Deribatu

Matematikan, deribatua funtzioaren aldaketaren adierazlea da. Integralarekin batera kalkuluaren bi gai garrantzitsuenetariko bat da; bata bestearen alderantzizkoak izanda (kalkuluaren oinarrizko teoreman esaten den bezala).

Deribatuak, funtzioaren aldagaia hazten doan heinean, funtzioak hartzen duen balioaren hazkundea deskribatzen du. Aldi berean, beste funtzio bat definituko du eta funtzio berri hau aztertuz jatorrizko funtzioaren gorakortasuna eta beherakortasuna, ahurtasuna eta ganbiltasuna etab. ezagutu daitezke.

Bi aldagaietako funtzioen grafikoetan zuzen tangentearen edo sekantearen limitearen malda adierazten du. Funtzioa jarraitua ez bada edo tangente bertikala badauka puntu batean eta bere inguruan, hor ez da existituko funtzio horren deribatua.

Deribatuak aplikazio asko dauzka beste zientzia askotan. Fisikan, adibidez, abiadura adierazten du, hau da, posizioaren denborarekiko aldaketa; beraz, abiadura posizioaren denborarekiko deribatua da.

Definizioa

zuzen sekantearen ($g(x)\,$) adierazpen grafikoa

Esandakoaren arabera deribatuak zuzen sekantearen malda adierazten du. Eskumako grafikotik ondorioztatzen denez, sekantearen maldaren idatzizko adierazpena hauxe da:

$g(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$f(x)\,$ funtzioaren deribatua ezagutzeko eraman behar da aldagaiaren bi balioen arteko distantzia minimoa izatera. Horretarako $h\,$-ren balioa $0\,$-ra hurbiltzen doan limitea bilatu behar da:

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Funtzioaren jarraitutasuna eta diferentziagarritasuna

Funtzioa eta bere deribatua aztertuz, bi ezaugarri hauek ezagutu daitezke.

Funtzioaren jarraitutasuna

Sakontzeko, irakurri: «funtzio jarraitu»

Funtzioak, jarraitua izateko puntu batean, hainbat baldintza bete behar ditu (puntu horretan).

• Funtzioaren aldagaiaren aldaketa txikientzako funtzioaren balioak aldaketa txikia pairatu behar du.

$\lim _{\Delta x\to 0}\Delta y=0$

• Limitea existitu behar da puntu horretan. Existituko da soilik eta baldin ezker-limitea eta eskuin-limitea berdinak badira.

$\lim _{x\to a^{+}}f_{(x)}=\lim _{x\to a^{-}}f_{(x)}\iff \exists \lim _{x\to a}f_{(x)}$

• Limite horren balioak eta funtzioak puntuan hartzen duen balioak berdinak izan behar dute.

$\lim _{x\to a}f_{(x)}=f_{(a)}$

Funtzioaren diferentziagarritasuna

Sakontzeko, irakurri: «diferentziagarritasuna»

Funtzioa diferentziagarria izango da puntu edo ingurune batean baldin eta soilik baldin bere deribatua existitzen bada puntu edo ingurune horretan.

Funtzioa ez bada jarraitua puntu batean, hor ez du edukiko lerro tangenterik, beraz, ez da diferentziagarria izango. Hala ere, gerta liteke funtzioa puntu batean diferentziagarria ez izanda jarraitua izatea. Hau ikusita, esan daiteke diferentziagarritasunak jarraitutasuna ondorioztatzen duela, baina ez alderantziz.

Funtzioaren deribatua beste funtzio bat denez, argi dago diferentziagarritasuna aztertu diezaiokeela. Horretarako jatorrizko funtzioaren bigarren mailako deribatua (deribatuaren deribatuaren berdina) kalkulatu behar da. Horrela hirugarren, laugarren edota n-garren mailako deribatua kalkulatu litezke (betiere hiru, lau edo n aldiz diferentziagarriak direlarik).

Deribagarritasuna eta funtzioen arteko eragiketak

Izan bitez $f$ eta $g$ bi funtzio, $a$ puntuan deribagarriak. Orduan, honako propietate hauek betetzen dira

1. $f+g$ funtzioa deribagarria da $a$ puntuan, eta $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$
2. $fg$ funtzioa deribagarria da $a$ puntuan, eta $(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$
3. $\forall \lambda \in \mathbb {R}$, $\lambda f$ funtzioa deribagarria da $a$ puntuan eta $(\lambda f)'(a)=\lambda f'(a)$
4. Baldin eta $g(a)\neq 0$, orduan ${\frac {1}{g}}$ funtzioa deribagarria da $a$ puntuan eta ${\biggl (}{\frac {1}{g}}{\biggr )}'(a)=-{\frac {1}{[g(a)]^{2}}}$
5. Baldin eta $g(a)\neq 0$, orduan ${\frac {f}{g}}$ funtzioa deribagarria da $a$ puntuan eta ${\biggl (}{\frac {f}{g}}{\biggr )}'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{[g(a)]^{2}}}$

