Radical de un ideal

En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo $R$ es el ideal por la izquierda $N$ que es la intersección de todos los ideales por la izquierda maximales de $R$. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal

Sea $R$ un anillo conmutativo y sea $I$ un ideal del anillo. El conjunto ${\sqrt {I}}={\text{rad }}I:=\{r\in R|\exists n\in \mathbb {N} ,r^{n}\in I\}$ se denomina radical del ideal $I$ (o sencillamente radical de $I$).

Si $a\in {\hbox{rad }}I$ es que existe un entero $n\geq 0$ tal que $a^{n}\in I$. Así, si $r\in R$ es $(ar)^{n}=a^{n}r^{n}\in I$.

Si además $b\in {\hbox{rad }}I$ existirá otro entero $m\geq 0$ de manera que $b^{m}\in I$.

Por el Teorema del binomio:

$(a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}$

• Si $i<n$ entonces es $n+m-n=m<n+m-i$, luego el exponente de $b$ es mayor o igual que $m$, y así $a^{i}b^{n+m-i}=a^{i}(b^{m})b^{n+m-i-m}\in I$.

• Si $i\geq n$ entonces es $a^{i}b^{n+m-i}=(a^{n})a^{i-n}b^{n+m-i}\in I$ ya que $a^{n}\in I$.

En cualquier caso, cada sumando de $(a+b)^{n+m}$ está en $I$, que es un ideal de $R$, luego $(a+b)^{n+m}\in I$ y será $a+b\in {\hbox{rad }}I$.

Así ${\hbox{rad }}I$ es un ideal de $R$.

Un ideal $I$ de un anillo conmutativo y unitario $R$ se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si ${\hbox{rad }}I=I$. Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si $P$ es un ideal primo, entonces $R/P$ es un dominio integral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos $\pi :R\longrightarrow R/I$ la proyección canónica de $R$ sobre $I$, entonces ${\hbox{rad }}I=\pi ^{-1}(N(R/I))$ (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que ${\hbox{rad }}I$ es un ideal de $R$; aquí, $N(R)$ es el nilradical de $R$, definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si $r\in \pi ^{-1}(N(R/I))$, entonces para algún $n\geq 0$, $\pi (r)^{n}=\pi (r^{n})$ es cero en $R/I$, y por tanto $r^{n}$ está en $I$. Recíprocamente, si $r^{n}$ está en $I$ para algún $n\geq 0$ será $r^{n}\in I$, entonces $(\pi (r))^{n}=\pi (r^{n})$es cero en $R/I$, y por tanto $\pi (r)$ está en $N(R/I)$.

Mediante el uso de la localización, podemos ver que ${\hbox{rad }}I$ es la intersección de todos los ideales primos de $R$ que contienen a $I$: cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a $I$ contienen a ${\hbox{rad }}I$. Si $r$ es un elemento de $R$ que no está en ${\hbox{rad }}I$, entonces sea $S$ el conjunto $\{r^{n}:n\in \mathbb {Z} ,n>0\}$. $S$ es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización $S^{-1}R$.

El nilradical

Sea $R$ un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de $R$ forman un ideal $N$. Sean $a$ y $b$ elementos nilpotentes de $R$ con $a^{n}=0$ y $b^{m}=0$. Probamos que $a+b$ es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

$(a+b)^{n+m}=\sum _{i=0}^{n+m}{n+m \choose i}a^{i}b^{n+m-i}$

Para cada $i$, se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

• $i\geq n$
• $n+m-i\geq m$

Esto dice que en cada expresión $a^{i}\cdot b^{n+m-i}$, o bien el exponente de $a$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si $i<n$ entonces es $n+m-i>n+m-n=m$, luego el exponente de $b$ es mayor o igual que $m$, y así $a^{i}b^{n+m-i}=a^{i}\cdot (b^{m})^{n+m-i-m}=a^{i}0^{n-i}=0$), o bien el exponente de $b$ será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si $i\geq n$ entonces es $a^{i}b^{n+m-i}=(a^{n})^{i-n}b^{n+m-i}=0^{i-n}b^{n+m-i}=0$). Así tenemos que $a+b$ es nilpotente, y por tanto está en $N$.

Para terminar de comprobar que $N$ es un ideal, cogemos un elemento arbitrario $r\in R$. $(r\cdot a)^{n}=r^{n}\cdot a^{n}=r^{n}\cdot 0=0$, así que $r\cdot a$ es nilpotente, y está por tanto en $N$. Con lo que $N$ es un ideal.

$N$ se denomina entonces nilradical de $R$, o radical nilpotente de $R$, y se denota por $N(R)$. Al anillo ${\frac {R}{N(R)}}$ se le denomina anillo reducido (asociado a $R$), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que $N(R/N(R))=\{0\}$.

Es sencillo demostrar que $N(R)={\hbox{rad }}0$, esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de $R$ es la intersección de todos los ideales primos de $R$.

• Datos: Q1199022