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      Université Abdelmalek Esaâdi Faculté polydiciplinaire Tetouan             Professeur Dr. Hossain Yakhlef   1 
                               1. Espaces vectoriels et systèmes linéaires :   a. Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels .  b. Independence linéaire. Base et dimension, Combinaison linéaire,  Somme directe.  Coordonnés.  c. Résolution des systèmes linéaires.      2. Application linéaire :   a. Type de matrice important. Rang, déterminant, matrice inverse.  b. Application linéaire. Application linéaire et indépendance linéaire.  c. Isomorphismes et coordonnés. Représentation matricielle d’une application linéaire,  changement de base.      3. Espace muni d’un produit scalaire   a. Produit scalaire, Norme, Orthogonalité.  b. Projection orthogonal.   c. Base orthonormale, Méthode de Gram Schmidt changement de base orthonormales.   d. Diagonalisation orthogonal. Matrice symétrique.    2 
  Chapitre 1 :                    Espace vectoriels et systèmes linéaires.    I ­  Espaces vectoriels.  Sous espaces vectoriels   A) Espace vectoriel    1 –Définition   Soit V un ensemble muni de deux lois : +, .   1) Loi interne + :  ∀v, w ∈ V , on a  v + w ∈ V ,    2) Loi externe. :    ∀v ∈ V , ∀k ∈ ℜ, on a  k .v ∈ V ,   Exemple   V = ℜ 2 ;     ℜ ² = ℜ × ℜ = {( x, y ) : x, y ∈ ℜ }  V  est un espace vectoriel muni des lois + , .  + :   ( x, y ) + ( z , w ) = ( x + z , y + w )   .  :       k . ( x , y ) = (k . x , k . y )   De plus, l’espace vectoriel vérifie une série de propriétés.  3) u + v = v + u     ∀ u , v ∈ V   4) ∃ 0 ∈ V ;      0 + u = u + 0 = u              ∀u ∈ V .  5) ∀u ∈ V ,   ∃w ∈ V (on la note aussi − u ),      tel que  u + w = 0   6) (u + v ) + w = u + (v + w );                       ∀u , v, w ∈ V   7) (a ∗ b ).v = a .(b .v )                                  ∀ a , b ∈ ℜ ; v ∈ V   8) a.(u + v ) = a.u + a.v                                 ∀a ∈ ℜ  ,  u , v ∈ V   9) ( a + b ).u = a.u + b.u                              ∀a; b ∈ ℜ,   u ∈ V   10) 1.u = u                                          ∀u ∈ V     3 
  Exemple :  I. ( )    ℜ , + ′ ,.  munis des lois interne et externe définis a continuation, est‐il un  2 espace vectoriel ?   + ′ :    (x , y ) + ′ (z , w ) = (x − z , y + w )   .  :       a .( x , y ) = (ax , ay )   ‐ Vérifiez les autres propriétés.     II. On définit l’ensemble   ⎧⎛ a b⎞ M 2 = ⎨⎜ ⎜ ⎟ : a, b, c, d ∈ ℜ } .  ⎩⎝ c d⎟ ⎠ On vérifie que   (M 2 , + ,. )  est un espace vectoriel.  ⎛a b⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ a + e b+ f ⎞ + :⎜ ⎜ c d ⎟ + ⎜ g h ⎟ = ⎜c + g ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  d + h⎟ 1) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ k .a k .b ⎞ 2) .   : k⎜⎜ c d ⎟ = ⎜ k .c k .d ⎟   ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ‐ Vérifions les autres propriétés :  3) u + v = v + u?  ⎛a b ⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ a + e b + f ⎞ ⎜c d ⎟ + ⎜ g h ⎟ = ⎜c + g d + h⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ e + a f + b⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛a b ⎞   =⎜⎜g + c h + d ⎟ = ⎜g h ⎟ + ⎜c d ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4) Existe t – il l’élément neutre ( ∃ ? 0 ) tel que    0 + u = u + 0   ⎛0 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛0 0⎞ ⎜0 0⎟ + ⎜ c ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ d ⎟ ⎜c ⎟+⎜ ⎟  d ⎟ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   5) u + ( −u ) = 0     4 