Katearen erregela

Funtzioen konposaketaren deribagarritasunari buruzko informazioa eta deribatua ematen ditu. Balden eta $f$ funtzioa $a$ puntuan deribagarria bada, eta $g$ funtzioa $f(a)$ puntuan deribagarria bada, orduan, $g\circ f$ funtzioa deribagarria da $a$ puntuan eta honakoa da bere deribatua: $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)$

Notazioa

Deribatua adierazteko hainbat modu ezberdin daude gaur egun. Gainera, denborarekin, testuinguruaren arabera bata edo bestea erabiltzeko joera nabarmendu da.

Lagrangeren notazioa

Askotan, matematiketan eta fisikan, beste baten ondorioa den edo harreman estua daukan funtzioari edo ikurrari prima ikurra (') gehitu ohi zaio. Adibidez, makina baten beso baten luzerari l esaten bazaio besteei l', l'', etab. esatea oso arrunta da. Honi jarraituz, funtzioren deribatua funtzio' esaten zaio:

$f(x)\;$: funtzioa

$f'(x)\;$: funtzioaren deribatua

$f''(x)\;$: funtzioaren bigarren deribatua

$f'''(x)\;$: funtzioaren hirugarren deribatua

$f^{(n)}(x)\;$ edo $f^{n)}(x)\;$: funtzioaren n-garren deribatua

Notazio hau Joseph Louis Lagrange fisikari eta matematikariaren omenez izendatu zen.

Leibnizen notazioa

Matematikan eta beste zientzia askotan, batez ere maila altuagoetan, Leibnizen notazioa erabiltzen da. Gottfried Leibniz matematikariaren omenez izendatu zen. Ezberdintasun nabaria aurrekoarekin zer aldagairekiko deribatuko den adieraztean datza.

$x\,$-en menpe dagoen $f\,$ funtzioa $x\,$-ekiko deribatzeko:

${\frac {{\mbox{d}}\left(f(x)\right)}{{\mbox{d}}x}}$

Deribatuaren balioa puntu konkretu baten ,$a\,$-n, adierazteko bi modu daude; biek baliagarritasun berdina daukatelarik:

${\frac {{\mbox{d}}\left(f(x)\right)}{{\mbox{d}}x}}\left.{\!\!{\frac {}{}}}\right|_{x=a}=\left({\frac {{\mbox{d}}\left(f(x)\right)}{{\mbox{d}}x}}\right)(a)$

Aldagai berarekiko egingo den hirugarren deribatua adierazteko historian zehar metodo korapilatsu hauek erabili dira:

${\frac {d\left({\frac {d\left({\frac {d\left(f(x)\right)}{dx}}\right)}{dx}}\right)}{dx}}$ edo ${\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}\left[{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}\left({\frac {{\mbox{d}}(f(x))}{{\mbox{d}}x}}\right)\right]$

Gaur egun, sinpletasuna dela eta, edozein n-garren deribaturako balio duen notazioa da erabiliagoa:

${\frac {{\mbox{d}}^{n}\left(f(x)\right)}{{\mbox{d}}x^{n}}}$

Leibnizen notazio honek beste ezaugarri ona dauka erabiltzeko orduan, katearen legea adierazteko erraztasunean:

${\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}u}}=1\Rightarrow {\frac {{\mbox{d}}(f(x))}{{\mbox{d}}x}}={\frac {{\mbox{d}}(f(x))}{{\mbox{d}}u}}\cdot {\frac {{\mbox{d}}u}{{\mbox{d}}x}}$

Newtonen notazioa

Isaac Newtonen omenez izendatua. Gaur egun, fisikan denborarekiko deribatuetan baino ez da erabiltzen.

${\dot {x}}={\frac {{\mbox{d}}(x(t))}{{\mbox{d}}t}}=x'(t)$

${\ddot {x}}={\frac {{\mbox{d}}^{2}(x(t))}{{\mbox{d}}t^{2}}}=x''(t)$

Eulerren notazioa

Leonhard Eulerren omenez izendatua. Funtzioaren aurretik $D_{aldagaia}\,$ idatziz lortzen da aldagaiarekiko deribatzeko.

