Lankide:Joxan Garaialde/Proba orria: berrikuspenen arteko aldeak
Ezabatutako edukia Gehitutako edukia
No edit summary Etiketa: 2017 wikitestu editorearekin |
No edit summary Etiketa: 2017 wikitestu editorearekin |
||
| 1. lerroa: | 1. lerroa: | ||
{{Lanean|Joxan Garaialde}} |
|||
{{Wikipedia1000}} |
{{Wikipedia1000}} |
||
{{birzuzendua|Faraday|Farad|Unitateari}} |
|||
[[Fitxategi:Elmer-pump-heatequation.png|thumb|300px|Ponpa baten ganberan ematen den bero-transferentziaren irudikapena, [[beroaren ekuazioa]] ebatzi eta gero. Beroa ganberaren barruan sortu, eta, kanpoaldean, hoztu egiten da.]] |
|||
{{Biografia_infotaula_automatikoa}} |
|||
'''Ekuazio diferentziala''' [[funtzio (matematika)|funtzio]] bat bere [[deribatu]] edo diferentzialekin lotzen dituen [[ekuazio]]a da<ref name="Ekuazio Diferentzialak">{{erreferentzia | izena1 = Naiara | abizena1 = Arrizabalaga | izena2 = María Jose | abizena2 = de Velasco | izena3 = María José | abizena3 = Zarate | izenburua = Ekuazio Diferentzialak | url = https://ikasmaterialak.ehu.eus/matematika/ekuazio-diferentzialak2/ekuazio-diferentzialak.pdf/@@download/file/ekuazio-diferentzialak.pdf | argitaletxea = [[Euskal Herriko Unibertsitatea]] | isbn = 9788498609721}}</ref>. [[Matematika aplikatuak|Matematika aplikatuan]], [[Funtzio (matematika)|funtzioek]], eskuarki, kantitate fisikoak adierazten dituzte; [[Deribatu|deribatuek]], berriz, beren aldaketa-arrazoiak adierazten dituzte, eta [[Ekuazio|ekuazioak]] haien arteko erlazioa definitzen du. Erlazio horiek oso arruntak direnez, [[Ekuazio diferentzial|ekuazio diferentzialek]] funtsezko rola jokatzen dute hainbat diziplinatan, besteak beste, [[Ingeniaritza|ingeniaritzan]], [[Fisika|fisikan]], [[Kimika|kimikan]], [[Ekonomia|ekonomian]] eta [[Biologia|biologian]]. |
|||
'''Michael Faraday''' ([[Surrey]], [[Ingalaterra]], [[1791]]ko [[irailaren 22]]a - [[Hampton Court]], [[Ingalaterra]], [[1867]]ko [[abuztuaren 25]]a) [[elektromagnetismo]]a eta [[elektrokimika]] ikasi zituen fisiko eta kimiko britainiarra da. |
|||
Humphry Davy kimikariarekin ikasi zuen, eta [[indukzio elektromagnetiko]]aren aurkikuntzagatik ezagutzen dute gehienek, [[sorgailu elektriko|generadore]] eta [[motor elektriko|motore elektrikoak]] eraikitzea ahalbidetu baitu horrek, edo [[elektrolisi]]aren legeengatik, bera baita [[elektromagnetismo]]aren eta [[elektrokimika]]ren benetako sortzaile. |
|||
Matematikaren aplikazioetan, askotan, parametro batek beste batekiko duen mendekotasuna ezagutzen ez den problemak sortzen dira maiz, baina parametro baten eta beste baten (deribatuaren) arteko truke-tasaren adierazpen bat idatz daiteke. Kasu horretan, problema murrizten da funtzio bat beste adierazpen batzuekin lotutako deribatuaren bidez aurkitzera. |
|||
Faradayren garaiko beste ikertzaile batzuen antzera, Faraday, [[eremu magnetiko]]en bidez, [[intentsitate elektriko|korronte elektrikoak]] sortzen saiatu zen. Hamar urtetan, ez zuen emaitza arrakastatsurik lortu, egoera estatikoan, hots, geldirik zeuden [[iman]]ak eta bobinak erabili baitzituen. Hala ere, ekinaren ekinez, korronte elektrikoaren indukzioa sortzeko eremu magnetiko aldakorrak behar direla frogatu ahal izan zuen. |
|||
Matematika garbian, [[Ekuazio diferentzial|ekuazio diferentzialak]] ikuspegi desberdinetatik aztertzen dira, gehienak ekuazioa betetzen duten funtzioen ebazpen multzoari dagozkionak. Ekuazio diferentzial sinpleenak baino ezin dira ebatzi formula esplizituen bidez; hala ere, ekuazio diferentzial jakin baten ebazpenen propietate batzuk zehaztu daitezke, haren forma zehatza aurkitu gabe. |
|||
Gaztetan ikasketak burutu gabea zen, eta ez zekien ia ezer [[matematika]]z. [[Kalkulu diferentzial]]a erabat arrotz zuen azken fisikari handia izan zela esan daiteke, nahiz eta gabezia hori grafikoak egiteko zuen trebetasun izugarriz gainditu zuen. |
|||
Emaitza zehatza aurkitu ezin bada, zenbakien bidez lor daiteke [[Ordenagailu|ordenagailuak]] erabiliz. [[Sistema dinamiko|Sistema dinamikoen]] teoriak ekuazio diferentzialen bidez deskribatutako sistemen analisi kualitatiboa azpimarratzen du; [[zenbakizko analisi]] asko, berriz, soluzioak nolabaiteko zehaztasun-mailarekin zehazteko garatu dira. |
|||
Bere egunkaria idatzi zuen [[1820]] eta [[1862]] bitartean, etenik gabe, bertan buruturiko esperimentuak deskribatuz. 3.236 orrialde eta zenbait milaka irudi dituen egunkari hori [[Fisika]]ren historiako funtsezko lanetako bat da gaur egun. |
|||
== Historia == |
|||
[[Fitxategi:The method of fluxions and infinite series cover.jpg|thumb|200px|''The Method of Fluxions and Infinite Series''aren (Fluxio eta Serie Infinituen Metodoa) azala, Obra 1736an argitaratu zen, [[Isaac Newton|Newtonek]] 1671n amaitu bazuen ere.]] |
