Hydraulique et hydrologie, 3e édition

chapitre.

Chapitre 1

Équations de conservation de la masse

Objectifs

Connaître les différentes formes, différentielle et intégrale, de l’équation de continuité.

Savoir faire un bilan de masse au niveau d’un volume de contrôle fixe et déformable.

Connaître les formes usuelles de l’équation de continuité pour une ou plusieurs conduites en série.

Savoir formuler l’équation de continuité pour un écoulement à surface libre et dégager les différents cas particuliers.

Appliquer l’équation de continuité aux écoulements souterrains et dériver l’équation de Laplace.

Savoir traiter les différents problèmes relatifs à la vidange et au remplissage des réservoirs.

Introduction

Pour résoudre la plupart des problèmes qui se posent en ingénierie, on utilise un principe universel de conservation. L’équation qui traduit ce principe de conservation peut prendre des formes différentes selon les contextes. La mécanique des fluides, qui constitue la fondation de l’hydraulique, utilise les principes de la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de son moment ainsi que de l’énergie.

Les chapitres 1 et 2 traitent respectivement des principes de conservation de la masse et de l’énergie qui sont les plus utilisés en hydraulique. L’équation de conservation de la quantité de mouvement est introduite, selon le besoin, dans les chapitres subséquents.

1.1 Définitions

La masse m contenue dans un volume S se calcule par la relation

où ρ est la masse volumique qui s’exprime en kg/m³, la masse étant en kg et le volume en m³. Lorsque le corps est homogène, cette relation devient

Le débit volumique qui traverse une section d’écoulement A se calcule par la relation (figure 1.1)

v est la vitesse d’écoulement qui varie selon la position ; elle est nulle au point qui est en contact avec une paroi fixe, et maximale au point le plus éloigné des parois,

V est la vitesse moyenne d’écoulement (m/s),

A est la section d’écoulement (m²), normale au courant.

En système international, le débit doit être exprimé en m³/s, mais pour des raisons pratiques, on peut aussi l’exprimer en litres par seconde (l/s), litres par minute (l/min), etc., selon son ordre de grandeur.

Le débit massique qui traverse une section d’écoulement A, se calcule par la relation

Lorsque le fluide est homogène et incompressible, cette relation devient m˙ = ρQ où Q est le débit volumique. En système international, le débit massique est exprimé en kg/s.

1.2 L’équation de continuité : forme intégrale

1.2.1 Formulation générale

L’équation de continuité traduit le principe selon lequel la matière ne peut ni disparaître ni être créée. Cette équation exprime en termes comptables que dans un temps dt, la quantité de matière qui entre dans un volume de contrôle est égale à celle qui en sort plus celle qui s’y accumule (figure 1.2) :

1.2.2 L’équation de continuité pour un fluide incompressible

En hydraulique, on traite principalement du transport et du stockage de l’eau. Pour l’eau, les variations de pression et de température en jeu ne modifient pratiquement pas la masse volumique qui peut être considérée comme constante (fluide incompressible). Dans ce contexte, compte tenu de (1.4), l’équation (1.5) devient :

où Q E et Q S sont les débits volumiques entrant et sortant.

L’équation de continuité exprime donc que pour un fluide incompressible, le taux de variation du volume est égal à la différence entre les débits volumiques entrant Q E et sortant Q S .

1.2.3 Cas particuliers courants pour les conduites sous pression

1.2.3.1 Conduite pleine avec diamètre constant

Quand la conduite est pleine, le volume d’eau S contenu dans le tronçon de conduite

de diamètre D ne varie pas dans le temps (figure 1.3), si bien que et l’équation (1.6) s’écrit :

En écrivant que Q E = A E V E et Q S = A S V S , compte tenu du fait que A E = A S , l’équation (1.7) devient :

L’équation 1.8 paraît à première vue triviale, mais plusieurs situations qui peuvent se présenter pourront prêter à confusion. Considérons par exemple le cas où une pompe puise l’eau d’un lac pour la refouler dans une conduite qui passe par-dessus une colline (figure 1.4). La vitesse au point 2 situé à la sortie, est-elle différente de la vitesse au point 1 au sommet de la colline (on suppose que la conduite est pleine) ?