$f(x)\;$: funtzioa

$D_{x}f(x)\;$: funtzioaren x-ekiko deribatua

$D_{x}^{2}f(x)\;$: funtzioaren x-ekiko bigarren deribatua

$D_{x}^{n}f(x)\;$: funtzioaren x-ekiko n-garren deribatua

f funtzioa aldagai bakarraren menpe dagoenean operadorearen azpiindizea aipatu gabe gera daiteke, ulertutzat hartzen baita

$f(x)\;$: funtzioa

$Df(x)\;$: funtzioaren deribatua

$D^{2}f(x)\;$: funtzioaren bigarren deribatua

$D^{n}f(x)\;$: funtzioaren n-garren deribatua

Gorakortasuna eta beherakortasuna

Sakontzeko, irakurri: «gorakortasuna eta beherakortasuna»

Esan bezala, funtzioaren deribatua aztertuz zehaztu daiteke bere gorakortasuna, beherakortasuna eta puntu kritikoak bezalako puntu bereziak.

Funtzioaren deribatua 0 baino handiagoa denean gorakorra izango da eta 0 baino txikiagoa denean beherakorra. Deribatua zero deneko edo existitzen ez deneko grafikoko puntuei puntu kritiko deritze. Puntu kritiko batean bigarren deribatua positiboa bada maximo lokala izango da; negatiboa bada minimo lokala izango da; 0 bada, aldiz, ez da bietariko bat izango (agian inflexio-puntua).

Maximoak eta minimoak topatzeko modurik errazena deribatua 0-ri berdintzea denez, berau erabiltzen da gehienetan optimizazioa bezalako operazio matematikoetan.

Aldagai anitzetan

Deribatu Partzialak

Sakontzeko, irakurri: «Deribatu partzial»

Demagun f aldagai anitzeko funtzio bat dela, adibidez,

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}$

Bi aldagaietako baten balioa finkatuz f aldagai bakarreko funtzio bihurtu dezakegu. Adibidez, x konstante finko bat dela suposatzen badugu:

$f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}$

Eta x-ren balio posible bakoitzak funtzio bat definituko du. Adibidez, 1 balioa aukeratuz hurrengo funtzioa lortuko genuke:

$f_{1}(y)=1+y+y^{2}$

Funtzio hauek aldagai bakarrekoak direnez modu arruntean deribatu ditzakegu, eta horrela y-rekiko deribatu partziala lortzen dugu:

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=f_{x}'(y)$

y-rekiko deribatu partziala x aldagaia finkatuz lortu dugu, eta prozedura hau edozein aldagai kopururekin errepika genezake. Orokorrean, aldagai batekiko deribatu partziala beste aldagai guztiak finkatzean lortzen den aldagai bakarreko funtzioa deribatuz lortzen da. Hau da, ${\textstyle f(x_{1},...,x_{n})}$ funtzioaren x_i -rekiko deribatu partzialaren definizioa hurrengoa da:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},...,a_{n})=lim_{h\rightarrow 0}{\frac {f(a_{1},...,a_{i}+h,...,a_{n})-f(a_{1},...,a_{i},...,a_{n})}{h}}$

Bi aldagaien kasuan bezala, x_i ezik aldagai guztiak finkatuz aldagai bakarreko funtzio bat lortzen dugu:

$f_{a_{1},...,a_{i-1},a_{i+1},...,a-n}(x_{i})=f(a_{1},...,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},...,a_{n})$

Eta deribatu partziala funtzio murriztu honen deribatua da.

Deribazio metodoak

Sakontzeko, irakurri: «deribatu taula»

Definizioan emandako limitea garatuz hurrengo formula laburtuak lortzen dira.