|||
Ekuazio diferentzialak [[Isaac Newton|Newtonek]] eta [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizek]] [[kalkulu infinitesimal|kalkulua]] asmatu ondoren agertu ziren. Newtonek hiru ekuazio diferentzial mota zerrendatu zituen [[1671]]n idatzi zuen ''[[Method of Fluxions|Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum]]'' liburuaren bigarren atalean<ref>Newton, Isaac. (1671). ''Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (The Method of Fluxions and Infinite Series)'', 1736an argitaratua [Opuscula, 1744, I. liburukia, 66. or.].</ref>: |
|||
== Biografia == |
|||
:<math> |
|||
\begin{align} |
|||
& \frac {dy}{dx} = f(x) \\[5pt] |
|||
& \frac {dy}{dx} = f(x,y) \\[5pt] |
|||
& x_1 \frac {\partial y}{\partial x_1} + x_2 \frac {\partial y}{\partial x_2} = y |
|||
\end{align} |
|||
</math> |
|||
Faraday britainiar fisikaria [[Surrey]]n ([[Ingalaterra]]n) jaio zen [[1791]]ko [[irailaren 22]]an. Michaelen aita James Faraday izan zen eta Newingtonen jaiotakoa zen, [[Londres]] inguruan (Ingalaterra). |
|||
[[serie|Serie infinituez]] baliatu zen ekuaziook eta bete batzuk ebazteko. Gainera, lortutako soluzioen bakartasun ezaz eztabaidatu zuen bere liburuan. |
|||
Ez zuen eskolara joateko aukera handirik izan eta, 13 urte zituenean, Michael lanean hasi beharrean izan zen eta Londresko azaleztatzaile batekin ofizioa ikasten hasi zen. Han aritu zen 7 urtetan, zientziari buruzko liburu asko irakurri zuen eta, horrekin batera, [[argindar|elektrizitatearekin]] zerikusia zuten esperimentuak ere burutu zituen, zientziarako grina betirako piztu zitzaiolarik. Hala ere, ez zekien ezer asko [[matematika]]z, baina [[Kalkulu diferentzial]]a ez bazuen ezagutzen ere, grafikoak egiteko trebezia berezia erakutsi zuen. |
|||
1695ean, [[Jakob Bernoulli]]k [[Bernoulliren ekuazio diferentzial]]a proposatu zuen, <math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n</math> formako [[ekuazio diferentzial arrunt]]a<ref>{{erreferentzia | abizena1=Bernoulli | izena1=Jakob | egile1-lotura=Jakob Bernoulli | izenburua=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | urtea=1695 | aldizkaria=[[Acta Eruditorum]]}}</ref>. Hurrengo urtean, Leibnizek ekuazioari dagozkion soluzioak aurkitu zituen sinplifikazio bidez<ref>{{erreferentzia | abizena1=Hairer | izena1=Ernst | abizena2=Nørsett | izena2=Syvert Paul | abizena3=Wanner | izena3=Gerhard | izenburua=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | url=https://archive.org/details/solvingordinaryd0002hair | argitaletxea=[[Springer-Verlag]] | lekua=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 | urtea=1993}}</ref>. |
|||
== Karrera zientifikoa == |
|||
Historikoki [[Jean le Rond d'Alembert]], [[Leonhard Euler]], [[Daniel Bernoulli]] eta [[Joseph-Louis Lagrange]] matematekariek [[hari dardarkari]]aren problema aztertu zuten. 1746an, d’Alembertek dimentsio bateko [[uhin-ekuazio]]a aurkitu zuen. Hamar urte geroago, Eulerrek hiru dimentsioko uhin-ekuazioa aurkitu zuen. |
|||
[[Fitxategi:Faraday magnetic rotation.jpg|thumb|200 px|ezkerrera|Faradayren errotazio magnetikoa]] |
|||
Bere garaiko beste ikertzaile batzuen antzera, Faraday [[eremu magnetiko]]en bidez korronte elektrikoak sortzen saiatu zen. Hamar urtetan ez zuen emaitza arrakastatsurik lortu, egoera estatikoan, hots, geldirik zeuden imanak eta bobinak erabili baitzituen. Hala ere, ekinaren ekinaz, korronte elektrikoaren indukzioa sortzeko eremu magnetiko aldakorrak behar direla frogatu ahal izan zuen. |
|||
[[1750eko hamarkada]]n, Eulerrek eta Lagrangek [[Euler-Lagrangeren ekuazioa]] garatu zuten problema [[kurba tautokrono|tautokronoaren]] inguruan ikertuz: hau da, pisudun partikula bat puntu finko batean (denbora-kopuru finko batean) eroriko den kurba bat hasierako puntutik independentea den prblema zehaztea. 1755an, Lagrangek problema ebatzi, eta ebazpena Eulerri bidali zion. Bien artean, Lagrangeren metodoa garatu zuten, eta [[mekanika]]n erabiltzen hasi ziren. Horrek [[Lagrangeren mekanika]] formulatzera eraman zituen. |
|||
Davyren pean egin zituen lehen ikerketak [[kimika]]n. [[Kloro]]a ikertzean, bi karbono kloruro berri aurkitu zituen, [[bentzeno]]a ere deskubritu zuen... Ekarpen handiak egin zituen elektrizitatearen esparruan. [[1821]]ean, [[Hans Christian Ørsted|Oersted]] kimikari daniarrak eletromagnetismoa deskubritu ondoren, Faradayk bi tresna egin zituen bere hitzetan errotazio elektromagnetikoa ekoizteko, hau da, motore elektrikoa. |
|||
1822an, [[Joseph Fourier]]rek [[bero transferentzia]]ri buruzko ''Théorie analytique de la chaleur'' lana argitaratu zuen<ref>{{Cita libro |
