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Disyunción exclusiva

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Disyunción exclusiva

Diagrama de Venn de la conectiva
Nomenclatura
Lenguaje natural A o B pero no ambos
Lenguaje formal
Operador booleano
Puerta lógica
Tabla de verdad

En lógica proposicional, la disyunción exclusiva (también llamado bidisyuntor lógico, disyuntor excluyente, «or» fuerte, «or» exclusivo, o desigualdad material) es un operador lógico simbolizado como XOR, EOR, EXOR, , o es un tipo de disyunción lógica de dos operandos.

Definición

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Podemos definir la disyunción exclusiva: , a través de la función de verdad de sus conectivas lógicas:

Una disyunción exclusiva solamente es verdadera cuando ambas frases tienen valores diferentes y es falsa si las dos frases son ambas verdaderas o ambas falsas.

La tabla de la verdad de la disyunción exclusiva es esta

a b
F F F
V F V
F V V
V V F

Demarcación y equivalencias

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La diferencia entre la disyunción exclusiva y la disyunción inclusiva es que en la disyunción inclusiva hay «información adicional»,[1]​ que «del inicio es claro que uno de las dos alternativas debe ser verdadera»,[2]​ es decir que no sólo al menos que una situación, sino que más de una de las dos situaciones existen.[1]

Las equivalencias de la disyunción exclusiva incluye:

  • Negación de la bicondicional [3]
  • .

Significado y aplicaciones prácticas

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La importancia de la disyunción exclusiva en la lógica moderna es baja, «porque deja formular pocas relaciones».[4]​ Sin embargo, en el Álgebra de Boole la disyunción exclusiva es de gran importancia; la propiedad, que la doble aplicación de la disyunción exclusiva resulta en la identidad, es útil en la criptografía, donde deja de utilizar la misma función en el cifrado y el desciframiento, y también en el uso del sistema RAID.

Equivalencias, simplificación, e introducción

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La disyunción exclusiva puede ser expresada en términos de conjunción lógica (), disyunción lógica (), y negación () de la siguiente manera:

La disyunción exclusiva puede ser expresada de la siguiente manera:

Esta representación del XOR puede resultar útil en la construcción de un circuito o una red, ya que sólo tiene un operador y un número reducido de operadores y . La prueba de esta identidad es la siguiente:

A veces es útil escribir de las siguientes formas:

Esta equivalencia se puede establecer mediante la aplicación de las Leyes de De Morgan dos veces para la cuarta línea de la prueba anterior.

Propiedades de la disyunción exclusiva

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La disyunción exclusiva es asociativa y conmutativa. Además, es su propia inversa y distributiva con respecto a la conjunción lógica, mas no con respecto a la condicional:

Véase también

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Referencias

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  1. a b Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 51
  2. Schülerduden, Philosophie, 2. Aufl. (2002), Disjunktion
  3. Hilbert/Ackermann: Grundzüge, 6. Aufl. (1972), S. 6; Reichenbach: Grundzüge der symbolischen Logik (1999), S. 33
  4. Essler/Martínez: Grundzüge der Logik I, 4. Aufl. (1991), S. 98 Fn. 33