⎛a b ⎞ ⎛− a − b ⎞ ⎛0 0⎞ ⎜ ⎜c ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝ d⎟ ⎜−c ⎠ ⎝ − d ⎟ ⎜0 0⎟ ⎠ ⎝ ⎠   6) (u + v ) + w = u + ( v + w )   ⎛ a + e b + f ⎞ ⎛ i j⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ e + i b + j⎞ ⎜c + g d + h ⎟ + ⎜ j l ⎟ = ⎜ c d ⎟ + ⎜ g + k h + l ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ a +e+i b+ f + j⎞   =⎜⎜c + g + k d + h + l ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 7) ( a × b ). v = a .( b . v )   ⎛a b1 ⎞ ⎛ ( a × b ).a1 ( a × b ).b1 ⎞ ⎛ a.( b.a1 ) a.( b.b1 ) ⎞ a × b⎜ 1 ⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ c1 d1 ⎟ ⎜ ( a × b ).c1 ⎠ ⎝ ( a × b ).d1 ⎟ ⎜ a.( b.c1 ) ⎠ ⎝ a.(b.d1 ) ⎟   ⎠ ⎛ b .a 1 b .b 1 ⎞ = a .⎜ ⎜ b .c ⎟                                      ⎝ 1 b .d 1 ⎟   ⎠   ⎡⎛ a b⎞ ⎛e f ⎞⎤ ⎛a b⎞ ⎛e f⎞ a.⎢⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎥ = a.⎜ ⎟ + a.⎜ ⎟ 8) ⎣⎝ c ⎟ d⎠ ⎜g ⎝ ⎟ h ⎠⎦ ⎜c ⎝ d⎟ ⎠ ⎜g ⎝ h ⎟  ⎠   ⎛ a1 b1 ⎞ ⎛a b1 ⎞ ⎛a b1 ⎞ 9) (a + b ).⎜ ⎜ ⎟ = a.⎜ 1 ⎟ + b.⎜ 1 ⎟ ⎝ c1 d1 ⎟ ⎠ ⎜c ⎝ 1 d1 ⎟ ⎠ ⎜c ⎝ 1 d1 ⎟   ⎠   ⎛a b ⎞ ⎛a b⎞ 1.⎜ 10)      ⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝c d ⎟ ⎜c ⎠ ⎝ d⎟ ⎠ Exercice :   ′ ⎧⎛ 1 b ⎞ On considère l’ensemble  ⎜ c d ⎟ : b, c, d ∈ ℜ } et on définit la loi interne  M 2 = ⎨⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎛1 b⎞ ⎛1 f⎞ ⎛ 2 bf ⎞ + :⎜ par   ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝c d⎟ ⎜g ⎠ ⎝ h ⎟ ⎜ cg ⎠ ⎝ hd ⎟ ⎠   5 
⎛ ′ Vérifiez que  ⎜ M , + ,. ⎞  est un espace vectoriel  ⎟ ⎝ 2 ⎠ B) Sous espaces vectoriels     Définition   Soit V un espace vectoriel.   W Un ensemble inclus dans E ( W ⊂ V ).  W est un sous espace vectoriel  de V  si seulement si :   ∀u, v ∈ W , u + v ∈W   ∀a ∈ ℜ, v ∈ W , a .v ∈ W Remarque   Les propriétés  3‐10 sont satisfaites du fait que  W ⊆ V   Exemple :   u + v = v + u  car  u , v ∈ W ⊂ V .   Exemple   1) V = ℜ ,   W = {x;1}: x ∈ ℜ ).   2 W est un sous espace vectoriel.     2) V = ℜ ,     W = {( x,1) : x ∈ ℜ}   2 (x,1) + ( y ,1) = (x + y ,2 ) ∉ W   W n’est pas un sous espace vectoriel.     ⎧⎛ a 0⎞ M = ⎨⎜ ⎜ ⎟ : a , b, c ∈ ℜ}    3) ⎩⎝ b c⎟ ⎠ Vérifiez que  (M ,+ ,.)  est un sous espace vectoriel     ⎛a 0⎞ ⎛ e 0⎞ ⎛ a + e 0 ⎞ + :⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝b c⎟ ⎝ f ⎠ ⎜ g ⎟ ⎜b + f ⎠ ⎝ c + g⎟ ⎠ ⎛a 0⎞ ⎛a2 0 ⎞ .     : a ⎜ ⎜b ⎟=⎜ ⎟  ⎝ c ⎟ ⎜ ab ⎠ ⎝ ac ⎟ ⎠   6 
II ­  Independence linéaire. Base et dimension     A) Combinaison linéaire   Définition   Soient     u1 , u 2 ,......, u n ∈ V      et      a1 , a 2 ,......, a n ∈ ℜ .  On appelle  v = a1u1 , a2u 2 ,......, an u n  combinaison linéaire de u1 , u 2 ,......, u n .    Exemple 1 :     Le vecteur  (1,2,4 ) Est‐il une combinaison linéaire de  (1,1,1)  et  (0,1,3)  ?  On doit trouver   a1 , a 2 ∈ ℜ tel que :   (1,2,4 ) = a1 (1,1,1) + a2 (0,1,3) .  C.‐à‐d. :     (a1 , a1 , a1 ) + (0, a 2 ,3a 2 ) = (1,2,4 )   ⎧ a1 = 1  ⇒ ⎨   ⎩a1 + a 2 = 2 ⇒ a2 = 1   Exemple 2 :  Le vecteur  (1,2,4 ) Est‐il une combinaison linéaire de  (0,1,1) et  (0,1,3)  ?  Non,  En effet supposons le contraire, c.à.d. que  (1,2,4 ) = a1 (0,1,1) + a 2 (0,1,3)  et par  suite on a  1 = a 1 . 0 + a 2 . 0 = 0  (absurde).  B) Independence linéaire   Définition   o Les vecteurs   u1 , u 2 ,......, u n ∈ V sont linéairement indépendants si  seulement si :   [a1u1 + a 2u 2 + ........ + a n u n = 0 ⇒ a1 = a 2 = .......... = a n = 0]    7 
o Les vecteurs  u1 , u 2 ,......, u n ∈ V  sont linéairement dépendants s’ils existent   a1 , a 2 ,......, a n ∈ ℜ non tous nul (au moins un scalaire différent de zéro),  tel que :  a1u1 , a 2 u 2 ,......, a n u n = 0     Exemple :   1) (1,1)  est  (1,0 )  sont‐ils linéairement indépendant. ?  ⎧a + a 2 = 0 a1 (1,1) + a 2 (1,0 ) = (0,0 ) ⇒ ⎨ 1 ⇒ a2 = 0   ⎩ a1 = 0 Et par suite (a1 , a 2 ) = (0,0 ) .    2) a1 (4,0 ) + a 2 (0,1) + a3 (2,3) = 0 ⇒ (4 a1 + 2 a3 , a 2 + 3a3 ) = 0   ⎧4 a1 + 2 a3 = 0 ⎧ 2 1 ⎪a1 = − a3 = − a3 ⇒⎨ ⇒⎨ 4 2 ⎩ a 2 + 3a 3 = 0 ⎪ a 2 = − 3a 3            ⎩                      a3 = 2 a1 = −1   a 2 = −3   Ainsi, on a trouvé  (a1 , a 2 , a3 ) = (− 1,−3,2 ) tel que   a1 (4,0 ) + a 2 (0,1) + a3 (2,3) = 0   Donc   (4 , 0 ), (0 ,1 ), (2 , 3 )  sont linéairement dépendant.  C) Système générateur.  Définition   On dit que   {u1 , u 2 ,...., u n } est un système générateur de    V , si pour tout  élément   v∈ V on a   v = α1u1 + α 2u2 + ... + α nun ,  avec α 1 , α 2 ,......α n ∈ ℜ .    8 