|||
| apellido = Fourier |
|||
| nombre = Jean-Baptiste Joseph |
|||
| enlace-autor = Jean-Baptiste Joseph Fourier |
|||
| título = Théorie analytique de la chaleur |
|||
| editorial = Firmin Didot Père et Fils |
|||
| año = 1822 |
|||
| lugar = París |
|||
| idioma = francés |
|||
| url = https://books.google.com/books?id{{=}}lj1RAAAAcAAJ | oclc=2688081 |
|||
}}</ref>. [[Newtonen hozte legea]]n oinarrituz, elkarren ondoko bi molekulen arteko bero transferentzia euren arteko tenperatura-diferentzia txikiarekiko proportzionala dela arrazoitzeko. Liburuan, eroapen bidezko bero-transferentziaren ekuazioa proposatu zuen. [[Ekuazio diferentzial partzial]] hori [[fisika matematiko]]ko funtsezko ekuazioetako bat da. |
|||
[[1824]]an, Faraday Londresko Errege Elkartean sartu zen eta, hurrengo urtean, Errege Erakundeko laborategiko zuzendari izendatu zuten. |
|||
[[Ekuazio diferentzial estokastiko|Ekuazio diferentzial estokastikoak]], ekuazio diferentzialen teoria zein [[Probabilitate teoria|probabilitatearen teoria]] zabaltzen dutenak, Kiyoshi Itō eta [[Ruslán Stratónovich|Ruslán Stratónovich-ek]] sartu zituzten tratamendu zorrotz batekin, 1940 eta 1950eko hamarkadetan. |
|||
[[1831]]n, bere esperimentu ospetsuak hasi zituen eta [[indukzio elektromagnetiko]]a aurkitu zuen; esperimentu horiek gaur egun ere teknologia elektromagnetikoaren oinarri dira. Indar lerroen kontzeptua txertatu zuen eremu magnetikoak irudikatzeko eta, elektrolisian eginiko ikerketen ondorioz, bere bi oinarrizko legeak, bere izena daramatenak, deskubritu zituen: |
|||
== Ekuazio diferentzial motak == |
|||
Ekuazio diferentzialak hainbat taldetan sailka daitezke: [[ekuazio diferentzial arrunt|arruntak]] eta [[ekuazio diferentzial partzial|partzialak]]; [[ekuazio diferentzial lineal|linealak]] eta [[ekuazio diferentzial ez-lineal|ez-linealak]]; [[ekuazio diferentzial homogeneo|homogeneoak]] eta [[ekuazio diferentzial ez-homogeneo|ez-homogeneoak]]. Zerrenda handiegia da; ekuazio diferentzialen beste propietate eta azpimota asko daude testuinguru espezifikoetan oso erabilgarriak izan daitezkeenak. |
|||
* Elektrolisiaren bidez askatzen den sustantzia baten masa, [[elektrolito]]tik igaro den elektrizitate kantitatearekiko zuzenki proportzionala da. Beraz, |
|||
=== Ekuazio diferentzial arruntak === |
|||
{{Sakontzeko|Ekuazio diferentzial arrunt}} |
|||
[[Fitxategi:Parabolic trajectory.svg|eskuinera|thumb|350px|[[Kanoi]] batetik jaurtitako [[jaurtigai]] baten [[Ibilbide (fisika)|ibilbideak]] [[Newtonen legeak#Newtonen bigarren legea edo Indarraren legea|Newtonen bigarren legetik]] ateratzen den ekuazio diferentzial arrunt batek definitutako kurba bati jarraitzen dio.]] |
|||
[[Ekuazio diferentzial arrunt]] (EDA) mendeko aldagai ezezagun bakarra eta bere deribatuak dituen ekuazio diferentzialari deritzo. «Arrunt» adjektiboa deribatu partzialetako ekuazioarekin kontrastean erabiltzen da, zeina aldagai independente bat baino gehiagorekiko izan baitaiteke. |
|||
:m= clt [(masa = balore elektrokimikoa (c) x intentsitatea (l) x denbora (t)] |
|||
Ekuazio diferentzial linealak ondo definitu eta ulertuta daude, eta aurki daitezkeen emaitza zehatzak dituzte. Ekuazio diferentzial linealek batuketa egin dezaketen eta koefizienteen bidez biderka daitezkeen soluzioak dituzte. Aldiz, batu ezin diren soluzioak dituzten EDAk ez-linealak dira, eta haien soluzioa korapilatsuagoa da, eta oso gutxitan aurki daitezke oinarrizko funtzioen forma zehatzean: irtenbideak serie edo forma integral gisa lortzen dira. EDArako zenbakizko metodoak eta metodo grafikoak eskuz edo ordenagailuen bidez egin daitezke, EDAren soluzioak hurbil daitezke, eta haien emaitza oso erabilgarria izan daiteke, askotan konponbide zehatza eta analitikoa alde batera uzteko nahikoa. |
|||
* Elektrizitate kantitate batek askatutako sustantzia ezberdinen masak zuzenki proportzionalak dira bere pisu baliokideekin. |
|||
=== Ekuazio diferentzial partzialak === |
|||
{{Sakontzeko|Ekuazio diferentzial partzial}} |
|||
[[Fitxategi:Heat_eqn.gif|tumb|300px|eskuinera|Beroaren ekuazioa erabiliz tenperatura-profilaren aldakuntza bi dimentsioko problema batean.]] |
|||
[[Ekuazio diferentzial partzial]]a (EDP) aldagai ezezagun anitz eta bere [[deribatu partzial]]ak dituen ekuazioa da. Ekuazio horiek hainbat aldagai duten funtzioak dituzten problemak formulatzeko erabiltzen dira, eta eskuz ebatz daitezke ordenagailu bidezko simulazio bat sortzeko. |
|||
Bere ikerketek aurrerapen izugarria izan ziren elektrizitatearen garapenerako, magnetismoak, mugimenduaren bitartez, elektrizitatea ekoizten duela ezarri zuelako. |