1.2.3.2 Conduites pleines avec changement de diamètre

Quand il y a un changement de section entre deux conduites pleines, comme illustré à la figure 1.5, le volume d’eau S ne varie pas dans le temps, ∂S / ∂t = 0, si bien que l’équation 1.6 s’écrit encore :

Mais cette fois-ci A E diffère de A S . Pour les conduites circulaires qui sont les plus courantes, l’équation 1.9 prend la forme utile suivante :

1.2.3.3 Application de l’équation de continuité aux réservoirs

La figure 1.7 présente le schéma d’un réservoir dont la section A peut être constante ou variable avec la hauteur h.

Le débit d’entrée Q E (t) peut provenir aussi bien d’une station de pompage que d’une source surélevée par rapport au niveau d’eau dans le réservoir. Dans les deux cas, le débit d’entrée Q E (t) varie quand la profondeur h (t) varie. On peut éliminer cette variation en arrangeant une arrivée au réservoir par surverse, tel que montré à la figure 1.7. Le débit de sortie Q S (t) varie en fonction de la profondeur h (t). Le volume stocké dans le réservoir S(t) dépend lui aussi directement de la hauteur h (t).

Comme dS = A(h) dh, l’équation de continuité s’écrit :

Cette équation peut être intégrée pour résoudre tout problème relié à une des variables qui y apparaît.

1.3 Autres formes courantes de l’équation de continuité

L’équation de continuité peut prendre des formes différentes selon le type de situation d’écoulement auquel elle est appliquée. Avant d’examiner ces formes, il est utile de définir certains concepts.

1.3.1 Définitions

Écoulements permanent et non permanent

Un écoulement est dit permanent si aucune variable pertinente de l’écoulement, et en particulier le débit, ne dépend du temps. Autrement, il est non permanent.

Dimensionnalité de l’écoulement

La dimensionnalité d’un écoulement est le nombre de coordonnées spatiales indépendantes nécessaires pour décrire les variables de l’écoulement. Ainsi, l’écoulement peut être unidimensionnel, bidimensionnel ou tridimensionnel selon que la vitesse dépend de (x), de (x et y) ou de (x, y et z).

Directionnalité de l’écoulement

La directionnalité est le nombre de composantes requises pour exprimer le vecteur vitesse dans le système d’axes choisi.

Ainsi, l’écoulement peut être unidirectionnel, bidirectionnel ou tridirectionnel selon que le vecteur vitesse possède une seule composante (vx), deux composantes (vx et vy) ou trois composantes (vx, vy et vz).

1.3.2 Volume de contrôle infinitésimal fixe

Considérons un volume de contrôle dS = dx × ∆y × ∆z et un écoulement unidirectionnel en →x, tel que montré sur la figure 1.10.

L’équation de continuité (1.5) s’écrit :

avec

Comme il y a une seule composante de la vitesse Vx, le débit massique dans la section d’entrée est :

Le débit massique dans la section de sortie, située à une distance dx par rapport à l’entrée, s’écrit :

En utilisant (1.12), (1.13) et (1.14) dans (1.11) on obtient :

Cette équation représente la forme différentielle de l’équation de continuité pour un écoulement unidirectionnel.

Pour un écoulement unidirectionnel incompressible, la relation (1.15) devient :

Cette relation est similaire à celle obtenue pour un volume de contrôle macroscopique traité au paragraphe 1.2.3.1.

On peut généraliser facilement l’équation (1.15), par un procédé similaire, pour un écoulement tridirectionnel sous la forme (Sabersky, 1999) :

où Vx, Vy et Vz sont respectivement les composantes de la vitesse dans les directions x, y et z.

Quand l’écoulement est incompressible, la masse volumique ρ est constante, si bien que l’équation (1.16) devient :

Si, de plus, le fluide est homogène, l’équation (1.17) devient :

Cette forme de l’équation de continuité est fréquemment utilisée en hydraulique d’une manière générale et en hydraulique souterraine en particulier (Smith et Wheatcraft, 1993).