Exemple :   1) (x, y ) = x(1,0) + y (0,1)  Donc  {(1 , 0 ); (0 ,1 )} est un système  générateur.    2) {(1,0 ), (0,1), (1,1) } est un système générateur de  ℜ²  car    (x, y ) = x(1,0) + y(0,1) + z (1,1)     3) {(1,0) } n’est pas un système générateur.     D) Base.     Définition :   Une base est un système générateur linéairement indépendant.    Théorème :   Tout espace vectoriel admet une base.    E) Dimension     Définition :  La dimension de l’espace vectoriel V est le nombre de vecteurs que contient  une base.    Exemple :   ⎧⎛ a b⎞ ⎫ On considère l’espace vectoriel M 2 = ⎨⎜ ⎜ ⎟,a , b, c, d ∈ ℜ ⎬ .  ⎩⎝ c d⎟ ⎠ ⎭ ⎛a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ o ⎜⎜ ⎟ = a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟ + c⎜ ⎟ + d⎜ ⎜0 1⎟   ⎝ e d⎟⎠ ⎜0 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎜1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎫ = ⎨⎜ ⎜ 0 0 ⎟, ⎜ 0 0 ⎟, ⎜ 1 0 ⎟, ⎜ 0 1 ⎟ ⎬    est un système générateur de  M 2 .  ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎭     9 
⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎜ x⎜ ⎟ + y⎜ ⎜ 0 0 ⎟ + z⎜ 1 0 ⎟ + t ⎜ 0 1 ⎟ = ⎜ 0 0 ⎟   0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ o ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧x = 0 ⎪y = 0 ⎪ ⇒⎨ ⎪z = 0   ⎪t = 0 ⎩ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ Donc  ⎜ ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 1 0 ⎟; ⎜ 0 1 ⎟ sont linéairement indépendants.  ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎫ ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 1 0 ⎟; ⎜ 0 1 ⎟ ⎬  alors  est une base de M 2 ,  et on  Finalement,  ⎨⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎭ a dim( M 2 )=4.  Définition   Soit  B = {u1 , u 2 ,....u 3 }   une base de V. donc  ∀v ∈ V tel on a  v = x1u1 + x2 u 2 + ..... + xn u n .  x1 , x2 ,.... xn  s’appellent les coordonnés du vecteur  v  dans la base B.  Exemple :   On considère le système  {(1,1), (1,−1)}. On a  ( x, y ) = a (1,1) + b (1,−1) , et par suite   ⎧ ⎧ ⎧ x+ y ⎪a + b = x ⎪2 a = x + y ⎪ a= ⎪ 2 ⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ x− y   ⎪a − b = y ⎪ 2b = x − y ⎪b = ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ 2 x+ y Ainsi,   ( x , y ) = (1,1 ) + x − y (1, − 1 ) .   2 2 Conclusion :   { 1 , 1 ), ( , − ( 1 1 )} est un système générateur.    10 
⎧a + b = 0 On suppose que a (1,1) + b (1, − 1) = (0 ,0 ) ⇒ ⎨ ⇒ a = b = 0 .  ⎩ a−b = 0 Par suite  ( , 1 ), ( , − 1 )  sont linéairement indépendants.  1 1 Finalement,    { 1 , 1 ), ( , − 1 ( 1 )}est une base de ℜ 2 .  Exemple :   ⎧⎛ a b⎞ M 4 = ⎨⎜ ⎜ ⎟ : a , b, c, d ∈ ℜ}  Considérons   ⎩⎝ c d⎟ ⎠ ⎛a b⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎜ ⎜ ⎟ = a⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + b⎜ ⎟ + c⎜ ⎟ + d⎜ ⎜ 0 1 ⎟ .   ⎝c d⎠ ⎝ 0 0⎟ ⎝0 0⎟ ⎜1 0⎟ ⎠ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ a b ⎞ Les coordonnés de  ⎜ ⎜ ⎟ dans la base  ⎟ ⎝ c d ⎠ ⎧ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞⎫ ⎨ ⎜ ⎜ 0 ⎟, ⎟ ⎜ ⎜ ⎟, ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟, ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎬ ⎟   ⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎭ sont    (a , b , c , d ) .  Remarque :  Tout espace vectoriel de dimension n est « équivalent » à ℜ .  n Exemple 1 :  Dim  ℜ = 2.   2 Soit V un espace vectoriel de dimension n, donc il admet une base  B = {u1 , u 2 ,.....u n } . Donc  ∀v ∈ V , v = x1u1 + x 2 u 2 + .... + x n u n .  On considère  ℜ et y un vecteur x ∈ ℜ .  n n x = x1 (1,0,...., 0 ) + x2 (0,1,.... 0 ) + ..... + xn (0,0,.....,1)   = ( x1 , x2 ,....., xn ) .    11 