|||
EDPak hainbat fenomeno deskribatzeko erabil daitezke, hala nola [[Soinu|soinua]], [[Bero|beroa]], [[Elektrostatika|elektroestatika]], [[elektrodinamika]], [[fluidodinamika]], [[Elastikotasun (fisika)|elastikotasuna]] edo [[Mekanika kuantiko|mekanika kuantikoa]]. Fenomeno fisiko horiek EDParen terminoetan formaliza daitezke. [[Ekuazio diferentzial arrunt|Ekuazio diferentzial arruntekin]] oso ohikoa da [[Sistema dinamiko|sistema dinamikoen]] dimentsio bakarreko ereduak egitea, eta ekuazio diferentzial partzialak dimentsio anitzeko sistemen ereduetarako erabil daitezke. EDPek orokortze bat dute [[Deribatu partzial estokastiko|deribatu partzial estokastikoetako]] ekuazioetan. |
|||
[[Fitxategi:Faraday cage.gif|thumb|eskuinera|200px|Faradayren kaiola]] |
|||
==Ekuazio diferentzial linealak== |
|||
[[Fitxategi:Faradayscher Kaefig DeuMus.jpg|thumb|eskuinera|200px|Faradayren kaiola]] |
|||
Ekuazio diferentzial bat lineala da baldin eta haren emaitzak beste emaitza batzuen konbinazio linealetatik lor badaitezke. Lineala bada, ekuazio diferentzialak 1eko potentzia maximoarekin ditu bere deribatuak, eta ez dago terminorik non produktuak funtzio ezezagunaren eta/edo haren deribatuen artean dauden. Ekuazio linealen ezaugarri bereizgarria da haien ebazpenek ebazpen egokien espazio baten antzeko azpiespazio baten forma dutela eta emaitza ekuazio diferentzial linealen teorian garatzen dela. |
|||
[[Elektrizitate estatiko]]arekin lanean zebilela, karga elektrikoa [[eroale elektriko]]aren gainazalean metatzen dela frogatu zuen, barruan daukanak eraginik ez duelarik. [[Faradayren kaiola]] izena duen dispositiboan erabiltzen da efektu hau. |
|||
Ekuazio diferentzial lineal homogeneoak ekuazio diferentzial linealen azpiklase bat dira, eta, horretarako, soluzioen espazioa azpiespazio lineal bat da; hau da, edozein irtenbide-multzoren edo irtenbide-multiploen batura ere irtenbide bat da. Funtzio ezezagunaren koefizienteak, eta ekuazio diferentzial lineal batean haien deribatuak aldagaiaren funtzioak edo aldagai independenteak izan daitezke; koefiziente horiek konstanteak badira, koefiziente konstanteetako ekuazio diferentzial linealez hitz egiten da. |
|||
Michael Faradayren omenez, [[Nazioarteko Unitate Sistema]]n [[farad]] (F) izena ezarri zitzaion. Definizioak [[coulomb]] bateko karga duen eroale batek [[volt]] bateko [[potentzial elektrostatikoa]] hartzeko gaitasuna dela dio. |
|||
Ekuazio bat lineala dela esaten da honako forma hau badu: |
|||
{{Ekuazio kutxa |
|||
|koska=: |
|||
|ekuazioa=<math>\, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x)</math> |
|||
}} |
|||
Hau da: |
|||
# Ez funtzioa ez haren deribatuak ez daude bat edo zero ez den beste ezein potentziatara goratuta. |
|||
# Biderkatuz agertzen den koefiziente bakoitzean, aldagai independenteak baino ez du parte hartzen. |
|||
# Bere ebazpenen konbinazio lineal bat ekuazioaren ebazpena ere bada. |
|||
[[1833]]an, Davyren lekua hartu zuen Erakundeko kimika irakasle postuan eta, bi urte geroago, urtean 300 liberako biziarteko pentsio bat esleitu zioten. |
|||
Adibideak: |
|||
:* <math>\,y' - y = 0</math> lehen mailako ekuazio diferentzial arrunt lineala da, emaitza gisa ditu: <math>y = f(x) = k \cdot e^x </math>, ''k''-rekin edozein [[zenbaki erreal]] |
|||
:* <math>\,y'' + y = 0</math> bigarren mailako ekuazio diferentzial arrunt lineala da, emaitza gisa ditu: <math>y = f(x) = a \cos (x) + b \sen (x)\,</math>, ''a'' eta ''b'' errealekin. |
|||
:* <math>\,y'' - y = 0</math> bigarren mailako ekuazio diferentzial arrunt lineala da, emaitza gisa ditu: <math>\,a \cdot e^x+b \cdot 1/(e^x)</math>, ''a'' eta ''b'' errealekin. |
|||
[[1858]]an, Victoria erreginak bere [[Grazia eta Faboreetako Etxe]]etako bat eman zion eta hantxe bizi izan zen 9 urtez, [[1867]]ko [[abuztuaren 25]]ean hil zen arte. [[Westminster abadia|Westminsterreko Abadian]], bere omenezko plaka bat dago, [[Isaac Newton]]en hilobitik gertu, berak ez baitzuen han lurperatzerik nahi. Londresko Highgate Hilobian dago ehortzita, gaur egun desagertuta dauden [[sandemanien]] gunean. |
|||
===Ekuazio diferentzial ez linealak=== |
|||
Oso metodo gutxi daude ekuazio diferentzial ez-linealak modu zehatzean ebazteko; ezagutzen direnak ohikoa da ekuazioaren mende egotea, eta simetria bereziak izaten dituzte. Ekuazio diferentzial ez-linealek oso portaera konplexua izan dezakete denbora-tarte luzeetan, [[Kaosaren teoria|kaosaren]] ezaugarria. Ekuazio diferentzial ez-linealen existentziaren, bakartasunaren eta hedagarritasunaren funtsezko alderdietako bakoitza eta EDParen hasierako kondizioen eta inguruaren arazo ez-linealen problema ondo definitua arazo zailak dira. Kasu berezietan, horiek ebaztea aurrerapauso nabarmena da teoria matematikoan (adibidez, Navier-Stokes-en existentzia eta leuntasuna). Hala ere, ekuazio diferentziala ondo formulatutako prozesu fisiko esanguratsu baten irudikapena bada, emaitza bat izatea espero da<ref>{{cita libro |