1.3.3 Application aux écoulements souterrains

L’équation (1.18) ne peut pas, à elle seule, définir le champ d’écoulement Vx (x, y, z, t), Vy (x, y, z, t), Vz (x, y, z, t). Il existe cependant une catégorie d’écoulements où cette équation conduit à la détermination complète du champ d’écoulement. C’est le cas des écoulements pour lesquels on peut admettre que le vecteur vitesse dérive d’une fonction potentielle ϕ (x, y, z, t). L’exemple typique est celui d’un écoulement souterrain dans un milieu isotrope où la loi de Darcy peut s’écrire à un point :

avec ϕ = −K h + C

Le milieu est dit isotrope quand la conductivité hydraulique K est identique dans toutes les directions d’écoulement. Autrement, le milieu est dit anisotrope, auquel cas, la conductivité hydraulique K varie avec la direction, ayant trois valeurs principales (K1, K2 et K3) qui, généralement, sont différentes des valeurs le long des coordonnées géométriques (Kx, Ky et Kz).

En remplaçant Vx, Vy et Vz dans (1.18), on obtient l’équation de Laplace :

Cette équation peut être résolue graphiquement ou par une méthode de différences finies (Fetter, 2001).

1.3.4 Application aux écoulements à surface libre

Considérons l’exemple d’une rivière en période de crue. À la suite de précipitations, le débit, la profondeur et la vitesse d’écoulement augmentent dans le temps (figure 1.11).

Comme l’écoulement est incompressible, l’équation (1.6) s’écrit :

Si l’écoulement peut être considéré comme unidirectionnel et unidimensionnel en x, on peut poser :

Dans ces conditions, le débit de sortie Q S dans une section transversale située à une distance dx par rapport à la section d’entrée, se calcule par :

En remplaçant (1.22), (1.23) et (1.24) dans (1.21) on obtient :

Cette forme d’équation de continuité est utilisée en combinaison avec l’équation de la quantité de mouvement pour calculer les débits, les vitesses et les niveaux dans un écoulement à surface libre. Le système formé est appelé « équations de Barré de Saint-Venant ». Ce système doit être résolu par une méthode numérique de différences finies (Huber, 1998 ; Chow, 1988).

1.3.4.1 Écoulement à surface libre permanent

Quand l’écoulement est permanent, ∂A/∂t = 0 et l’équation de continuité (1.25) s’écrit :

En se référant à la figure 1.13, l’équation (1.26) s’écrit :

1.3.4.2 Écoulement uniforme

Dans ce cas, A1 = A2, si bien que l’équation (1.28) devient : V1 = V2.

RÉSUMÉ

Le débit d’écoulement se calcule par la relation Q = AV

L’équation de continuité prend la forme générale suivante pour un fluide incompressible tel que l’eau :

Dans une conduite de diamètre constant D, l’équation de continuité devient : V = constante dans toute la conduite.

Lorsque le diamètre change dans la direction de l’écoulement pour passer de D1 à D2, la vitesse change selon le rapport :

Pour un écoulement souterrain dans un milieu isotrope, l’équation de continuité prend la forme de l’équation de Laplace :

Pour un écoulement à surface libre, l’équation de continuité prend la forme générale suivante :

Quand l’écoulement à surface libre est permanent, l’équation de continuité prend la forme :

Si l’écoulement à surface libre est uniforme, l’équation de continuité prend la forme :

EXERCICES

Exercice 1.1

On considère l’écoulement sous pression dans une conduite de section circulaire variable schématisée par la figure 1.15.

Si la vitesse d’écoulement dans le tronçon de diamètre D2 = 60 cm est 1,0 m/s, quelles sont les vitesses dans les tronçons de diamètre D1 = 20 cm et D3 = 40 cm ?

Exercice 1.2

Exercice 1.3

La figure 1.17 ci-jointe montre deux réservoirs R1 et R2 , chacun ayant un orifice circulaire de diamètres respectifs D1 et D2.