Donc on peut identifier V  avec ℜ .  n Exemple 2 :  ⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ o V = M 2  ,  ⎜ c d ⎟ = a⎜0 0⎟ + b⎜0 0⎟ + c⎜1 0⎟ + d⎜0 1⎟   v =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o x ∈ ℜ 4     x = (a, b, c, d ) = a(1,0,0,0) + b(0,1,0,0) + c(0,0,1,0) + d (0,0,0,1)            ⎛ 2a 2b ⎞ 2v = ⎜ ⎜ 2c ⎟    ⎝ 2d ⎟ ⎠ ⎛ 2a 2b ⎞ 2 x = 2(a, b, c, d)= (2a, 2b, 2c, 2d)  ⇔ 2v = ⎜ ⎜ 2c ⎟  ⎝ 2d ⎟ ⎠ Définition :  Soient   w1 , w2  deux sous espaces vectoriels de V. la somme directe :  w1 ⊕ w2 = {v ∈ V : v = V1 + V2 / v1 ∈ w1 ; v2 ∈ w2 }  Exemple :   V = ℜ3   { } { } w1 = ( x,0,0 ) ∈ ℜ 3 ;                     w2 = (0,0, z ) ∈ ℜ 3 ;   w ⊕ w2  Plan XZ =  {(x,0, z ) ∈ ℜ ; x, z ∈ ℜ}.  1 3 Remarque :  w1 ⊕ w2 ≠ w1 ∪ w2   Définition :    12 
On considère un ensemble des vecteurs { 1 , u 2 ,.... u u n }⊂ V . On appelle le  rang de  { 1 , u 2 ,.... u n } au nombre maximal de vecteurs indépendants  u dans {u 1 , u 2 ,.... u n }.  Exemple :   {(1, 0 ), (0 ,1), (1,1)} ⊂ V = ℜ2   o (1,0), (0,1) sont deux vecteurs indépendants   o (1,0), (0,1), (1,1) sont dépendants.   Rang {(1, 0 ), (0 ,1 ), (1,1 )} = 2   Exemple :  ⎧ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎫ S = ⎨ ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎬ ⎟   ⎩ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭ On peut vérifier que rang(S)=3.  Remarque :   Rang  {u 1 ,......... u n } ≤ Dim V.  Définition :  Soit A ∈ M n,m . On appelle le rang de A égale au nombre maximal de ligne ou  colonne linéairement indépendant. (Les lignes sont vues comme n‐vecteurs de ℜ )  n et (Les colonnes sont vues comme m‐vecteurs de ℜ m ).  Exemple :   ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 1 ⎟       ⎜ 1 1 ⎟ ⎝ ⎠  3 vecteur de  ℜ  ; 2 vecteur de  ℜ   3 2 Rang  A ≤ min  {n , m } = 2     13 
Rang (A)=2  2‐     ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 0 ⎟               Rang (A)=1.  ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ 3‐  METHODE DE GAUSS :  ⎛ − u1 − ⎞ ⎛ − u1 − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ − u 2 − ⎟ ≈≈ A2 = ⎜ − u 2 + α 2 × u1 − ⎟  ,   ⎜ − − ⎟ ⎜ − + α × u1 − ⎟ ⎝ u n ⎠ ⎝ u n n ⎠ Rg (A 1 ) = Rg (A 2 )     C) Résolution des systèmes linéaires.     Un système de n‐équations et m‐variables inconnues, est un ensemble des équations  de la forme   ⎧ a11 x1 + a12 x2 + .......... + anm xm = b1 ⎪ a x + a x + .......... + a x = b ⎪ 21 1 22 2 nm m 2 ⎨ ⎪ .................................................   ⎪an1 x1 + an 2 x2 + .......... + anm xm = bn ⎩ aij ∈ ℜ sont les coefficients du système  linéaire,   xi sont les inconnues et les  bi sont  les termes indépendants.  Résoudre le système, c’est trouver les valeurs de   x1 , x2 ,..... xm  vérifiant les  équations antérieurs.  Les systèmes sont classifiés de la manière suivante :  ‐ Système incompatible : s’il n’admet pas de solution.  ‐ Systèmes compatible : s’il admet au moins une solution.     14 
Compatible déterminé : s’il admet un nombre fini de solution.  Compatible indéterminé : s’il admet un nombre infini de solution.     Exprimons le système sous sa forme matricielle:  Le système antérieur peut être écrit sous la forme matricielle suivante :  ⎛ a11 a12 ...... a1m ⎞ x1 ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 ....... a2 m ⎟ x2 ⎜ b2 ⎟ ⎜ M = = A. X = B M M M ⎟ M ⎜M⎟   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ....... anm ⎟ xm ⎜ bn ⎟ ⎝ n1 an 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 a12 ...... a1 m b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ A est dite matrice du système  (AB) = ⎜aij M ⎟ = ⎜ 21 ⎜ M a 22 ....... a 2 m b2 ⎟   ⎜ M M ⎟ bn ⎟ ⎜ M M ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ a n1 an 2 ....... a nm bn ⎟⎠ Théorème de Rouche‐Frobenius :   Le système AX=B est compatible  ⇔   Rg ( A ) = Rg (A B )  De plus si le système est compatible, et soient r = Rg ( A ) = Rg (A B ) ,  m  le  nombre de variable inconnues, alors   1‐ Si   r=m  ⇒ le système est compatible et déterminé.  