2 x 30
x 5, x 6

17 (x 1)2 36
x 5, x 7

18 (x 1)2 100
x 9, x 11

2
x
19 4
2
x 4, x 4

20 (3x)2 81
x 3, x 3

21 x (x 1) 30
x 5, x 6

22 x (x 1) 20
x 5, x 4

23 x (x 2) 120
x 10, x 12

24 x (x 2) 80
x 10, x 8

25 x 7
x 49

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 7

26 x 1 7
x 50

27 x 9 4
x 25

x 8
28 1
2
x 10

Ecuaciones sencillas

29 2x 1 21
20
2x 20; x ; x 10
2

30 2x x 5
2x x 5; x 5

31 7x 15 1
7x 1 15
14
x
7
x 2

32 4x 1 x 1
4x x 1 1
3x 2
2
x
3

33 2x 3 6x 1
2x 6x 1 3
4x 2
2 1
x ; x
4 2

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 8

34 2x 5 x 4 2x
3x 2x 4 5
1
5x 1; x
5

35 2 3x 5 x 5
3x x 5 2 5
2x 8
x 4

36 x 8 2x 18 x
x x 18 8
2x 10
10
x ; x 5
2

37 9x x x 4 7x
8x 8x 4
8x 8x 4
0x 4 → No tiene solución.

38 6 5x 9x 4 6x
5x 15x 4 6
10x 10
10
x ; x 1
10

39 2x 6 4x 2 2x
2x 6x 8
8x 8
8
x ; x 1
8

40 x 2x 4x 14 x 2
7x x 2 14
6x 12
12
x ; x 2
6

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 9

41 8x 3 5x x 5 3x
3x 2x 5 3
5x 8
8
x
5

42 5x 8 7x 3x 9 7x
2x 4x 9 8
2x 17
17
x
2

43 7x 4 x 6x x 3 x 1
2x 2x 4 4
0 0
La ecuación tiene infinitas soluciones.

PÁGINA 193

Ecuaciones con paréntesis

46 5 (3x 2) 4x
5 3x 2 4x
3x 4x 5 2
7x 7
7
x
7
x 1

47 8x 11 6 (3 7x)
8x 11 6 3 7x
8x 7x 3 11
x 8

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 10

48 3(x 2) 18
3x 6 18
3x 12
12
x
3
x 4

49 2(x 1) 5x 3
2x 2 5x 3
2x 5x 3 2
3x 1
1
x
3

50 6 2(x 1) 2
6 2x 2 2
2x 2 8
6
x ; x 3
2

51 5x (1 x) 3(x 1) 2
5x 1 x 3x 3 2
6x 3x 1 1
3x 0; x 0

52 5(2x 1) 3x 7(x 1) 2
10x 5 3x 7x 7 2
7x 7x 5 5; 0 0 → La ecuación tiene infinitas soluciones.

53 3(2x 1) 2(1 2x) 5
6x 3 2 4x 5
2x 5 1
6
x ; x 3
2

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 11

54 6(x 2) x 5(x 1)
6x 12 x 5x 5
5x 5x 5 12
0x 7 → La ecuación no tiene solución.

55 4x 2(x 3) 2(x 2)
4x 2x 6 2x 4
6x 2x 4 6
1
4x 2; x
2

56 2(1 x) 3 3(2x 1) 2
2 2x 3 6x 3 2
2x 6x 5 1

8x 6
6 3
x
8 4

57 6 8(x 1) 5x 2(3 2x) 5(3 x)
6 8x 8 5x 6 4x 15 5x
2 13x 9 x
13x x 9 2

12x 7
7
x
12

Ecuaciones con denominadores

x
58 1 0
6
x
6 1 0
6
x 6 0; x 6

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 12

x 5
59
13 13
x 5
13 13
13 13
x 5

x 2
60 1
7 7
x 2
7 1 7
7 7
x 7 2; x 9

x 5 7
61
3 3 3
x 5 7
3 3
3 3 3
x 5 7
x 7 5; x 2

x
62 x 4
5
x
5x 5 4
5
5x 20 x
5x x 20
4x 20; x 5

5x x
63 6 2
3 3
x 5x
3 6 3 2
3 3
18 x 6 5x
x 5x 6 18
6x 12
12
x ; x 2
6

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 13

x 1 2x
64 1
3 2 3
x 1 2x
6 1 6
3 2 3
2x 6 3 4x
2x 4x 3 6
6x 9
9 3
x
6 2

x 4 2x
65 1
2 5 5
x 4 2x
10 10 1
2 5 5
5x 8 4x 10
5x 4x 10 8
x 2

x 7 2x
66 x
3 15 3
x 7 2x
15 x 15
3 15 3
15x 5x 7 10x
10x 10x 7
0x 7
La ecuación no tiene solución.

x 1 3x
67 1
2 4 2
x 1 3x
4 4 1
2 4 2
2x 1 4 6x
2x 6x 4 1
8x 5
5
x
8

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 14

x 1 2x 1
68
9 6 9 2
x 1 2x 1
18 18
9 6 9 2
2x 3 4x 9
2x 4x 9 3
2x 6
x 3

3 1 x x
69 x 1
4 4 2 2
1 x 3 x
4 x 4 1
4 2 4 2
4x 1 2x 3 2x 4
2x 2x 1 1
0 0
La ecuación tiene infinitas soluciones.

