Vektorianalyysi

Vektorianalyysi on matematiikan ala, joka käsittelee vektori­kenttien differentiointia ja integrointia, pääasiassa kolmi­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa $\mathbb {R} ^{3}.$ Termiä vektori­analyysi käytetään joskus myös laajemmassa merkityksessä tarkoittamaan useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskentaa, johon varsinaisen vektori­analyysin lisäksi kuuluvat myös osittaisderivaatat sekä integrointi useamman muuttujan suhteen. Vektori­analyysillä on tärkeä merkitys differentiaaligeometriassa ja osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa. Sillä on runsaasti sovelluksia esimerkiksi tekniikassa, fysiikassa ja tilasto­tieteessä. Fysiikassa sitä käytetään varsinkin sähkö­magneettisten kenttien ja gravitaatiokenttien kuvailuun sekä virtaus­dynamiikassa.

Vektori­analyysin kehittivät kvaternioiden teorian pohjalta J. Willard Gibbs ja Oliver Heaviside lähellä 1800-luvun loppua. Suuren osan sen termino­logiasta ja merkinnöistä vakiinnutti Gibbsin ja Edwin Bidwell Wilsonin vuonna 1901 ilmestynyt kirja Vector Analysis. Tavan­omaisessa muodossaan, jossa käytetään ristituloja, vektorianalyysiä ei voida laajentaa useampiin ulottuvuuksiin, kun taas vaihto­ehtoisessa geometriseen algebraan perustuvassa lähestymis­tavassa, jossa ristitulon sijasta käytetään ulkoista tuloa, niin voidaan tehdä.

Peruskäsitteet

Skalaarikentät

Skalaarikenttä on funktio, joka liittää avaruuden jokaiseen pisteeseen jonkin skalaariarvon. Skalaari voi olla joko pelkkä matemaattinen lukuarvo tai jokin fysikaalinen suure. Sovellus­esimerkkeinä skalaarikentistä voidaan mainita lämpötila avaruuden kussakin pisteessä, paine nesteen tai kaasun eri kohdissa ja spin-nolla-kvanttikentät kuten Higgsin kenttä. Tällaisia kenttiä käsittelee skalaarikenttäteoria.

Vektorikentät

Vektorikenttä on funktio, joka liittää avaruuden jonkin osajoukon jokaiseen pisteeseen jonkin vektoriarvon. Esimerkiksi tasossa vektorikenttää voidaan havainnollistaa joukolla eripituisia ja erisuuntaisia nuolia, jotka alkavat tason eri pisteistä. Vektorikentillä voidaan mallintaa esimerkiksi tuulen nopeutta ja suuntaa tai muuta nesteen tai kaasun virtausta taikka voimia, esimerkiksi magneettikenttää tai gravitaatiota, jotka eri paikoissa ovat eri suuruisia ja eri suuntaisia.

Vektorit ja pseudovektorit

Kehittyneemmällä tasolla erotetaan omiksi luokikseen pseudovektorikentät ja pseudoskalaarikentät, jotka ovat muutoin vektori- ja skalaarikenttien kaltaisia paitsi että ne vaihtavat etumerkkiään kuvauksessa, joka muuttaa orientaation, esimerkiksi peilikuvasa. Esimerkiksi vektorikentän roottori on pseudovektorikenttä, ja jos vektorikenttä peilataan tason suhteen, roottori osoittaa päinvastaiseen suuntaan. Tätä eroa selventää ja täsmentää geometrinen algebra jäljempänä selitetyllä tavalla.

Vektorien laskutoimitukset

Algebralliset laskutoimitukset

Vektorien ei-differentiaalisia algebrallisia peruslaskutoimituksia, joita tarvitaan myös vektorianalyysissä, nimitetään vektorialgebraksi. Ne on määritelty jokaisessa vektoriavaruudessa, ja niitä voidaan soveltaa myös jokaiseen vektorikenttään. Niitä ovat seuraavat:

• skalaarilla kertominen: skalaarikentän ja vektorikentän kertolasku, jonka tuloksena on vektorikenttä: $a\mathbf {v}$
• vektorien yhteenlasku: kahden vektorikentän yhteenlasku, jonka tuloksena on vektorikenttä: $\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$
• pistetulo: kahden vektorikentän kertolasku, jonka tuloksena on skalaarikenttä: $\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$
• ristitulo: kahden vektorikentän kertolasku, jonka tuloksena on vektorikenttä: $\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$.