2‐ Si   r <m  ⇒ le système est compatible et indéterminé,  c.‐à‐d. qu’il admet un  nombre infini de solutions dépendant de (m‐r) paramètres.  Méthode de Gauss :  Si dans un système des équations linéaire,   ‐ On inter change l’ordre des équations,   ‐ On multiplie une équation par un scalaire non‐nul,    15 
‐ On ajoute à une équation une combinaison linéaire des équations restante ;  alors on obtient un système équivalent au système initial (les deux systèmes  ont les mêmes solutions). Sur ces propriétés se base la méthode de Gauss.   Exemple 1:   ⎧ x + y + z = 3 ⎛ 1 1 1 3 ⎞ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ 2x − y − z = 0 → ⎜ 2 − 1− 1 0 ⎟ ≈ ⎜0 − 3 − 3 − 6 ⎟   ⎪ ⎜ − 1 2 1 2 ⎟ ⎜0 3 5 ⎟ ⎩− x + 2 y + z = 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎧ x+ y + z = 3 ⎧x =1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ≈ ⎜0 −3 − 3− 6 ⎟ → ⎨− 3 y − 3 z = −6 → ⎨ y = 1   ⎜ −1−1⎟ ⎪ − z = −1 ⎪z =1 ⎝ 0 ⎠ ⎩ ⎩   Exemple 2 :  ⎧ x + y + z = 1 ⎛ 1 − 1 11 ⎞ ⎛ 1 − 1 1 1 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ x − z = 0 ⎜ 0 1 − 2 − 1⎟ ⎜ 0 1 − 2 − 1 ⎟ ⎨ → ⎜ → ⎜ ⎪2 x + 2 y − z = 3 0 4 − 3 1 ⎟ 0 0 1 1 ⎟   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ a − 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 a + 3 4 ⎟ ⎩ x + y + az = 3 ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 − 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 − 2 − 1 ⎟       → ⎜ ⎟   0 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 − a ⎟ ⎝ 0 0 ⎠ i) Si       a=1  ( r = Rg ( A ) = Rg (A B )= 3 ) le système admet une seule  solution.   ⎧ rg ( A ) = 3 ii) Si       a ≠ 1 ⎨ →  le système est incompatible et il  ⎩ rg ( B ) = 4 n’admet pas de solution.         16 
Chapitre 2                                 Application linéaire    I‐ Type de matrice       •                                    :   matrice triangulaire supérieure.      •                                    :   matrice triangulaire inférieure.    ⎛1 0⎞ •     ⎜ ⎜ 0 1 ⎟                  :   matrice identité.   ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2⎞ • Si   A = AT :    A est symétrique.  Exemple : A= ⎜ ⎜ ⎟ .  ⎟ ⎝ 2 3⎠ ⎛ 0 1⎞ • Si  A = − AT : A est antisymétrique. Exemple : A=  ⎜ ⎜ −1 0⎟   ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛1 − 1⎞ • Si   A * AT : I  : A orthogonal. Exemple :  A= ⎜ ⎜ ⎟  ⎟ 2 ⎝1 1 ⎠ • A est une matrice nilpotente d’indice n  si   A ≠ 0  , A 2 ≠ 0 ,……, A n−1 ≠ 0 ,  A n = 0 .  ⎛0 1⎞ Exemple  A = ⎜ ⎜ ⎟  ⎟ ⎝0 0⎠ • Rang de A :  Rang(A) :  le nombre maximal de ligne ou colonnes linéairement indépendants.  • Déterminant :  Pour calculer le déterminant,  ⎛a a12 ⎞ → det⎜ 11 ⎜a ⎟ = a11 a12 − a 21 a12   ⎝ 21 a 22 ⎟ ⎠ Règlement de Sarrus :   ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ det⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ = a11 a 22 a33 + a13 a 21 a32 + a12 a 23 a31 − a11 a 23 a32   ⎜a a33 ⎟ ⎝ 31 a32 ⎠ Développer selon une ligne ou une colonne.  En utilisant la règle de Gauss      17 