|||
| apellido = Boyce |
|||
| nombre = William E. |
|||
| apellido2 = DiPrima |
|||
| nombre2 = Richard C. |
|||
| título = Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems |
|||
| editorial =John Wiley & Sons |
|||
| edition = 4ª |
|||
| año = 1967 |
|||
| p = 3 |
|||
| idioma = inglés |
|||
}}</ref>. |
|||
[[1820]] eta [[1862]] bitartean, etenik gabe, bere egunkaria idatzi zuen, bertan buruturiko esperimentuak deskribatuz. 3.236 orrialde eta zenbait mila irudi dituen egunkari hori Fisikaren historiako funtsezko lanetako bat da gaur egun. |
|||
Ekuazio diferentzial ez-linealak ekuazio linealetarako hurbilketen bidez agertu ohi dira. Hurbilketa horiek baldintza mugatuetan baino ez dute balio. Adibidez, osziladore harmonikoaren ekuazioa pendulu baten ekuazio ez-linealaren hurbilketa bat da, eta oszilazio-anplitude txikietarako balio du (ikus aurrerago). |
|||
[[Fitxategi:Experimental researches in electricity 004.jpg|thumb|ezkerrera|150px|''Experimental researches in electricity'']] |
|||
== Faradayren 6 printzipioak == |
|||
===Ekuazio erdi linealak eta ia linealak=== |
|||
14 urte zituenean irakurritako [[Isaac Watts]]en ''The Improvement of the Mind'' -Adimenaren hobekuntza-lanetik, Michael Faradayk diziplina zientifikoaren printzipio konstanteak hartu zituen: |
|||
Ez dago prozedura orokorrik ekuazio diferentzial [[Sistema ez lineal|ez-linealak]] ebazteko. Hala ere, ez-linealtasuneko kasu partikular batzuk konpon daitezke. Interesgarriak dira kasu erdi lineala eta kasu ia lineala. |
|||
* Beti eraman behar da libreta txiki bat, oharrak edozein momentutan hartu ahal izateko. |
|||
* Komeni da posta trukea erruz erabiltzea. |
|||
* Kolaboratzaileak izatea komeni da, ideiak elkar trukatu ahal izateko. |
|||
* Eztabaidei ekidin. |
|||
* Entzundako guztia egiaztatu. |
|||
* Ez orokortu arin-arinka; ahalik eta zehatzen hitz egin eta idatzi. |
|||
== Ikus, gainera == |
|||
'''''n''''' ordenako ekuazio diferentzial arrunt bati ia lineal deritzo, baldin eta '''''n''''' ordenako deribatuan «lineala» bada. Zehazkiago, <math>\scriptstyle y(x)</math> funtziorako ekuazio diferentzial arrunta honela idatz badaiteke: |
|||
* [[Faradayren legea]] |
|||
<math>f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)=0, \qquad \qquad |
|||
* [[Farad]] |
|||
f_1(z):=f(z,\alpha_{n-1},\dots,\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_0)</math> |
|||
==Erreferentziak== |
|||
Ekuazioa ia lineala dela esaten da baldin eta <math>\scriptstyle f_1(\cdot)</math> [[Funtzio lineal|funtzio afin]] bada, hau da <math>\scriptstyle f_1(z) = az + b</math>. |
|||
{{Erreferentzia zerrenda|30em}} |
|||
'''''n''''' mailako ekuazio diferentzial arrunta erdi lineal deritzo baldin eta idatz badaiteke '''''n''''' maila-deribatuaren funtzio «lineal» baten batuketa gehi gainerako deribatuen edozein funtzio gisa. Formalki, <math>\scriptstyle y(x)</math> funtziorako ekuazio diferentzial arrunta honela idatz daiteke: |
|||
<math>f(y^{(n)},y^{(n-1)},\dots,y'',y',y,x)= \hat{f}(y^{(n)},x)+ g(y^{(n-1)},\dots,y',y,x) \qquad \qquad |
|||
f_2(z):= \hat{f}(z,\beta_0)</math> |
|||
Ekuazioa erdi lineala dela esaten da baldin eta <math>\scriptstyle f_2(\cdot)</math> [[Funtzio lineal|funtzio lineala]] bada |
|||
== Definizioak == |
|||
Ekuazio diferentzialetan ordenaz eta mailaz hitz egiten da. |
|||
=== Ordena === |
|||
Ekuazio diferentzialaren ordena ekuazio horretan aldi gehiagotan [[deribatu]] den terminoak duen ordena da<ref name="Ekuazio Diferentzialak"/><ref name=Sagarzazu>{{erreferentzia | izena = Ernesto | abizena = Martínez Sagarzazu | izenburua = Ekuazio diferentzialak. Aplikazioak eta ariketak | url = https://www.ueu.eus/download/liburua/EKUAZIODIFERENTZIALAK.pdf |
|||
| argitaletxea = [[Udako Euskal Unibertsitatea]] | isbn = 8486967635 }}</ref>. Adibideak: |
|||
* Lehen ordenako ekuazio diferentziala: <math>y' + y(x) = f(x)</math> |
|||
* Bigarren ordenako ekuazio diferentziala: <math>y''+ 4y =0</math> |
|||
* Hirugarren ordenako ekuazio diferentziala: <math>xy''' - 2xy'' + 4y' = 0</math> |
|||
* Koefiziente aldakorreko bigarren ordenako ekuazioa: <math>y''+2xy'+4y=0</math> |
|||
=== Maila === |
|||
Ekuazio diferentzialaren maila ekuazio horretako ordena goreneko deribatuaren [[berretzaile]]a da.<ref name="Ekuazio Diferentzialak"/><ref name=Sagarzazu/> |
|||
