Hawkingin säteily

Hawkingin säteily on hypoteettista säteilyä, jota oletetaan syntyvän mustan aukon tapahtumahorisontin läheisyydessä. Teorian kehitti Stephen Hawking vuonna 1974. Kyse on hiukkas-antihiukkaspareista, joita kutsutaan virtuaalihiukkasiksi, jotka ilmestyvät tyhjiöstä ja normaalisti annihiloituvat välittömästi – niin nopeasti etteivät ne edes ehdi rikkoa mitään luonnonlakeja olemassaolollaan. Kun hiukkaset syntyvät tapahtumahorisontin lähellä, hiukkasparin toinen hiukkanen voi joutua mustaan aukkoon ja luovuttaa parilleen hieman energiaa. Lisäenergiaa saanut hiukkanen puolestaan muuttuu reaaliseksi kumppaninsa kadottua ja pakenee mustan aukon ulottuvilta. Ulkopuolisesta tarkkailijasta näyttää siltä, että hiukkanen tulee mustasta aukosta ja musta aukko säteilisi.

Mustan aukon säteilyä ei ole havaittu. Tämä johtuu siitä, että tuntemamme mustat aukot ovat vain sellaisia mustia aukkoja, jotka ovat syntyneet tähden luhistuessa. Esimerkiksi muutaman Auringon massaisen mustan aukon säteily on vain asteen miljoonasosan päässä absoluuttisesta nollapisteestä. Kosminen taustasäteily peittää tehokkaasti suurten mustien aukkojen säteilyn, koska säteily on noin 2,7 kelviniä absoluuttisen nollapisteen yläpuolella.

Hawkingin säteilyn lämpötilan voi laskea kaavasta

$T={\frac {hc^{3}}{16\pi ^{2}kGM}}$,

jossa c on valonnopeus, h on Planckin vakio, G on painovoimavakio, M on mustan aukon massa ja k on Boltzmannin vakio.

Mustien aukkojen termodynamiikkaa

Ensimmäisen vihjeen Hawkingin säteilystä antoivat teoreettiset tarkastelut siitä, mitä tapahtuu aineen tai säteilyn syöksyessä mustaan aukkoon tai kahden mustan aukon törmätessä toisiinsa. Osoittautui, että tällaisissa tapauksissa vallitsevat lait ovat merkillisellä tavalla analogiset termodynamiikan pääsäännöille.

Niinpä mustien aukkojen tapahtumahorisonttien yhteenlaskettu pinta-ala joko pysyy vakiona tai kasvaa kaikissa tällaisissa ilmiöissä, mutta ei koskaan pienene. Tässä suhteessa se muistuttaa entropiaa, joka termodynamiikan toisen pääsäännön mukaan aina kasvaa, paitsi reversiibeleissä prosesseissa, joissa se pysyy vakiona, mutta ei koskaan pienene. Lisäksi kahden mustan aukon törmätessä syntyvä aukko asettuu tasapainotilaan siten, että sen pinnalla pintagravitaatio on kaikkialla yhtä suuri, samaan tapaan kuin termodynamiikan nollannen pääsäännön mukaan systeemi on tasapainossa, jos siinä lämpötila on kaikkialla yhtä suuri. Tämä viittaisi siihen, että mustan aukon pinta-ala olisi suoraan verrannollinen sen entropiaan ja pintagravitaatio lämpötilaan.

Koska mustan aukon tapahtumahorisontin säde on

$r={\frac {2GM}{c^{2}}}$,

on gravitaatiokiihtyvyys tällä etäisyydellä sen keskipisteestä

$g={\frac {GM}{r^{2}}}={\frac {GM}{\frac {4G^{2}m^{2}}{c^{4}}}}={\frac {c^{4}}{4GM}}$,

siis kääntäen verrannollinen sen massaan.