Problemas para resolver con ecuaciones

70 El triple de un número, menos cinco, es igual a 16. ¿Cuál es el número?
Triple de un número → 3 x
3x 5 16
3x 16 5
3x 21
x 7
El número es el 7.

71 La suma de tres números consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números?
Tres números consecutivos → x, x 1, x 2
x x 1 x 2 702
3x 3 702
3x 699
x 233
Los números son 233, 234 y 235.

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 15

72 Un número, su anterior y su posterior suman 702. ¿Qué números son?
(Compara el enunciado de este ejercicio con el anterior. ¿Qué relaciones ves?)
í PRIMER NÚMERO → x 1 

→ x

SEGUNDO NÚMERO  CONSECUTIVOS
→ x

TERCER NÚMERO 1
x 1 x x 1 702
3x 702
x 234 → Su anterior es 233
→ Su posterior es 235
Los números son 233, 234 y 235.

73 Al sumar un número natural con el doble de su siguiente, se obtiene
44. ¿De qué número se trata?
Número natural → x
Doble de su siguiente → 2(x 1)
x 2(x 1) 44
x 2x 2 44
3x 42; x 14
Se trata del número 14.

PÁGINA 194

74 Al sumarle a un número 60 unidades, se obtiene el mismo resultado
que al multiplicarlo por 5. ¿Cuál es el número?
x 60 5x
x 5x 60
4x 60
60
x ; x 15
4
Es el número 15.

75 Reparte 680 € entre dos personas de forma que la primera se lleve el
triple que la segunda.
La segunda se lleva x.
La primera se lleva 3x.

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 16

x 3x 680
4x 680
x 170 → 3x 510
La primera se lleva 510 € y la segunda, 170 €.

76 En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el
de mujeres, sabiendo que el de ellas sobrepasa en 17 al de ellos?
í HOMBRES →x
MUJERES → x 17
TOTAL → 511
x x 17 511
2x 511 17
494
x 247 → x 17 264
2
Hay 247 hombres y 264 mujeres.

77 Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor
que su hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tie-
ne 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
í MARISA →x
ROSA →x 3
ROBERTO →x 1
x x 3 x 1 38
3x 38 2
3x 36
x 12
Marisa tiene 12 años; Rosa, 15, y Roberto, 11 años.

78 Pedro, Pablo y Paloma reciben 1 200 € como pago por su trabajo de
socorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro, y
Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?
Pedro → x
Pablo → 3x
Paloma → 2 3x 6x
x 3x 6x 1 200

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 17

10x 1 200
x 120 → 3x 360 → 6x 720
Pedro, 120 €; Pablo, 360 €, y Paloma, 720 €.

79 Marta gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y la
quinta parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le que-
dan 2,70 €?
Su dinero → x
x
Concierto →
2
x
Hamburguesa →
5
x x
x 2,7
2 5
x x
10 x 10 2,7
2 5
10x 5x 2x 27
3x 27
x 9
Marta tenía 9 €.

80 En una granja, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. Es-
tudia la tabla adjunta y traduce a lenguaje algebraico la siguiente igualdad:
PATAS PATAS
MÁS ES IGUAL A 52
DE GALLINA DE CONEJO

CABEZAS PATAS

GALLINAS x 2x
CONEJOS 20 x 4(20 x)

¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?
2x 4(20 x) 52
2x 80 4x 52
2x 52 80
2x 28
x 14
Hay 14 gallinas y 6 conejos.

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 18

81 Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el
precio de cada uno si he pagado 2,6 € por cuatro naturales y seis de frutas?
Yogur natural → x
Yogur de frutas → x 10
4x 6(x 10) 260
4x 6x 60 260
10x 200
x 20
El yogur natural vale 20 céntimos y el de frutas, 30 céntimos.

83 Paz y Petra tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre, Ana, tiene 35
años. ¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edad
de la madre?

HOY DENTRO DE x AÑOS

PAZ 6 6 x
PETRA 9 9 x
ANA 35 35 x

6 x 9 x 35 x
2x 15 35 x
2x x 35 15
x 20
Han de pasar 20 años.

