Conjunto preordenado

En matemática, especialmente en teoría del orden, preórdenes son ciertas clases de relaciones binarias que se relacionan con los conjuntos parcialmente ordenados. El nombre cuasiorden es también una expresión común para preórdenes. Muchas definiciones teóricas para los conjuntos parcialmente ordenados se pueden generalizar a preórdenes, pero el esfuerzo adicional de generalización raramente se necesita. Con todo hay campos de uso, tales como la definición de la convergencia vía redes en topología, donde los preórdenes no se pueden substituir por conjuntos parcialmente ordenados sin perder propiedades importantes.

Definición formal

Considere algún conjunto P y una relación binaria R en P. Entonces R es un preorden, o un cuasiorden, si es reflexiva y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:

R=\{(a,b)\in \;P^{2}:\quad R(a,b)\}

Es un conjunto preordenado, si cumple:

1.- La relación R es reflexiva si todo elemento a de P está relacionado consigo mismo.

\forall a\in P:\;(a,a)\in R

2.- La relación R es transitiva si un elemento a está relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

\forall a,b,c\in P:\;{\Big (}(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R{\Big )}\longrightarrow \quad (a,c)\in R

Entonces en una relación binaria de preorden.

Si un preorden cumple también la propiedad simétrica para todo a, b de P, si a R b entonces b R a, (P, R) es una relación de equivalencia

Si un preorden cumple también la propiedad antisimétrica, es decir, a R b y b R a implica a = b, entonces (P, R) es un orden parcial.

Es importante diferenciar las siguientes tres propiedades:

La relación R es simétrica si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b también está relacionado con el a.

\forall a,b\in P:\;(a,b)\in R\longrightarrow \quad (b,a)\in R

Para todo a, b de P, si se cumple que a está relacionada con b entonces b está relacionada con a.

La relación R es asimétrica si un elemento a está relacionado con otro b, entonces el b no está relacionado con el a.

\forall a,b\in P:\;(a,b)\in R\longrightarrow \quad (b,a)\notin R

Para todo a, b de P, si se cumple que a está relacionada con b entonces b no está relacionada con a.

La relación R es antisimétrica si un elemento a está relacionado con b, y b está relacionado con a, entonces a = b.

\forall a,b\in P:\ ((a,b)\in R\land (b,a)\in R)\;\longrightarrow \;a=b

Ejemplo

Un grafo dirigido, que tiene al menos un ciclo, es preordenado dado que cumple la propiedad reflexiva y transitiva, y no es ni simétrico ni antisimétrico.

Orden parcial asociado

Dado un preorden $\lesssim$ en un conjunto $A$ , se puede definir la relación de equivalencia $x\sim y\iff x\lesssim y\land y\lesssim x$ para $x,y\in A$ . El preorden genera una relación de orden en el conjunto cociente dada por $[x]\leq [y]\iff x\lesssim y$ para $x,y\in A$ , que está bien definida ( $[x]$ denota la clase de $x$ para $\sim$ ).