Bolzanon–Weierstrassin lause

Reaalianalyysissä Bolzanon–Weierstrassin lauseen sisältö havainnollisesti sanottuna on, että äärellisellä välillä olevalla äärettömällä pistejoukolla on pakosta tihentymä jossakin. Lause myös kertoo, että jokaisella rajoitetulla reaalilukujonolla on olemassa suppeneva osajono.

Reaalilukujoukon A kasautumispiste x on sellainen piste, jolle jokaisessa pisteen x avoimessa ympäristössä U(x;r) = ]x-r,x+r[ on ainakin yksi pisteestä x eroava A:n piste. Toisin sanoen, jokaiselle positiiviselle luvulle r on olemassa joukon A piste a siten, että erotuksen a−x itseisarvo on pienempi kuin r. Kun x:n jokaisessa r-säteisessä ympäristössä on ainakin yksi x:stä eroava joukon A piste, niin siitä seuraa että jokaisessa x:n ympäristössä on ääretön määrä A:n pisteitä. Huomaa, että A:n kasautumispisteen x ei tarvitse kuulua joukkoon A.

Tutkitaan esimerkkinä avoimen välin ]1,2[ kasautumispisteitä. Tämän välin jokainen piste on mielivaltaisen lähellä jotakin toista välin pistettä. Lisäksi vaikka päätepisteet 1 ja 2 eivät kuulukaan väliin niin välin pisteitä on miten lähellä tahansa näitä pisteitä. Siis suljetun välin [1,2] kaikki pisteet ovat avoimen välin ]1,2[ kasautumispisteitä. Ko. avoimella välillä ei ole muita kasautumispisteitä. Yleisesti avoimen välin ]a,b[ kaikki kasautumispisteet muodostavat suljetun välin [a,b].

Suljetun välin kasautumispisteet ovat juuri kaikki tämän suljetun välin pisteet. Yleisesti suljettu joukko voidaan määritellä myös joukkona, joka sisältää kaikki kasautumispisteensä.

Reaalilukujoukolla, jossa on vain äärellinen määrä alkioita, ei voi olla kasautumispisteitä. Toisaalta myöskään kaikilla äärettömillä reaalilukujoukoilla ei välttämättä ole kasautumispisteitä. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko on ääretön, mutta sillä ei ole kasautumispistettä.

Lauseen todistus

Valitaan rajoitettu ääretön pistejoukko A reaaliakselilla. Osoitamme, että sillä on kasautumispiste.

Koska A on rajoitettu, on olemassa suljettu väli [a,b], joka peittää A:n. Jaetaan [a,b] kahteen yhtä pitkään suljettuun osaväliin, joilla on vain yksi yhteinen piste. Ainakin toisessa niistä on ääretön määrä A:n pisteitä. Olkoon se väli [a(1),b(1)]. Jaetaan tämä väli samoin kahteen yhtäpitkään suljettuun osaväliin. Ainakin toisessa, [a(2),b(2)]:ssa, on ääretön määrä pisteitä. Jatkamalla samoin löydetään jokaisella n≥0 väli [a(n),b(n)], jossa on ääretön määrä pisteitä.

Jono a(n) on sellainen, että a(n+1) ≥ a(n) ja a(n) < b kaikilla epänegatiivisilla luvuilla n. Jono b(n) taas sellainen, että b(n)≥b(n+1) ja b(n) > a kaikilla epänegatiivisilla luvuilla n. Koska jonot a(n) ja b(n) ovat rajoitettuja, niin jonolla a(n) on olemassa pienin yläraja a’=sup a(n) ja jonolla b(n) suurin alaraja b’=inf b(n). Koska a(n)<b(n), niin täytyy olla b’≤a’. Mutta silloin a’= b’ ja kyseinen yhteinen piste on A:n kasautumispiste.