Le réservoir R2 est alimenté par la sortie du réservoir R1.

L’eau sort du réservoir R2 par l’orifice de sortie ainsi que sous forme de trop-plein.

Exercice 1.4

Un réservoir alimenté par une rivière possède les caractéristiques suivantes :

parois latérales verticales

niveau maximum d’exploitation = 205 m

niveau minimal d’exploitation = 160 m

superficie = 50 km²

débit d’entrée (débit de la rivière) = 1000 m³/s

débits de sortie :

débit turbiné (production hydroélectrique) = 543 m³/s,

débit utilisé pour le flottage de bois = 20 m³/s,

débit de consommation = 1,0 m³/s,

débit d’irrigation = 2,0 m³/s.

Il faut déterminer la variation journalière du niveau de ce réservoir.

Il faut déterminer le temps nécessaire pour le remplissage de ce réservoir, sachant que son niveau initial était le niveau minimal d’exploitation.

Exercice 1.5

Données :

durée entre deux démarrages T = 15 minutes

débit pompé Q P = 1 litre par seconde.

On suppose que le réservoir était initialement (temps t = 0) plein.

Calculer le temps t1 de vidange du réservoir en fonction de S, QP et QA.

Au temps t1, le niveau est minimum et la pompe s’arrête. Il faut maintenant calculer le temps t2 nécessaire pour remplir le volume S et atteindre le niveau maximum.

Calculer la durée totale d’un cycle de démarrage en utilisant les relations obtenues en 1) et 2).

Calculer la fréquence de démarrage directement à partir de 3).

Trouver le débit QA qui correspond à la fréquence maximum. Pour ce faire, on dérive f par rapport à QA et on écrit que cette dérivée est nulle (f maximum), ceci permettant d’obtenir la valeur de QA.

Remplacer la valeur de QA calculée en 5) dans l’expression générale de f obtenue en 4) et calculer la valeur de fréquence maximum.

À partir de la relation obtenue en 6), déterminer le volume S nécessaire en fonction de la fréquence maximum de démarrage.

EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

Exercice 1.6

Un réservoir à parois verticales et à fond rectangulaire mesurant 4,0 m par 5,0 m, contient 120 m³ d’eau. Le fond du réservoir est muni d’un orifice circulaire fermé. Quand l’orifice a été ouvert, les 120 m³ d’eau du réservoir se sont écoulés en 704 secondes.

Quel est le diamètre de l’orifice au fond du réservoir ?

(on néglige les pertes de charge, singulières et par frottement).

Exercice 1.7

La question porte sur le temps requis pour la vidange d’un réservoir par un orifice de fond. La figure 1.19 présente le système et les notations de base.

La section du réservoir A est variable avec la profondeur h et répond à l’équation :

Questions

Écrire l’équation générale de continuité applicable à cette installation en y explicitant le débit Qs en fonction de la hauteur d’eau h. (Orifice bien profilé sans contraction).

Pour le cas particulier où le débit d’entrée Qe est nul, exprimer mathématiquement la relation entre le niveau dans le réservoir et le temps écoulé depuis le début de la vidange.

Calculer le temps requis pour faire baisser le niveau de 1 m à partir d’un niveau initial h0 = 3 m avec les données suivantes :

OUVRAGES DE RÉFÉRENCE DU CHAPITRE 1

Chow, V.T. (1988), Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, New York.

Fetter, C. W. (2001), Applied Hydrology, Prentice Hall, Upper Saddle River.

Huber, W. C. et Dickinson, R.E. (1988), Storm Water Management Model Users’ Manual, U. S. Environmental Protection Agency, Athens.

Sabersky, R. H., Acosta, A. J., Hauptmann, E.G. et Gates, E.M. (1999), Fluid Flow, 4e éd., Prentice-Hall, Upper Saddle River

Smith, L. et Wheatcraft, S. W. (1993), Groundwater Flow, dans D.R. Maidment (dir.), Handbook of Hydrology, McGraw-Hill inc., New York.

SYMBOLES