===Ekuazio diferentzial zehatzak=== |
|||
Atal honetan, <math>P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0</math> y <math>y' = -{P(x,y) \over Q(x,y)}</math> gisa idatzitako ekuazio diferentzialak aurkituko ditugu, lehenengo eta bigarren ekuazioen artean inolako bereizketarik egin gabe. |
|||
P eta Q <math>\R^2</math>-ko <math>R</math> laukizuzen ireki batean definitutako funtzioak direla suposatuko da, aldi berean nuluak ez direnak. |
|||
{{teorema|tipo=conjetura|Esaten da ekuazioa diferentzial zehatza dela R <math>\rightarrow</math> <math>\R</math> funtzio deribagarri hauek <math>F_x(x,y) = P(x,y)</math> y <math>F_y(x,y) = Q(x,y)</math> <math>\forall (x,y) \in R</math> dituena baldin badago}}. |
|||
Zehaztasunaren garrantzia datza <math>F(x,y) = c</math> kurba integralen familia bat izatean, x-rekiko inplizituki desberdinduz erator daitekeena: <math>F_x + F_y y' = 0</math>-k, beraz, <math>F(x,y) = c</math>-k <math>y' = -{P(x,y) \over Q(x,y)}</math> asebetetzen du. |
|||
Ekuazio bat diferentzial zehatza den zehaztasunez jakiteko erabil daitekeen irizpide bat da abiapuntutzat hartzea P eta Q funtzio jarraituak direla eta R-n deribatu partzial lehen jarraituak dituztela. <math>P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0</math> ekuazioa diferentzial zehatza bada, orduan, <math>P_y = Q_x</math> R-n dela frogatzen da. |
|||
Demagun <math>P_y = Q_x</math> R-n dagoela eta F bilatzen dugula, <math>F_x =</math> P eta <math>F_y = Q</math> izanik. <math>F_x =</math> P ekuazioa x-rekiko integratuz: <math>F(x,y) = \int P(x,y)dx + C(y)</math> non C(y) y-ren menpeko integrazio-konstantea den. |
|||
<math>F_y = Q</math> baldintza ezarriz gero, <math>C'(y) = Q(x,y) - {\partial \over \partial y} \int P(x,y) dx</math> lortzen da, non, <math>P_y = Q_x</math> aplikatuz, berdintasunaren eskuineko aldea y aldagaiaren funtzioa da x-tik independentea. |
|||
Azkenik |
|||
{{Ekuazio kutxa|equation=<math> F(x,y) = \int P(x,y)dx + \int (Q(x,y) - {\partial \over \partial y} \int P(x,y) dx)dy </math>}} |
|||
Horrela, metodo bat lortu da <math>F(x,y) = c</math> ekuazio diferentzial zehatz baten kurba integralak kalkulatu ondoren, arestian adierazitako teorema frogatuz. |
|||
===Adibideak=== |
|||
Lehenengo adibide multzoan, demagun ''u'' ''x''-ren menpe dagoen funtzio ezezaguna dela, eta ''c'' eta ''ω'' konstante ezagunak direla. Kontuan izan ekuazio diferentzial arruntak eta partzialak «lineal» eta «ez-lineal» gisa sailka daitezkeela. |
|||
* Lehen mailako koefiziente konstanteak dituen ekuazio diferentzial arrunt lineala: |
|||
:: <math> \frac{du}{dx} = cu+x^2. </math> |
|||
* Bigarren mailako ekuazio diferentzial arrunt lineal homogeneoa: |
|||
:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} - x\frac{du}{dx} + u = 0. </math> |
|||
[[Fitxategi:HarmOsc1.png|eskuinera|Malgukitik zintzilik dagoen masak [[osziladore harmoniko]] bat osatzen du. Ekuazio diferentzial batek masaren mugimenduak bete behar dituen erlazioak adieraztea ahalbidetzen du.]] |
|||
<math>y = f(x)= AX</math>-ek ebazpen bat ematen du. |
|||
* Ekuazio diferentzial arrunt lineala bigarren mailako koefiziente konstante homogeneoak dituena eta [[osziladore harmoniko]] bat deskribatzen duena. |
|||
:: <math> \frac{d^2u}{dx^2} + \omega^2u = 0. </math> |
|||
* Lehen malako ekuazio diferentzial arrunt ez lineala, ez homogenoa: |
|||
:: <math> \frac{du}{dx} = u^2 + 4. </math> |
|||
* Bigarren mailako ekuazio diferentzial arrunt ez lineala (senoaren funtzioa dela eta), ''L'' luzerako [[pendulu]] baten mugimendua deskribatzen duena: |
|||
:: <math> L\frac{d^2u}{dx^2} + g\sen u = 0. </math> |
|||
Hurrengo adibide multzoan, ''u'' funtzio ezezaguna ''x'' y ''t'' o ''x'' e ''y'' bi aldagaien mende dago. |
|||
* Lehen ordenako ekuazio diferentzial partzial lineal homogeneoa, orduan: |
|||
:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} + t\frac{\partial u}{\partial x} = 0. </math> |
|||
[[Fitxategi:Laplace's equation on an annulus.jpg|thumb|eskuineta|[[Laplace-ren ekuazioa]] [[Koroa zirkular|koroa]] batean (r=2 eta R=4) Dirichlet-en muga-baldintzak dituena: u(r=2)=0 y u(r=4)=4sen(5*θ).|350px]] |
|||
* Ekuazio diferentzial partzial lineal homogeneoa, mota eliptikoko bigarren mailako koefiziente konstanteak dituena, [[Laplaceren ekuazioa]]: |
|||
:: <math> \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0. </math> |
|||
* Hirugarren ordenako ekuazio diferentzial partzial ez-lineala, [[Korteweg-de Vriesen ekuazioa]]: |
|||
:: <math> \frac{\partial u}{\partial t} = 6u\frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^3 u}{\partial x^3}. </math> |
|||
==== Ekuazio diferentzial zehatzaren adibidea ==== |