Näistä yhdistämällä voidaan muodostaa myös kaksi kolmituloa:

• skalaarikolmitulo, pistetulo, jonka tekijöinä ovat vektorikenttä ja kahden muun vektorikentän ristitulo: $\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$;
• vektorikolmitulo, ristitulo, jonka tekijöinä ovat vektorikenttä ja kahden muun vektorikentän ristitulo: $\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$ tai $\left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}$.

Näitä kuitenkin käytetään harvemmin kuin peruslaskutoimituksia.

Joskus määritellään laskutoimituksena lisäksi kohtisuora pistetulo (engl. perp dot product joka itse asiassa on kahden vektorin pistetulo, kun toista niitä on kierretty 90 astetta vastapäivään. Samalla se on näiden vektorien ristitulon itseisarvo:

$\mathbf {v} _{1}\bot \cdot \mathbf {v} _{2}=\left|\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}\right|=\left|\mathbf {v} _{1}\right|\left|\mathbf {v} _{2}\right|\sin \theta$,

missä θ on vektorien v₁ ja v₂ välinen kulma. Sitä kuitenkin harvemmin käytetään, koska se voidaan esittää myös piste- tai ristitulon avulla.

Differentiaalioperaattorit

Vektorianalyysi tutkii erilaisia skalaari- ja vektorikentille määriteltyjä differentiaali­operaattoreita, joista monet voidaan esittää nabla- eli del -operaattorin avulla ($\nabla$. Vektori­analyysin viisi tärkeintä differentiaali­operaattoria ovat:

Operaattori	Merkintä	Kuvaus	Määrittelyjoukon tyyppi	Arvojoukon tyyppi
Gradientti	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Skalaarikentän paikallinen muutosnopeus siinä suunnassa, jossa se on suurin	Skalaarikenttä	Vektorikenttä
Roottori (curl)	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Mittaa vektorikentän pyörteisyyttä kunkin pisteen ympärillä	Vektorikenttä	(Pseudo)vektorikenttä.
Divergenssi	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Mittaa sitä, missä määrin vektorikentän kenttäviivoja alkaa tai päättyy kunkin pisteen ympärillä.	Vektorikenttä	Skalaarikenttä
Laplacen operaattori vektorikentille	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Mittaa vektorikentän tietyssä pisteessä saaman arvon ja sen tätä pistettä ympäröivässä infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.	Vektorikenttä	Vektorikenttä
Laplacen operaattori	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Mittaa skalaarikentän tietyssä pisteessä saaman arvon ja sen tätä pistettä ympäröivässä infinitesimaalisessa kuulassa saamien arvojen keskiarvon erotusta.	Skalaarikenttä	Skalaarikenttä

Nämä kaikki voidaan muodollisesti esittää käsittelemällä nabla-operaattorin komponentteja lukujen tavoin ja itse operaattoria vektorin tavoin. Esimerkiksi roottori käsitetään nablan ja vektorikentän ristituloksi, divergenssi taas nablan ja vektorikentän pistetuloksi. Käsiteltäessä funktioita, joiden sekä määrittely- että arvojoukko koostuvat useiden muuttujien yhdistelmistä, käytetään usein apuna Jacobin matriisia ja determinanttia. Tämä tulee kysymykseen esimerkiksi integrointiin liittyvässä muuttujanvaihdossa.