Propriété 1   Si deux lignes ou colonnes sont égaux ou proportionnels donc det(A)=0.    Propriété 2.  ⎛U 1 + U ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎛U ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ U2 ⎟ ⎜U 2 ⎟ ⎜U 2 ⎟ det ⎜ . ⎟ = det⎜ . ⎟ + det⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ U ⎟ ⎜U ⎟ ⎜U ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠     Exemples :  ⎛1 2 ⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛3 5⎞ a) det⎜ ⎜1 2 ⎟ + det⎜ 1 2 ⎟ = det⎜ 1 2 ⎟ = 1   ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ U1 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜U 2 ⎟ ⎜ U 2 + αU 1 ⎟ b) det⎜ . ⎟ = det⎜ . ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜U ⎟ ⎜ U ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠     Proposition 3.     ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ det⎜ ⎟ = det⎜ ⎟ = Produit des éléments de la diagonal.   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Exemple :  ⎛ ⎞ ⎛ − 1 2 3⎞ ⎛ − 1 2 3 ⎞ ⎜−1 2 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛−4⎞ ⎜ 2 1 1 ⎟ ≈ ⎜ 0 − 3 − 5 ⎟ ≈ ⎜ 0 − 3 − 5 ⎟ = (− 1)(− 3).⎜ . ⎟ = 4.   ⎜ 1 0 1⎟ ⎜ 0 − 2 − 2⎟ ⎜ 0 −6 ⎝ 5 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎟ ⎝ 3 ⎠   Si   A ∈ M n ,n ;  • Rg ( A) = n ⇔ det( A) ≠ 0   • Rg ( A)〈 n ⇔ det( A) = 0 .    18 
  II‐ Application linéaire                   v        f(v)  Aaaa                                        f      Définition :     Soient V et W deux espaces vectoriels. L’application   f :V → W       est une application linéaire si :   v → w = f ( w) ⎧∀ α ∈ ℜ , f (α . v ) = α . f ( v ) ⎨ ⎩ ∀ v 1 , v 2 ∈ V , f (v 1 + v 2 ) = f ( v 1 ) + f ( v 2 )            Exemple :  V = ℜ 2 ,                         W = ℜ 3                 f :   ℜ 2 → ℜ 3                      (x, y ) → ( y, x, x + y ) = f ( x, y)     f est une application linéaire.   En effet,   f (α ( x, y )) = f (αx, αy ) = (αy, αx, αx + αy ) = α ( y, x, x + y ) = αf ( x, y )   f (( x, y ) + ( z, w)) = f (x + z, y + w) = ( y + w, u + z, x + z, y + w)                             = ( y, x, x + y ) + (z, w, z + w) = f (x, y ) + f (z, w)     Exemple 2 :  V = ℜ 2 ,                          W = ℜ 3   ℜ 2 → ℜ3       g :        (x, y ) → ( yx, x, y ) = f ( x, y )              f (ax , ay ) = (a xy , ay , ax )≠ (x , y ) = a ( xy , y , x ) = (axy )  2 af , ay , ax               g n’est pas une application linéaire .    19 
  Définition (Kerf)  Définition   Ker(f) = {v ∈ V : f (v ) = 0}                                                                                    V                                                                                                        W        Définition   Im( f ) = {w ∈ W , ∃ v ∈ V ; f (v ) = w }  Proposition   Ker(f) est un sous espace vectoriel de W.  Démonstration  Si  v ∈ Ker ( f ) ⇒ av ∈ Ker ( f ). ?   v ∈ Ker ( f ) ⇒ f (v ) = 0 ⇒ a. f (v ) = 0 ⇒ f (a.v ) = 0     Si  v1 et  v 2 ∈ Ker ( f ) ⇒ v1 + v2 ∈ Ker ( f ). ?   v1 , v2 ∈ Kerf ⇒ f (v1 ) = f (v2 ) = 0 ⇒ f (v1 ) + f (v2 ) = f (v1 + v2 ) = 0   ⇒ v1 + v2 ∈ Ker ( f )     Exemple   ℜ3 → ℜ2 f : (x, y , z ) → (x + y , y + z , z − x )   ker ( f ) = {( x , y , z )∈ ℜ 3 : (x + y , y + z , z − x ) = (0 , 0 , 0 )}    20 
⎧ x + y = 0 ⎧ x ⎪ ⎪ ⎨ y + z = 0 → ⎨ y = − x       ⎪ z − x = 0 ⎪ z = x ⎩ ⎩ Ker ( f ) = {( x,− x, x ) = x(1,−1,1); x ∈ ℜ} .                Dim ( Kerf ) = 1   Exemple   ℜ3 → ℜ2 f : ( x , y , z ) → ( x + y ,0 )   Im ( f ) = {(u , v ) ∈ ℜ 2 : (u , v ) = ( x + y ,0 ) / (x , y , z )∈ ℜ }                 = {(u,0) : u ∈ ℜ}  Proposition   f : V → W est une application linéaire   ⇒ f (0) = 0   Démonstration   f (v ) = f (v + 0) = f (v ) + f (0) ⇒ f (0) = 0    Proposition   Si  f (v1 ) et  f (v2 ) sont linéairement indépendants   ⇒ v1 et  v2 sont linéairement indépendants.                                                                                                                                     W                              V                                                   F      f (v1 )   v1                                 f (v 2 )   v 2     Démonstration   Si  V1 et  V2 sont linéairement dépendantes  ⇒ V1 = αV2   0 = f (V1 − αV2 ) = f (V1 ) − αf (V2 ) ⇒ f (V1 ) = αf (V2 )     21 
