Tõestus

See artikkel räägib arutlusest; näidendi kohta vaata Tõestus (näidend) ja selle põhjal tehtud filmi kohta Tõestus (film)

Tõestuse all mõeldakse matemaatikas, loogikas ja filosoofias kehtivat arutlust, mille eelduste tõesus on teada või kokku lepitud. Tõestus võib olla ka arutlus, mis näitab mingi propositsiooni tõesust. Mõnikord mõeldakse tõestamise all ka veenvat põhjendamist.

Aristotelese järgi on tõestus deduktiivne süllogism, mille eeldused on enesestmõistetavad. Teaduses peavad Aristotelese järgi kõik väited olema tõestatud.

Füüsikas, keemias ja paljudes muudes loodusseadusi uurivates teadustes kasutatakse paljude asjade uurimisel katse-eksituse meetodit, mille abil saab küll tõendada, aga mitte tõestada.

Matemaatikas kasutatakse antiikajast peale teoreemide tõestamist. Algul mõisteti tõestamise lähtekohaks olevaid aksioome ja postulaate enesestmõistetavana. Tänapäeva matemaatikas võib aksioome suvaliselt valida, mistõttu tõestus taandub järeldumise kindlakstegemisele. Matemaatilises loogikas on tõestuste teooria.

Tõestamise või tõendamise käigus saab hüpoteesist teooria.

Tõestuste liigid

Deduktiivne tõestus on suunatud üldiselt üksikule. Näidatakse, et väide kehtib terve hulga kohta, millesse kuulub otsitav element. Näide: tõestada, et arv 345345 jagub 1001-ga. Selleks tõestatakse, et iga 6-kohaline arv, mille esimesest 3 numbrist moodustatud arv võrdub viimasest 3 numbrist moodustatud arvuga, jagub 1001-ga, ja näidatakse, et 345345 on samasugune arv.

Induktiivne tõestus on suunatud üksikult üldisele. Näidatakse, et väide kehtib iga hulga elemendi kohta, ja järeldatakse, et see omadus on hulgale omane. Näide: tõestada, et Loch Nessi koletist pole olemas. Selleks kammiti kogu järv sonaritega läbi ja leiti, et selles pole ühtki vähemalt hülgesuurust elukat. Induktiivseid tõestusi kasutatakse praktikas harva, sest ei saa tõestada, et kõik objektid on üles leitud. Näiteks kaua peeti tõeseks väidet 'kõik luiged on valged', kuni Austraaliast leiti musti luiki.

Rekursiivne tõestus kasutab tõestuskäigus iseennast. Tõestus koosneb kahest osast: esiteks erijuhu tõestamine (näidatakse, et väide kehtib mingi konkreetse n korral), teiseks üldjuhu tõestamine (näidatakse, et kui väide kehtib n korral, siis kehtib ta ka n + 1 korral.) Näide: tõestada, et iga kümnest suurema arvu faktoriaal lõpeb 00-ga. Algul näidatakse, et 10! lõpeb 00-ga, ja siis näidatakse, et (n+1)! lõpunullide arv ei ole väiksem n! lõpunullide arvust.

Vaata ka