Teoreemoja

Vektorianalyysissä on useita tärkeitä teoreemoja, jotka yleistävät analyysin peruslauseen useampaan ulottuvuuteen:

Teoreeman nimi	Yhtälö	Sanallinen muotoilu
Gradienttilause	$\int _{L[\mathbf {p} \to \mathbf {q} ]\subset \mathbb {R} ^{n}}\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)$	Skalaarikentän gradientin käyräintegraali käyrän yli on yhtä suuri kuin niiden arvojen erotus, jotka skalaarikenttä saa käyrän päätepisteissä.
Greenin lause	$\int \!\!\!\!\int _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,d\mathbf {A} =\oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Vektorikentän skalaarisen roottorin integraali tasoalueen yli on yhtä suuri kuin vektorikentän käyräintegraali pintaa rajoittavan käyrän yli, kun se kierretään tasoalueen ympäri vastapäivään.
Stokesin lause	$\int \!\!\!\!\int _{\Sigma \,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Vektorikentän roottorin pintaintegraali $\mathbb {R} ^{3}$:ssa olevan pinnan yli on yhtä suuri kuin vektorikentän käyräintegraali pintaa rajoittavan käyrän yli.
Divergenssilause	$\int \!\!\!\!\int \!\!\!\!\int _{V\,\subset \mathbb {R} ^{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)d\mathbf {V} =$ $\scriptstyle \partial V$$\mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S}$	Vektorikentän divergenssin avaruusintegraali jonkin kappaleen yli on yhtä suuri kuin kentän vuon integraali kappaleen rajapinnan yli.

Sovelluksia

Lineaarinen approksimointi

Lineaarisia approksimaatioita käytetään korvaamaan monimutkaisia funktioita lineaarisilla funktioilla, jotka saavat kaikkialla lähes samat arvot. Mitä tahansa differentioituvaa reaaliarvoista funktiota $f(x,y)$ voidaan alueella, joka on lähellä pistettä $(x,y)$, approksimoida kaavan

$f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right)$

avulla.

Yhtälön oikealla puolella oleva lauseke on funktion $z=f(x,y)$ at $(a,b)$ kuvaajana olevan pinnan tangenttitason yhtälö.

Optimointi

Jatkuvasti differentioituvan useamman muuttujan reaalifunktion kannalta piste P (toisin sanoen joukko arvoja kullekin muuttujalle, joka käsitetään pisteeksi avaruudessa $\mathbb {R}$) on kriittinen, jos funktion kaikki osittais­derivaatat pisteessä P ovat nollia, mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että sen gradientti tässä pisteessä on nolla. Funktion kriittisiksi arvoiksi sanotaan sen arvoja kriittisissä pisteissä.

Jos funktio on sileä tai vähintään kaksi kertaa jatkuvasti differentioituva, kriittinen piste voi olla joko funktion paikallinen maksimikohta, paikallinen minimikohta tai satulapiste. Nämä eri tapaukset voidaan erottaa toisistaan tarkastelemalla sen toisten derivaattojen Hessin matriisin ominaisarvoja.

Fermat'n lauseen mukaan kaikki differentioituvan funktion paikalliset maksimi- ja minimikohdat ovat kriittisiä pisteitä. Niinpä maksimi- ja minimikohtien löytämiseksi riittää teoreettisesti määrittää gradientin nollakohdat ja Hessin matriisin ominaisarvot näissä nollakohdissa.

Fysiikka ja teknologia

Fysiikassa ja teknologiassa vektorianalyysiä käytetään varsinkin seuraavissa yhteyksissä:

• systeemin massakeskipisteen määrittäminen
• kenttäteoria
• kinematiikka.

Yleistyksiä

Erilaiset 3-monistot

Vektorianalyysi määriteltiin alun perin kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa$\mathbb {R} ^{3},$, joka ei ole ainoastaan kolmiulotteinen vektori­avaruus vaan samalla myös normiavaruus. normi merkitsee geometrisesti janan pituutta, ja se määritellään sisätulon, tarkemmin sanottuna pistetulon avulla, joka samalla määrittelee myös kulman. Lisäksi siinä on määritelty orientaation käsite, jolla oikea- ja vasen­kätisyys erotetaan toisistaan. Näiden struktuurien avulla voidaan johtaa tilavuusmuoto ja samalla määritellä vektorien ristitulo, jota vektori­analyysissä runsaasti käytetään.

Gradientin ja divergenssin määrittelyyn riittää sisätulo, kun taas roottori ja ristitulo edellyttävät, että koordinaatiston kätisyys on otettava huomioon.

