Lävistäjämatriisi

Lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi on neliömatriisi, jonka päälävistäjän ulkopuoliset alkiot ovat nollia. Päälävistäjän alkiot voivat olla nollia, eli myös nollamatriisi on diagonaalimatriisi. Siten n×n-matriisi D = (d_ij) on lävistäjämatriisi vain jos:

$d_{ij}=0{\mbox{ kun }}i\neq j\qquad \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\}$

Yhtäpitävästi voidaan määritellä lävistäjämatriisi sanomalla, että se on sekä ylä- että alakolmiomatriisi. Esimerkiksi matriisi

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{bmatrix}}$

on lävistäjämatriisi. Koska diagonaalimatriisin alkiot kiinnittää ainoastaan yksi indeksi, ne voidaan kirjoittaa myös yksiulotteisena taulukkona. Esimerkiksi yllä oleva esimerkkimatriisi voidaan kirjoittaa kompaktimmin

$\mathrm {diag} (1,4,-3)\,$.

Termi ”lävistäjämatriisi” voi joskus viitata myös m×n-matriisiin, jonka mahdollisesti nollasta poikkeavat alkiot ovat kohdissa a_ii. Tässä (ja yleensä) kuitenkin tarkastellaan vain neliömatriiseja.

Ominaisuuksia

Jokainen lävistäjämatriisi on symmetrinen matriisi. Jos matriisin alkiot ovat kunnan $\mathbb {R}$ tai $\mathbb {C}$ alkioita, diagonaalimatriisi on myös normaali. Yksikkömatriisi I_n ja jokainen m×n nollamatriisi ovat lävistäjämatriiseja. Jokainen yksiulotteinen matriisi on myös lävistäjämatriisi.

Lävistäjämatriisi, jonka kaikki päälävistäjällä olevat alkiot ovat samoja, on nimeltään skalaarimatriisi, jolloin matriisi on muotoa $\lambda I$, missä I on yksikkömatriisi. Skalaarimatriisit muodostavat matriisialgebran keskuksen eli vain skalaarimatriisit kommutoivat kaikkien samankokoisten matriisien kanssa.

Diagonaalimatriiseilla laskeminen on melko helppoa. Esimerkiksi ominaisarvot ovat tarkalleen matriisin diagonaalilla olevat alkiot. Vaikka matriisien kertolasku on yleensä työlästä, diagonaalimatriiseilla se on vaivatonta, sillä kahden lävistäjämatriisin tulo on välttämättä myös lävistäjämatriisi ja diagonaalimatriiseilla A ja B

$\mathrm {diag} (AB)=\mathrm {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},...,a_{n}b_{n})\,$

Erityisesti korottaminen potenssiin on triviaalia, sillä jos D on n×n-diagonaalimatriisi,

$D^{k}=\mathrm {diag} (d_{1}^{k},d_{2}^{k},...,d_{n}^{k})$.

Tätä ominaisuutta voidaan käyttää tehokkaasti hyväksi matriisien potenssiinkorottamisessa yleisemminkin, jos tutkittava matriisi sattuu olemaan diagonalisoituva.

Lävistäjämatriisi $D$ on ortogonaalinen, jos

$D^{2}=\mathbf {I}$

eli toisin sanoen

$D=\mathrm {diag} (\pm 1,\pm 1,...,\pm 1)$

Lähteet

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1, ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Lävistäjämatriisi PlanetMathissa (englanniksi)