84 Tengo en el bolsillo 13 monedas, unas de 2 céntimos y otras de 5 cénti-
mos. Si las cambio todas por una moneda de 50 céntimos, ¿cuántas tengo de
cada clase?
MONEDAS DE MONEDAS DE 2x 5(13 x) 50
2 CÉNTIMOS 5 CÉNTIMOS
2x 65 5x 50
NÚMERO
x 13 x
DE MONEDAS 3x 15
VALOR 2x 5(13 x)
x 5
Tiene 5 monedas de 2 céntimos y 8 de 5 céntimos.

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

Pág. 19

85 Montse tiene el triple de cromos que Rocío. Intercambian 8 de Montse
(fáciles) por 3 de Rocío (más difíciles). Ahora Montse tiene el doble que
Rocío.
¿Cuántos cromos tiene ahora cada una?

ROCÍO MONTSE

TENÍAN x 3x
CAMBIAN x 3 8 3x 8 3 → Montse, doble que Rocío.

3x 5 2(x 5)
3x 5 2x 10
3x 2x 10 5
x 15
Rocío tenía 15 cromos y Montse, 45 cromos.
Ahora, Rocío tiene 20 cromos y Montse, 40 cromos.

86 En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta co-
rrecta y quitan 3 puntos por cada fallo.
¿Cuántas preguntas ha acertado Mario si ha obtenido 68 puntos?
5x 3(20 x) 68
ACIERTOS FALLOS
5x 60 3x 68
NÚMERO x 20 x
PUNTUACIÓN 5x 8x 128
3(20 x)
x 16
Mario ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4.

87 Un jardín rectangular es 6 metros más largo que ancho.
Si su perímetro mide 92 metros, ¿cuáles son las dimensiones del jardín?
x 6 2x 2(x 6) 92
2x 2x 12 92
x x 4x 80
x 20
x 6 El jardín tiene 20 m de ancho y 26 m de
largo.

Unidad 9. Álgebra

9 DE LA UNIDAD

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PROBLEMAS DE ESTRATEGIA
Para realizar los ejercicios que te proponemos a continuación, aplica ordenada-
mente esta estrategia:

ESTRATEGIA:
• Estudia, primeramente, los casos sencillos.
• Ordena en una tabla los datos que vayas obteniendo.
• Observa regularidades en esos datos y escribe la ley general.

88 Palillos y cuadrados

4 PALILLOS 7 PALILLOS 10 PALILLOS

• ¿Cuántos palillos se necesitan para formar una tira de 5 cuadrados?
• ¿Y para una tira de 10 cuadrados?
• ¿Y para una tira de n cuadrados?
• Completa esta tabla:

No DE CUADRADOS 1 2 3 4 5 6 10 … n
No DE PALILLOS 4 7 10

El primer cuadrado se forma con 4 palillos, y para formar los siguientes hay
que añadir 3 palillos al anterior.
4 4 3 4 3 3 4 3 3 3…
Así, para hacer 5 cuadrados, por ejemplo, hay que poner:
4 3 3 3 3 palillos








el 3, 4 veces
Y para hacer n cuadrados se necesitarán
4 3 3 … 3 palillos








el 3, n 1 veces
La tabla queda así:
No DE CUADRADOS 1 2 3 4 5 6 10 … n
o
N DE PALILLOS 4 7 10 13 16 19 31 … 4 3(n 1) 1 3n

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89 Palillos y parejas de cuadrados


Completa la siguiente tabla:

No DE PAREJAS DE CUADRADOS 1 2 3 4 5 6 10 … n
o
N DE PALILLOS 7 12 17

En este caso se necesitan, para la primera pareja de cuadrados, 7 palillos, y para
las siguientes, 5 más cada vez.
7 7 5 7 5 5 7 5 5 5…
Para formar n parejas de cuadrados se necesitará este número de palillos:
7 5 5 … 5








el 5, n 1 veces
La tabla quedará así:
No DE PAREJAS DE CUADRADOS 1 2 3 4 5 6 10 … n
o
N DE PALILLOS 7 12 17 22 27 32 52 … 7 5(n 1)

↓
2 5n

90 Palillos, bolas y cubos

8 BOLAS 12 BOLAS 16 BOLAS

Completa esta tabla:

No DE CUBOS 1 2 3 4 5 6 10 … n
o
N DE PALILLOS 12 20 28
No DE BOLAS 8 12 16

Partiendo de 12 palillos para el primer cubo, para formar un nuevo cubo se ne-
cesitan, cada vez, 8 palillos más.

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Partiendo de 8 bolas para el primer cubo, se necesitan, para formar nuevos cu-
bos, 4 bolas más para cada uno.
Así, para formar n cubos necesitaremos:
12 8 8 … 8 palillos








n 1 veces
8 4 4 … 4 bolas








n 1 veces
La tabla queda así:

No DE CUBOS 1 2 3 4 5 6 10 … n
o
N DE PALILLOS 12 20 28 36 44 52 84 … 12 8(n 1) 4 8n
o
N DE BOLAS 8 12 16 20 24 28 44 … 8 4(n 1) 4 4n

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