Remarque 1  v1 ,v2    linéairement indépendants                        f (v1 )  Et  f (v2 ) sont linéairement  indépendants   Exemple :  ℜ3 → ℜ2 f :   (x, y, z ) → (0, x + zy ) ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ et  ⎜ 1 ⎟ sont linéairement indépendants. Cependant,    ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f (1 , 0 , 0 ) = (0 ,1 )   sont linéairement dépendants.   f (0 ,1 , 0 ) = (0 , 2 )   Remarque 2   f (v1 )  Et  f (v2 )  sont linéairement dépendants                       v1 Et  v2 sont linéairement  dépendantes   Définition : Application injective            V                                                  F                                                              W      Définition  (Application Injective)       f : V → W  est une application injective si seulement si  f (u ) = f (v ) ⇒ u = v     Définition (Application Surjective)   f : V → W Est une application surjective  ⇔ ∀w ∈ W , ∃v ∈ V : f (v ) = w     22 
Définition (Application Bijective)  f :V → W  Est bijective  ⇔ f est injective et surjective   Exemple 1 :  ℜ3 → ℜ 2 (x, y, z ) → (0, x + zy )             f n’est pas injective   f (1,0,1) = (0,1) f (1,0,0 ) = (0,1)   Exemple 2 :  ℜ 2 → ℜ3 f: (x, y ) → (− x,− y )    f est une application bijective.  Théorème :   F est une application injective  ⇔ Ker( f ) = {0}  Lemme 1 :                                    V                                                                                         W                                      Si  DimV = n  et   u1 , u2 ,........., un sont linéairement indépendants.  ⇒ {u1 , u 2 ,....u n }  est une  base de V.  Lemme 2 :  Si  f : V → U est surjective et  {u1 , u 2 ,....u n } est une base de  V ⇒ { f (u1 ), f (u 2 ),.... f (u n )} est  une base de V.      23 
Définition Si  f : V → U est une application linéaire bijective, donc elle est dite  isomorphisme.  Isomorphisme et coordonnées :  Soit  f : V → W  est une application linéaire             V                                                                                          W  v1                               f (v1 ) M   M     vn f (v n )   *  Soit  Bv ≡ {v1 , v2 ,.......vn } une base de V.  v ∈ V ⇒ v = x1v1 + x 2 v 2 + ....... x n v n   f (v )= f (x 1 v 1 + x 2 v 2 + ....... x n v n )= x 1 f (v 1 ) + ......... + x n f (v n )    *  Soit  Bw ≡ {w1 , w2 ,.......wn }  une base de W, donc on exprime  f (vi )  dans   Bw  :  f (v1 ) = a11w1 + a21w2 + ............ + am1wm M   f (vn ) = a1n w1 + a22 w2 + ............. + amn wm . f (v ) = f (x 1 v 1 + x 2 v 2 + ....... x n v n )= x 1 f (v 1 ) + ......... + x n f (v n ) = x 1 (a 11 w 1 + a 21 w 2 ... + a m1w m )+ ..... + x n (a n 1 w 1 + ... + a nm w m )  = (a11 x1 + a 21 x 2 ... + a m1 x m )w1 + ........ + (a m1 x1 + a m 2 x 2 + ....... + a mn x n )w m   = y1w 1 + y 2 w 2 + .......... + y m w m .  On rappelle que :   x 1 ,......... .. x n sont les coordonnés de V en  B v  et  y 1 ,......... .. y n sont les  coordonnés de  f (v ) en  Bw .    24 
  Expression matricielle  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ y1 ⎤ ⎥ y2 ⎥ M ⎥ ⎥ ym ⎦ ⎡ a 11 ⎢a = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1 a 12 a 22 a M m 2 K K K M a 1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ a 2n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥* ⎢ M ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ a mn ⎦ ⎣ x 4 ⎦   Coord. de                                                            Coord. de v en  B v                                             f(v) En  Bw   Y = AX ⇒    A : matrice associée à f sur les bases  Bw et  B v                                      Fixer  Bw  Et  B v   Définir  f ⇔                                            et donner A.    