Ensi näkemältä rinnastus näytti kuitenkin ontuvan. Kaikki kappaleet, joiden lämpötila poikkeaa absoluuttisesta nollapisteestä, nimittäin lähettävät lämpösäteilyä, mutta mustien aukkojen gravitaatio on niin suuri, ettei niiden ajateltu voivan lainkaan säteillä. Voitiin kuitenkin palauttaa mieleen, että lämpösäteily oli aikaisemminkin aiheuttanut teoreettisille fyysikoille ongelmia. Niinpä klassisen fysiikan mukainen Rayleigh’n–Jeansin laki päti kyllä säteilyn pitkillä, mutta ei lyhyillä aallonpituuksilla, ja vasta Planckin kvanttihypoteesi ratkaisi ongelman. Voitiinkin osoittaa, että myös mustien aukkojen tapauksessa kvanttiteorian tulokset muuttavat tilanteen. Teoreettiset tarkastelut viittasivat siihen, että musta aukko todella säteilee kuin musta kappale, jonka absoluuttinen lämpötila on kääntäen verrannollinen sen massaan ja siten suoraan verrannollinen sen pintagravitaatioon.

Mustien aukkojen "höyrystyminen"

Kun musta aukko lähettää säteilyä, se menettää energiaa, ja samalla erityisen suhteellisuus­teorian mukaan myös sen massa pienenee yhtälön E=mc² mukaisesti.

Mustan aukon lähettämän säteilyn teho on helpoimmin määritettävissä varauksettomalle mustalle aukolle, joka ei pyöri. Sen Schwarzschildin säde on

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}\;$,

missä M on aukon massa, G gravitaatiovakio ja c valonnopeus.

Edellä esitetyn mukaisesti se lähettää mustan kappaleen säteilyä kuin kappale, jonka lämpö­tila on

$T={\frac {hc^{3}}{16\pi ^{2}kGM}}$,

missä c on valon­nopeus, h Planckin vakio, G gravitaatio­vakio, M aukon massa ja k Boltzmannin vakio. Tällaisen kappaleen säteily­teho on Stefan-Boltzmannin lain mukaan

$P=A_{s}\sigma T^{4}\;$

missä A_s on kappaleen pinta-ala, ja T sen lämpötila ja $\sigma$ Stefan-Boltzmannin vakio, jolle voidaan esittää myös lauseke:

$\sigma ={\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}};$

Schwartzchildin säteestä seuraa mustan aukon pinta-alalle A lauseke

$A=4\pi r^{2}={\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}}$

ja sijoittamalla nämä lausekkeet edellä esitettyyn mustan aukon säteily­tehon lausekkeeseen saadaan:

$P=A_{s}\epsilon \sigma T_{H}^{4}=\left({\frac {16\pi G^{2}M^{2}}{c^{4}}}\right)\left({\frac {\pi ^{2}k_{B}^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\right)\left({\frac {\hbar c^{3}}{8\pi GMk_{B}}}\right)^{4}={\frac {\hbar c^{6}}{15360\pi G^{2}M^{2}}}\;$

Tulosta

$P={\frac {\hbar c^{6}}{15360\pi G^{2}M^{2}}}\;$

sanotaan Stefanin-Boltzmannin-Schwarzschildin-Hawkingin teholaiksi.

Siinä $\hbar$ on redusoitu Planckin vakio, c valonnopeus ja G gravitaatio­vakio.

Jos mustan aukon massa on samaa luokkaa kuin auringon massa, sen säteily­teho on hyvin pieni, 9 × 10⁻²⁹ wattia. Tällaista kappaletta voidaan täydellä syyllä nimittää mustaksi.

Hawkingin säteilyn vuoksi mustan aukon massa pienenee vähitellen, ellei sinne tule ulko­puolelta ainetta tai säteilyä. Voidaankin laskea, missä ajassa mustan aukon massa tällaisessa tapauksessa pienenee nollaan. Aukon tehon ja sen massan neliön tulo on tällaisessa tapauksessa vakio:

$K_{\operatorname {ev} }={\frac {\hbar c^{6}}{15360\pi G^{2}}}=3.562\times 10^{32}\;{\text{W}}\cdot {\text{kg}}^{2}\;$

Koska Hawkingin säteilyn teho on aukon menettämä energia aika­yksikkö kohti, on

$P=-{\frac {dE}{dt}}={\frac {K_{\operatorname {ev} }}{M^{2}}}\;$

Koska aukon massan ja energian suhde on Einsteinin kaavan mukaan:

$E=Mc^{2}\;$

on säteily­teho samalla verrannollinen aukon massan pienenemis­nopeuteen:

$P=-{\frac {dE}{dt}}=-\left({\frac {d}{dt}}\right)Mc^{2}=-c^{2}{\frac {dM}{dt}}\;$

Yhdistämällä nämä kaksi lauseketta saadaan:

$-c^{2}{\frac {dM}{dt}}={\frac {K_{\operatorname {ev} }}{M^{2}}}\;$

Tämä differentiaaliyhtälö on separoituva, ja voidaan kirjoittaa:

$M^{2}dM=-{\frac {K_{\operatorname {ev} }}{c^{2}}}dt\;$

Näin ollen mustan aukon massa M on ajan t funktio. Jos tämä integroidaan M:n suhteen aukon alkuperäisestä massasta $M_{0}$ nollaan, mikä vastaa tilannetta, jossa aukko on kokonaan "höyrystynyt", ja samalla ajan t suhteen kyseiseltä ajalta, saadaan:

$\int _{M_{0}}^{0}M^{2}dM=-{\frac {K_{\operatorname {ev} }}{c^{2}}}\int _{0}^{t_{\operatorname {ev} }}dt\;$

Täten mustan aukon höyrystymiseen kuluva aika on suoraan verrannollinen sen massan kuutioon:

$t_{\operatorname {ev} }={\frac {c^{2}M_{0}^{3}}{3K_{\operatorname {ev} }}}=\left({\frac {c^{2}M_{0}^{3}}{3}}\right)\left({\frac {15360\pi G^{2}}{\hbar c^{6}}}\right)={\frac {5120\pi G^{2}M_{0}^{3}}{\hbar c^{4}}}=8.410\times 10^{-17}\left[{\frac {M_{0}}{\mathrm {kg} }}\right]^{3}\mathrm {s} \;$

Musta aukko siis hajoaa ajassa

$t_{\operatorname {ev} }={\frac {5120\pi G^{2}M_{0}^{3}}{\hbar c^{4}}}\;$

missä $M_{0}$ on mustan aukon massa.

Kvantti-ilmiöstä seuraa kuitenkin, että tämä pätee vain, kun massa on vähintään Planckin massan, $m_{P}$, suuruinen. Massaltaan Planckin massan suuruisen mustan aukon höyrystymiseen kuluva aika on:

$t_{\operatorname {ev} }={\frac {5120\pi G^{2}m_{P}^{3}}{\hbar c^{4}}}=5120\pi t_{P}=5120\pi {\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}=8.671\times 10^{-40}\;{\text{s}}\;$

$t_{\operatorname {ev} }=5120\pi {\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}\;$

missä $t_{P}$ on Planckin aika.

Jos mustan aukon massa on yhtä suuri kuin auringon massa ($M_{\odot }$ = 1.98892 × 10³⁰ kg), saadaan höyrystymisajaksi

$t_{\operatorname {ev} }={\frac {5120\pi G^{2}M_{\odot }^{3}}{\hbar c^{4}}}=6.617\times 10^{74}\;{\text{s}}\;$

eli 2,098 · 10⁶⁷ vuotta. Tämä on paljon pidempi kuin maailman­kaikkeuden ikä, joka nykyisten tietojen mukaan on noin (13,798 ± 0,037) × 10⁹ vuotta.

Jos sitä vastoin mustan aukon massa on 10¹¹ kg, sen höyrystymisaika on 2,667 miljardia vuotta. Tämän vuoksi jotkut tähti­tieteilijät etsivätkin merkkejä räjähtävistä primordiaalisista mustista aukoista.

Koska maailmankaikkeus kuitenkin on täynnä kosmista mikro­aalto­säteilyä, musta aukko ei tällä tavoin höyrysty, ellei sen lämpötila ole korkeampi kuin tämän säteilyn taajuus­jakaumaa vastaava lämpötila

$T_{u}=2.725\;{\text{K}}\;$.

Tämä edellyttää, että höyrystyvän mustan aukon massa on enintään

$M_{H}\leq {\frac {\hbar c^{3}}{8\pi Gk_{B}T_{u}}}\leq 4.503\times 10^{22}\;{\text{kg}}\;$

$M_{H}\leq {\frac {\hbar c^{3}}{8\pi Gk_{B}T_{u}}}\;$

${\frac {M_{H}}{M_{\oplus }}}=7.539\times 10^{-3}=0.754\;\%\;$

missä $M_{\oplus }$ on Maan massa.