|||
<math>P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0</math> <math>\forall (x,y) \in B</math> lehen ordenako ekuazio diferentziala da, non P eta Q bi funtzio jarraitu baitira <math>B \subset \R^2</math> irekian. |
|||
<math>P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0</math> ekuazioa ekuazio diferentzial zehatza dela esaten da B-n definitutako <math>F(x,y)</math> funtzio potentzial bat baldin badago: |
|||
{{Ekuazio kutxa|equation=<math>{\partial F \over \partial x}(x,y) = P(x,y)</math> |
|||
<math>, </math><math>{\partial F \over \partial y}(x,y) = Q(x,y)</math><math> , </math><math>\forall (x,y) \in B</math>}} |
|||
Izan bedi <math>P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 </math> ekuazio diferentzial zehatza, <math>\forall (x,y) \in B \subset \R^2</math> irekia eta <math>F(x,y)</math> haren funtzio potentziala, orduan, grafoa B-n dagoen ekuazioaren <math>y = \phi (x) </math> soluzio bakoitzak betetzen du ekuazioa |
|||
==Ekuazio diferentzial baten ebazpena== |
|||
===Ebazpenen existentzia=== |
|||
1.go pausua: Ekuazio diferentzialen ebazpena ez da [[Ekuazio aljebraiko|ekuazio aljebraikoen]] ebazpenak bezalakoa. Batzuetan, bere ebazpenak oso argiak ez diren arren, interesgarria izan daiteke bakarrak edo existitzen badira. |
|||
Hasierako balioak dituzten lehen mailako arazoetarako, [[Peanoren existentziaren teorema|Peanoren existentziaren teoremak]] baldintza multzo bat ematen digu, non soluzioa existitzen den. ''xy'' planoko edozein <math>(a,b)</math> puntutarako, eta <math>Z</math> eskualde angeluzuzen bat definituta, hau da, <math>Z = [l,m]\times[n,p]</math> eta <math>(a,b)</math> <math>Z</math>-ren barruan badago. Ekuazio diferentzial <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(x,y)</math> badugu eta <math>y=b</math> hori <math>x=a</math> denean, orduan, arazo honen ebazpen lokala badago: <math>g(x,y)</math> eta <math>\frac{\partial g}{\partial x}</math> biak <math>Z</math>-n jarraituak badira. Ebazpena tarte batean dago, eta bere zentroa <math>a</math>-n du. Baliteke irtenbidea ez izatea bakarra. (Ikus [[Ekuazio diferentzial arrunta]] beste emaitza batzuetarako). |
|||
Sin embargo, esto solo nos ayuda con problemas de primer orden con condiciones iniciales. |
|||
Supongamos que tenemos un problema lineal con condiciones iniciales de orden enésimo: |
|||
== Softwarea == |
|||
* [[ExpressionsinBar]] |
|||
* Maple:<ref>{{Erreferentzia|izenburua=dsolve - Maple Programming Help|url=https://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=dsolve|aldizkaria=www.maplesoft.com|sartze-data=2020-05-16}}</ref> dsolve |
|||
* [[SageMath]]<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0|url=http://doc.sagemath.org/html/en/tutorial/tour_algebra.html|aldizkaria=doc.sagemath.org|sartze-data=2020-05-16}}</ref> |
|||
* [[Xcas]]:<ref>{{erreferentzia|izena=Symbolic algebra and Mathematics with Xcas|abizena=http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf|urtea=|izenburua=|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=}}</ref> desolve(y'=k*y,y) |
|||
== Erreferentziak == |
|||
{{erreferentzia zerrenda|30em}} |
|||
== Ikus, gainera == |
|||
* [[Ekuazio diferentzial funtzional]] |
|||
* [[Ekuazio diferentzial konplexu]] |
|||
* [[Ekuazio diferentzial zehatz]] |
|||
* [[Ekuazio integral]] |
|||
== Kanpo estekak == |
== Kanpo estekak == |
||
{{bizialdia|1791ko|1867ko|Faraday,Michael}} |
|||
{{autoritate kontrola}} |
|||
[[Kategoria: |
[[Kategoria:Erresuma Batuko fisikariak]] |
||
[[Kategoria:Surrey konderriko jendea]] |
|||
[[Kategoria:Michael Faraday]] |
|||
[[Kategoria:Londresen hildakoak]] |
|||
11:16, 20 azaroa 2024ko berrikusketa
| Joxan Garaialde/Proba orria | |
|---|---|
| Bizitza | |
| Jarduerak |
Michael Faraday (Surrey, Ingalaterra, 1791ko irailaren 22a - Hampton Court, Ingalaterra, 1867ko abuztuaren 25a) elektromagnetismoa eta elektrokimika ikasi zituen fisiko eta kimiko britainiarra da.
Humphry Davy kimikariarekin ikasi zuen, eta indukzio elektromagnetikoaren aurkikuntzagatik ezagutzen dute gehienek, generadore eta motore elektrikoak eraikitzea ahalbidetu baitu horrek, edo elektrolisiaren legeengatik, bera baita elektromagnetismoaren eta elektrokimikaren benetako sortzaile.
Faradayren garaiko beste ikertzaile batzuen antzera, Faraday, eremu magnetikoen bidez, korronte elektrikoak sortzen saiatu zen. Hamar urtetan, ez zuen emaitza arrakastatsurik lortu, egoera estatikoan, hots, geldirik zeuden imanak eta bobinak erabili baitzituen. Hala ere, ekinaren ekinez, korronte elektrikoaren indukzioa sortzeko eremu magnetiko aldakorrak behar direla frogatu ahal izan zuen.
