Árbol de clasificación Se dice que una operación matemática es una operación externa en una operación binaria si la aplicación entre los conjuntos es de la forma:
⋆
:
B
×
A
→
A
{\displaystyle \star :\;B\times A\to A\;}
ley de composición externa a la izquierda
⋆
:
A
×
B
→
A
{\displaystyle \star :\;A\times B\to A\;}
ley de composición externa a la derecha [ 1]
⋆
:
A
×
A
→
B
{\displaystyle \star :\;A\times A\to B\;}
⋆
:
A
×
B
→
C
{\displaystyle \star :\;A\times B\to C\;}
siendo
⋆
{\displaystyle \star }
a
⋆
b
→
c
,
⋆
(
a
,
b
)
→
c
,
(
a
,
b
)
→
⋆
c
{\displaystyle a\star b\;\to \;c\;,\quad \star (a,b)\;\to \;c\;,\quad (a,b)\;{\xrightarrow {\star }}\;c}
por oposición a la forma de la aplicación:
⊚
:
A
×
A
⟶
A
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
⊚
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}
Donde a cada par ordenado (a,b) le corresponde un c , siendo a , b y c elementos de A . Que se denomina Operación interna o ley de composición interna.
Dada una Operación binaria de la forma:
⋆
:
B
×
A
⟶
A
(
k
,
a
)
⟼
b
=
k
⋆
a
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&B\times A&\longrightarrow &A\\&(k,a)&\longmapsto &b=k\star a\end{array}}}
donde a cada par ordenado :
(
k
,
a
)
∈
B
×
A
{\displaystyle (k,a)\in B\times A\;}
se le asocia un elemento
b
∈
A
{\displaystyle b\in A}
En este caso se denomina ley de composición externa a la izquierda ; los elementos de B, son para los elementos de A,operadores o multiplicadores a la izquierda.[ 2]
Tomando el conjunto R de números reales, y el conjunto V3 de los vectores de tres dimensiones, y la operación del producto de un escalar por un vector:
⋅
:
R
×
V
3
⟶
V
3
(
k
,
a
→
)
⟼
b
→
=
k
⋅
a
→
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\cdot :&\mathbb {R} \times V_{3}&\longrightarrow &V_{3}\\&(k,{\vec {a}})&\longmapsto &{\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}\end{array}}}
donde un vector:
a
→
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)}
multiplicado por un escalar k de R :
b
→
=
k
⋅
a
→
=
k
⋅
(
x
,
y
,
z
)
=
(
k
x
,
k
y
,
k
z
)
{\displaystyle {\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}=k\cdot (x,y,z)=(kx,ky,kz)}
Dada una operación binaria de la forma:
⋆
:
A
×
A
⟶
B
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
⋆
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}
donde a cada par ordenado:
(
a
,
b
)
∈
A
2
{\displaystyle (a,b)\in A^{2}\;}
le corresponde un elemento:
c
∈
B
{\displaystyle c\in B}
también es una operación externa.
Dado el conjunto V3 de vectores en el espacio y el conjunto R de números reales, y la aplicación Producto escalar de vectores:
∘
:
V
3
×
V
3
⟶
R
(
a
→
,
b
→
)
⟼
c
=
a
→
∘
b
→
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ :&V_{3}\times V_{3}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&({\vec {a}},{\vec {b}})&\longmapsto &c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}\end{array}}}
Cuya operación representamos:
a
→
∘
b
→
=
c
{\displaystyle {\vec {a}}\circ {\vec {b}}=c}
dados los vectores:
a
→
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}
b
→
=
(
b
x
,
b
y
,
b
z
)
{\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})}
el producto escalar de los dos vectores es:
c
=
a
→
∘
b
→
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
∘
(
b
x
,
b
y
,
b
z
)
=
a
x
⋅
b
x
+
a
y
⋅
b
y
+
a
z
⋅
b
z
{\displaystyle c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}=(a_{x},a_{y},a_{z})\circ (b_{x},b_{y},b_{z})=a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}}
que es un valor real.
La diferencia de números naturales es una operación externa, dado que los operandos naturales el resultado siempre será un entero.
−
:
N
×
N
⟶
Z
(
a
,
b
)
⟼
c
=
a
−
b
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}}
En la forma de la operación:
c
=
a
−
b
{\displaystyle c=a-b\;}
Para todo par ordenado (a,b) de números naturales, a su diferencia le corresponde un número c , entero, siendo c = a-b , es una aplicación matemática.
↑ Dubreil et al. Lecciones de álgebra moderna. Editorial reverté. Barcelona.
↑ P. Dubreil and M.L. Dubreil- Jacotin. Lecciones de álgebra moderna. Editorial Reverté S.A. Barcelona
Datos: Q6051489