Tavanomaisilla mittayksiköillä tämä on

$P=3.563\,45\times 10^{32}\left[{\frac {\mathrm {kg} }{M}}\right]^{2}\mathrm {W} \;$

$t_{\mathrm {ev} }=8.407\,16\times 10^{-17}\left[{\frac {M_{0}}{\mathrm {kg} }}\right]^{3}\mathrm {s} \ \ \approx \ 2.66\times 10^{-24}\left[{\frac {M_{0}}{\mathrm {kg} }}\right]^{3}\mathrm {yr} \;$

$M_{0}=2.282\,71\times 10^{5}\left[{\frac {t_{\mathrm {ev} }}{\mathrm {s} }}\right]^{1/3}\mathrm {kg} \ \ \approx \ 7.2\times 10^{7}\left[{\frac {t_{\mathrm {ev} }}{\mathrm {yr} }}\right]^{1/3}\mathrm {kg} \;$

Esimerkiksi mustan aukon elin­ikä on yksi sekunti, jos sen massa on 2,28 × 10⁵ kg, mitä vastaava energia on 2,05 × 10²² J. Tämä vastaa räjähdystä, jonka voimakkuus on 5 · 10⁶ megatonnia TNT:tä. Säteilyteho on aluksi 6,84 × 10²¹ W.

Mustan aukon höyrystymisellä on useita merkittäviä seurauksia:

• Mustan aukon höyrystymis­prosessi antaa johdon­mukaisemman kuvan mustan aukon termo­dynamiikasta osoittamalla, miten musta aukko vuorovaikuttaa termo­dynaamisesti muun maailman­kaikkeuden kanssa.
• Useimmista muista kohteista poiketen mustan aukon lämpötila nousee, kun se säteilee energiaa. Tämä lämpötilan nousu on ekspo­nenti­aalinen ja johtaa lopulta siihen, että aukko hajoaa äkillisesti lähettäen ympärilleen suuren määrän gammasäteilyä. Tämän hajoamisen täydellinen kuvaus edellyttää kuitenkin kvanttigravitaatioteoriaa, kun aukon massa lähestyy Planckin massaa ja sen säde Planckin pituutta.
• Yksinkertaisimmat mallit mustan aukon höyrystymiselle johtavat informaatio­paradoksiin. Mustan aukon informaatiosisältö näyttää häviävän, kun se hajoaa, sillä näiden mallien mukaan Hawkingin säteily on satunnainen prosessi eikä siis liity mitenkään alkuperäiseen informaatioon. Ongelmalle on esitetty monia ratkaisuja kuten että Hawkingin säteilyssä esiintyy häiriöitä, jotka sisältävät puuttuvan informaation, että Hawkingin mukainen höyrystyminen jättää jälkeensä joitakin hiukkasia, jotka sisältävät puuttuvan informaation, tai että informaatio näissä olo­suhteissa voikin hävitä.
• Pieni musta aukko säteilee enemmän, joten näyttää siltä, että se olisi kuumempi kuin suuri musta aukko. Tämän seurauksena mustan aukon "kuiviin kiehuminen" on sitä nopeampaa mitä pienemmästä aukosta on kyse. Tarpeeksi pieni musta aukko saattaa näyttää himmeästi hehkuvalta kappaleelta sen säteilevän energian takia. Lopulta säteily on niin voimakasta, että pieni musta aukko näyttää suorastaan räjähtävän pois. Mikäli tällainen pieni musta aukko löytyisi, olisi sen täytynyt syntyä jo alkuräjähdyksen myllerryksessä, sillä nykyisellä taustasäteilyllä mikään luhistunut aukko ei voi menettää massaansa, koska se saa sitä enemmän taustasäteilystä, kuin menettää Hawkingin säteilynä. Tällaisen aukon löytyminen todistaisi Hawkingin säteilyn olemassaolon.

Katso myös

• Kvanttifluktuaatio

Aiheesta muualla

• Scholarpedia: Hawking radiation (englanniksi)