Arruntak			Konposatuak
F funtzioa: f-ren jatorrizkoa	f funtzioa: F-ren deribatua		F funtzioa: f-ren jatorrizkoa ($g(x)$ orokor batekin)	f funtzioa: F-ren deribatua ($g(x)$ orokor batekin)
$f\left(x\right)=k$	$f'\left(x\right)=0$
$f\left(x\right)=x$	$f'\left(x\right)=1$
$f\left(x\right)=kx$	$f'\left(x\right)=k$
$f\left(x\right)=ax+b$	$f'\left(x\right)=a$
$f\left(x\right)=x^{n}$	$f'\left(x\right)=nx^{n-1}$		$f\left(g(x)\right)=g(x)^{n}$	$f'\left(g(x)\right)=n\cdot g(x)^{n-1}\cdot g'(x)$
$f\left(x\right)={\sqrt {x}}$	$f'\left(x\right)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$		$f\left(g(x)\right)={\sqrt {g(x)}}$	$f'(g(x))={\frac {g'(x)}{2{\sqrt {g(x)}}}}$
$f\left(x\right)=e^{x}$	$f'\left(x\right)=e^{x}$		$f\left(g(x)\right)=e^{g(x)}$	$f'(g(x))=g'(x)\cdot e^{g(x)}$
$f\left(x\right)=\ln(x)$	$f'\left(x\right)={\frac {1}{x}}$		$f\left(g(x)\right)=\ln(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)={\frac {g'(x)}{g(x)}}$
$f\left(x\right)=a^{x}(a>0)$	$f'\left(x\right)=a^{x}\cdot \ln(a)$		$f\left(g(x)\right)=a^{g(x)}(a>0)$	$f'\left(g(x)\right)=g'(x)\cdot a^{g(x)}\cdot \ln(a)$
$f\left(x\right)=\log _{b}(x)$	$f'\left(x\right)={\frac {1}{ln{b}}}{\frac {1}{x}}$		$f\left(g(x)\right)=\log _{b}(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)={\frac {g'(x)}{g(x)\cdot \ln {b}}}$
$f\left(x\right)={\frac {1}{x^{n}}}=(x^{n})^{-1}=x^{-n}$	$f'\left(x\right)=-nx^{-n-1}$		$f(g(x))=g(x)^{-n}$	$f'\left(g(x)\right)=-n\cdot g(x)^{-n-1}\cdot g'(x)$
$f\left(x\right)=\sin(x)$	$f'\left(x\right)=\cos(x)$		$f\left(g(x)\right)=\sin(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)=g'(x)\cdot \cos(g(x))$
$f\left(x\right)=\cos(x)$	$f'\left(x\right)=-\sin(x)$		$f\left(g(x)\right)=\cos(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)=-g'(x)\cdot \sin(g(x))$
$f\left(x\right)=\tan(x)$	$f'\left(x\right)=\sec ^{2}(x)$		$f\left(g(x)\right)=\tan(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)=g'(x)\cdot \sec ^{2}(g(x))$
$f\left(x\right)=\csc(x)$	$f'\left(x\right)=-\csc(x)\cdot \cot(x)$		$f\left(g(x)\right)=\csc(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)=-g'(x)\cdot \csc(g(x)\cdot \cot(g(x))$
$f\left(x\right)=\sec(x)$	$f'\left(x\right)=\sec(x)\cdot \tan {x}$		$f\left(g(x)\right)=\sec(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)=g'(x)\cdot \sec(g(x))\cdot \tan {g(x)}$
$f\left(x\right)=\cot(x)$	$f'\left(x\right)=-\csc ^{2}(x)$		$f\left(g(x)\right)=\cot(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)=-g'(x)\cdot \csc ^{2}(g(x))$
$f\left(x\right)=\arcsin(x)$	$f'\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$		$f\left(g(x)\right)=\arcsin(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)={\frac {g'(x)}{\sqrt {1-g(x)^{2}}}}$
$f\left(x\right)=\arccos(x)$	$f'\left(x\right)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$		$f\left(g(x)\right)=\arccos(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)={\frac {-g'(x)}{\sqrt {1-g(x)^{2}}}}$
$f\left(x\right)=\arctan(x)$	$f'\left(x\right)={\frac {1}{1+x^{2}}}$		$f\left(g(x)\right)=\arctan(g(x))$	$f'\left(g(x)\right)={\frac {g(x)}{1+g(x)^{2}}}$
$f\left(x\right)=f\pm g$	$f'\left(x\right)=f'\pm g'$
$f\left(x\right)=fg$	$f'\left(x\right)=f'g+fg'$
$f\left(x\right)=fgh$	$f'\left(x\right)=f'gh+fg'h+fgh'$
$f\left(x\right)={\frac {f}{g}}$	$f'\left(x\right)={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$
$f\left(x\right)=kf$	$f'\left(x\right)=kf'$
$f\left(x\right)=f\circ g$	$f'\left(x\right)=(f'\circ g)g'$

Adibide erraza

2x³ - 9x² - 24x + 5 funtzioa

Aurreko taulan ikusten den bezala deribatzeko funtziorik errazenak polinomioak dira.

Izan bedi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}-24x+51\,$ funtzioa. Aurretik esandakoaren arabera funtzio hau jarraitua eta diferentziagarria izango da $\mathbb {R}$ osoan. $f(x)\,$-en deribatua, $f'(x)\,$, goiko metodoak erabilita kalkulatzerakoan $f'(x)=6(x^{2}-3x-4)=6(x+1)(x-4)\,$ lotzen da.

Eskumako grafikoan adierazten da definizio eremuko tarte bakoitzean zer nolako portaera edukiko duen funtzioak.

Ikus, gainera

• Funtzioa
• Funtzio baten irudikapen grafiko
• Integrala
• Kalkuluaren oinarrizko teorema

Kanpo estekak

• Funtzio deribatua Orixe webgunean

• Datuak: Q29175