Vektorianalyysi voidaan määritellä muillekin kolmiulotteisille reaalisille vektori­avaruuksille, jos niissä on sisätulo, tai yleisemmin symmetrinen ei-degeneroitunut muoto ja orientaatio. Tällainen avaruus ei välttämättä ole isomorfinen euklidisen avaruuden kanssa, sillä siinä ei tarvitse olla koordinaatistoa mikä toisaalta osoittaa, että vektori­analyysi on invariantti avaruuden rotaatioissa, jotka muodostavat erityisen ortogonaalisen ryhmän SO(3).

Yleisemmin vektorianalyysi voidaan määritellä missä tahansa kolmiulotteisessa orientoituvassa Riemannin monistossa sekä myös pseudo-Riemannin monistoissa. Tämä rakenne merkitsee yksinkertaisesti, että sen jokaista pistettä vastaavassa tangenttiavaruudessa on määritelty sisätulo (tai ainakin symmetrinen ei-degeneroitunut muoto) ja orientaatio, tai globaalimmin, että siinä on symmetrinen ei-degeneroitunut metrinen tensori ja orientaatio. Tällöin vektorianalyysi toimii, koska se on määritelty avaruuden kuhunkin pisteeseen liittyvien tangenttivektorien avulla.

Muut ulottuvuudet

Useimmat analyyttiset tulokset on yleisemmässä muodossa helppo ymmärtää käyttämällä differentiaaligeometrian menetelmiä, joista vektorianalyysi muodostaa osajoukon. Gradientin ja divergenssin määritelmät voidaan sellaisenaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa, samoin Laplacen operaattori, joka johtaa harmoniseen analyysiin. Myös gradienttilause ja divergenssilause pätevät ulottuvuuksien lukumäärästä riippumatta. Sen sijaan roottori ja ristitulo eivät yleisty yhtä suoraviivaisesti.

Yleisemmältä kannalta erilaiset kentät kolmiulotteisessa vektori­analyysissä voidaan kaikki käsittää k-vektorikentiksi: skalaarikentät ovat 0-vektorikenttiä, vektorikentät 1-vektorikenttiä, pseudovektori­kentät 2-vektorikenttiä ja pseudoskalaarikentät 3-vektorikenttiä. Useampi­ulotteisessa avaruudessa kenttä­tyyppejäkin on enemmän.

Missä tahansa useampi­ulotteisessa avaruudessa, jossa on ei-degeneroitu muoto, skalaarifunktionn gradientti on vektorikenttä ja vektorikentän divergenssi skalaarifunktio, mutta vain 3 ja 7 ulottuvuudessa (sekä triviaalisti 0 ulottuvuudessa) vektorikentän roottori on vektorikenttä, ja vain kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa voidaan vektorien ristitulo määritellä. Muissa tapauksissa tarvitaan joko $n-1$ vektoria, jotta saadaan tulokseksi yksi vektori, tai kyseessä ovat vaihto­ehtoiset Lien algebrat, jotka ovat yleisempiä antisymmetrisiä bilineaarisia tuloja. Yleisesti roottori on bivektorikenttä, joka voidaan tulkita infinitesimaalisten rotaatioiden erityiseksi ortogonaaliseksi Lien algebraksi. Sitä ei kuitenkaan voida samastaa vektorikentän kanssa, koska sillä on eri määrä ulottuvuuksia: kolmiulotteisen avaruuden rotaatioavaruuskin on kolmiulotteinen, mutta esimerkiksi neliulotteisen avaruuden rotaatio­avaruus on kuusiulotteinen (ja yleisesti n-ulotteisen avaruuden rotaatioavaruus on $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$-ulotteinen).