Gaztetan ikasketak burutu gabea zen, eta ez zekien ia ezer matematikaz. Kalkulu diferentziala erabat arrotz zuen azken fisikari handia izan zela esan daiteke, nahiz eta gabezia hori grafikoak egiteko zuen trebetasun izugarriz gainditu zuen.
Bere egunkaria idatzi zuen 1820 eta 1862 bitartean, etenik gabe, bertan buruturiko esperimentuak deskribatuz. 3.236 orrialde eta zenbait milaka irudi dituen egunkari hori Fisikaren historiako funtsezko lanetako bat da gaur egun.
Biografia
Faraday britainiar fisikaria Surreyn (Ingalaterran) jaio zen 1791ko irailaren 22an. Michaelen aita James Faraday izan zen eta Newingtonen jaiotakoa zen, Londres inguruan (Ingalaterra).
Ez zuen eskolara joateko aukera handirik izan eta, 13 urte zituenean, Michael lanean hasi beharrean izan zen eta Londresko azaleztatzaile batekin ofizioa ikasten hasi zen. Han aritu zen 7 urtetan, zientziari buruzko liburu asko irakurri zuen eta, horrekin batera, elektrizitatearekin zerikusia zuten esperimentuak ere burutu zituen, zientziarako grina betirako piztu zitzaiolarik. Hala ere, ez zekien ezer asko matematikaz, baina Kalkulu diferentziala ez bazuen ezagutzen ere, grafikoak egiteko trebezia berezia erakutsi zuen.
Karrera zientifikoa
Bere garaiko beste ikertzaile batzuen antzera, Faraday eremu magnetikoen bidez korronte elektrikoak sortzen saiatu zen. Hamar urtetan ez zuen emaitza arrakastatsurik lortu, egoera estatikoan, hots, geldirik zeuden imanak eta bobinak erabili baitzituen. Hala ere, ekinaren ekinaz, korronte elektrikoaren indukzioa sortzeko eremu magnetiko aldakorrak behar direla frogatu ahal izan zuen.
Davyren pean egin zituen lehen ikerketak kimikan. Kloroa ikertzean, bi karbono kloruro berri aurkitu zituen, bentzenoa ere deskubritu zuen... Ekarpen handiak egin zituen elektrizitatearen esparruan. 1821ean, Oersted kimikari daniarrak eletromagnetismoa deskubritu ondoren, Faradayk bi tresna egin zituen bere hitzetan errotazio elektromagnetikoa ekoizteko, hau da, motore elektrikoa.
1824an, Faraday Londresko Errege Elkartean sartu zen eta, hurrengo urtean, Errege Erakundeko laborategiko zuzendari izendatu zuten.
1831n, bere esperimentu ospetsuak hasi zituen eta indukzio elektromagnetikoa aurkitu zuen; esperimentu horiek gaur egun ere teknologia elektromagnetikoaren oinarri dira. Indar lerroen kontzeptua txertatu zuen eremu magnetikoak irudikatzeko eta, elektrolisian eginiko ikerketen ondorioz, bere bi oinarrizko legeak, bere izena daramatenak, deskubritu zituen:
- Elektrolisiaren bidez askatzen den sustantzia baten masa, elektrolitotik igaro den elektrizitate kantitatearekiko zuzenki proportzionala da. Beraz,
- m= clt [(masa = balore elektrokimikoa (c) x intentsitatea (l) x denbora (t)]
- Elektrizitate kantitate batek askatutako sustantzia ezberdinen masak zuzenki proportzionalak dira bere pisu baliokideekin.
Bere ikerketek aurrerapen izugarria izan ziren elektrizitatearen garapenerako, magnetismoak, mugimenduaren bitartez, elektrizitatea ekoizten duela ezarri zuelako.
Elektrizitate estatikoarekin lanean zebilela, karga elektrikoa eroale elektrikoaren gainazalean metatzen dela frogatu zuen, barruan daukanak eraginik ez duelarik. Faradayren kaiola izena duen dispositiboan erabiltzen da efektu hau.
Michael Faradayren omenez, Nazioarteko Unitate Sisteman farad (F) izena ezarri zitzaion. Definizioak coulomb bateko karga duen eroale batek volt bateko potentzial elektrostatikoa hartzeko gaitasuna dela dio.
1833an, Davyren lekua hartu zuen Erakundeko kimika irakasle postuan eta, bi urte geroago, urtean 300 liberako biziarteko pentsio bat esleitu zioten.
1858an, Victoria erreginak bere Grazia eta Faboreetako Etxeetako bat eman zion eta hantxe bizi izan zen 9 urtez, 1867ko abuztuaren 25ean hil zen arte. Westminsterreko Abadian, bere omenezko plaka bat dago, Isaac Newtonen hilobitik gertu, berak ez baitzuen han lurperatzerik nahi. Londresko Highgate Hilobian dago ehortzita, gaur egun desagertuta dauden sandemanien gunean.
1820 eta 1862 bitartean, etenik gabe, bere egunkaria idatzi zuen, bertan buruturiko esperimentuak deskribatuz. 3.236 orrialde eta zenbait mila irudi dituen egunkari hori Fisikaren historiako funtsezko lanetako bat da gaur egun.
Faradayren 6 printzipioak
14 urte zituenean irakurritako Isaac Wattsen The Improvement of the Mind -Adimenaren hobekuntza-lanetik, Michael Faradayk diziplina zientifikoaren printzipio konstanteak hartu zituen:
- Beti eraman behar da libreta txiki bat, oharrak edozein momentutan hartu ahal izateko.
- Komeni da posta trukea erruz erabiltzea.
- Kolaboratzaileak izatea komeni da, ideiak elkar trukatu ahal izateko.
- Eztabaidei ekidin.
- Entzundako guztia egiaztatu.
- Ez orokortu arin-arinka; ahalik eta zehatzen hitz egin eta idatzi.