Vektorianalyysille on kaksi merkittävää vaihto­ehtoista yleistystä. Ensimmäinen, geometrinen algebra, käyttää k-vektorikenttiä vektori­kenttien sijasta (enintään kolmiulotteisessa avaruudessa jokainen k-vektorikenttä voidaan samastaa skalaari- tai vektori­kentän kanssa, mutta useammassa ulottuvuudessa tämä ei käy päinsä.) Tämä korvaa vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa käyvän ristitulon ulkoisella tulolla, joka on määritelty kaikissa ulottuvuuksissa. Kahden vektorikentän ulkoinen tulo on tällöin bivektorikenttä eli 2-vektorikenttä. Algebralliselta struktuuriltaan vektoriavaruudet ovat tällöin Cliffordin algebroja, joissa on myös orientaatio ja ei-degeneroitunut muoto. Geometrista algebraa käytetään enimmäkseen fysiikan ja muiden sovellettujen kenttien yleistyksiin korkeammissa ulottuvuuksissa.

Toinen yleistys käyttää differentiaalimuotoja (k-kovektorikenttiä) vektorikenttien tai k-vektorikenttien sijasta, ja sitä käytetään laajalti matematiikassa, varsinkin differentiaaligeometriassa, geometrisessa topologiassa ja harmonisessa analyysissa. Se johtaa erityisesti Hodgen teoriaan, joka käsittelee orientoituvia pseudo-Riemannin monistoja. Tältä kannalta gradientti, roottori ja divergenssi vastaavat 0-muotojen, 1-muotojen ja 2-muotojen ulkoisia derivaattoja, ja vektorianalyysin peruslauseet ovat kaikki erikois­tapauksia Stokesin lauseen yleisimmästä muodosta.

Molempien yleistysten kannalta tavanomainen vektori­analyysi samastaa implisiittisesti käsitteitä, jotka näissä yleistyksissä on toisistaan selvästi erotettava. Tämä tekeekin sen muodollisesti yksin­kertaisemmaksi mutta sen perustana olevan matemaattisen struktuurin ja yleistykset vähemmän selviksi. Geometrisen algebran kannalta vektori­analyysi samastaa k-vektorikentät vektorikenttien tai skalaarifunktioiden kanssa: 0-vektorit ja 3-vektorit skalaarien, 1-vektorit ja 2-vektorit vektorien kanssa. Differentiaali­muotojen kannalta vektori­analyysi taas samastaa k-muodot skalaari- tai vektori­kenttien kanssa: 0-muodot ja 3-muodot skalaari­kenttien, 1- ja 2-muodot taas vektori­kenttien kanssa. Niinpä esimerkiksi roottorin argumenttina on luonnollisesti vektori­kenttä, mutta tuloksena 2-vektori­kenttä tai 2-muoto ja näin ollen pseudo­vektori­kenttä, joka sitten tulkitaan vektori­kentäksi sen sijaan että tuloksena saataisiin suoraan vektori­kenttä. Sen sijaan useammassa ulottuvuudessa vektori­kentän roottoria ei voida tulkita vektorikentäksi.

Katso myös

• Konservatiivinen kenttä
• Harmoninen funktio
• Tensori

Lähteet

• Sandro Caparrini: The discovery of the vector representation of moments and angular velocity. Archive for History of Exact Sciences, 2002, nro 56, s. 151–181.
• Michael J. Crowe: A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition, 1967.
• J.E. Marsden: Vector Calculus. W. H. Freeman & Company, 1976. ISBN 0-7167-0462-5
• H. M. Schey: Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company, 2005. 0-393-92516-1
• Barry Spain: Vector Analysis, 2. painos. D.Van Nostrand Company Ltd, 1965. Teoksen verkkoversio.
• Chen-To Tai: A historical study of vector analysis, Technical Report RL 915. Radiation Laboratory, University of Michigan, 1995. Teoksen verkkoversio.
• Michie Hazewinkel: ”Vector analysis”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Teoksen verkkoversio.
• Michie Hazewinkel: ”Vector algebra”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 Teoksen verkkoversio.

Kirjallisuutta

• Edwin Bidwell Wilson, Josiah Willard Gibbs: A Text-book for the Use of Students of Mathematics & Physics: Founded Upon the Lectures of J. W. Gibbs. Scribner, 1901. Teoksen verkkoversio.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 18 (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla

• Vector Calculus Video Lectures University of New South Wales, Academic Earth.
• Vector calculus in an oblique basis mc.maricopa.edu.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis economics.soton.ac.uk.