Exemple :   ℜ3 → ℜ2 f : (x , y , z ) → f (x , y , z ) = (x + y , y + z )   ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ B v  : Base canonique de   ℜ 3 : B v = ⎨ ⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬   ⎪ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ B w   : Base canonique de   ℜ 2 : B w = ⎨ ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬   ⎟ ⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭ .   f ( ,0 ,0 )= 1 ( ,0 ) 1 ⎡1 1 0 ⎤ f (0 , 1 , 0 ) = ( , 1 )                               A = ⎢ 0 1 1 ⎥   f (0 , 0 , 1 ) = (0 , 1 ) ⎣ 1 ⎦   25 
  Vérification :   f (1 ,1 ,1 ) = (2 , 2 )   ⎡1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ . 1   ⎣ ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ .                                             26 
Chapitre 3                                                       Espace Vectoriel  et Produit Scalaire    3.1. Produit scalaire, Norme, Orthogonalité   Nous considérons un espace vectoriel (V ,+,•) , et on rappelle le produit scalaire *    définit par :   Définition :   V ×V → ℜ                 ∗    (v, w) → v ∗ w     Tel que :   i) u ∗ w = w∗u   ii) v ∗ (u + w) = (v ∗ u ) + (v ∗ w)   iii) v∗v = 0 ⇔ v = 0   iv) v ∗ (λ • w) = λ • (v ∗ w)   Exemple :  1) ℜ 3 × ℜ 3 → ℜ   Soient v = (x, y, z ) ∈ ℜ 3 ; w = (a, b, c ) ∈ ℜ 3 et ⎛a⎞ ⎜ ⎟   (v, w) → v ∗ w = ( x, y, z ).⎜ b ⎟ = ax + by + cz ∈ ℜ ⎜c⎟ ⎝ ⎠ 2) ℜ 2 × ℜ 2 → ℜ   ⎛a⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ a ⎞ (( x, y ), (a, b )) = (u , v ) → u ∗ v = ( x, y )⎜ ⎟ = u .v t = (x, y ).⎜ ⎜b⎟ ⎜ 0 1 ⎟.⎜ b ⎟ = ax + by   ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠   3) ℜ2 × ℜ2 → ℜ   ⎛ 2 2⎞ ⎛ a ⎞ (( x, y ), (a, b )) → u ∗ v = ( x, y )⎜ ⎜ 2 4 ⎟.⎜ b ⎟ = 2ax + 2by + 2ay + 4by   ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Vérifier que c’est un produit scalaire !!  En effet,    27 
⎛ 2 2⎞ ⎛ x ⎞ u ∗ u = ( x, y )⎜ ⎜ 2 4 ⎟.⎜ y ⎟ = 2 x + 4 xy + 4 y ⎟⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ iii)             ⎧x = 0 = (x + 2 y ) + x = 0 ⇒ ⎨ 2 2 ⎩ x + 2 y = 0 ⇒ x = y = 0 ⇒ u = (0,0)   Remarque :   • La norme  v = (x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 = v ⋅ v t est appellé norme euclidienne de  v.  Définition   Dans un espace vectoriel (V ,+,•) , on introduit   V → ℜ+ .:   v → v = v.v T Cette opération est appelée la norme de v.  Proposition   i) v = 0 ⇔ v = 0 → v : longueur  ii) λv =| λ | × v    iii) v + w ≤ v + w                               u  u ∗ vT                           α           v                                                                cos(α ) =   u.v Remarque :   u et v sont deux vecteurs orthogonaux  si seulement si :  cos(α ) = 0 ⇔ α = π ⇒ u ∗ vT = 0   2 Exemple :   1) (produit scalaire euclidien)  u = (1, 0 );    v = (0,2)     28 
⎛0⎞ u ∗ v = u T .v = (1,0 ).⎜ ⎟ = 0   ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 2) (autre produit scalaire)   u = (1,−1);   v = (1,0)   ⎛ 2 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ u ∗ v = (1,−1).⎜ ⎜ 2 4 ⎟⎜ 0 ⎟ = (1,−1)⎜ 2 ⎟ = 0   ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ u et v sont deux vecteurs orthogonaux par rapport à ce produit scalaire, mais  pas par rapport au produit scalaire euclidien.    3) ℜ n     u ∗ v = u T .v;    u = u T u     Définition :   Une base orthogonale  {u1 , u 2 ,.....u n } de  ℜ n est une base où  ui ∗ u j = 0      ∀i ≠ j .    Exemple   {(2,0); (0,3)}Est une base orthogonale dans  ℜ 2     Définition   Une base ortho normale  {u1 , u 2 ,.....u n }de  ℜ n , est une base orthogonale, de plus  u i = 1   ∀i = 1,..., n.     Exemple :   La base canonique de  ℜ n .     4.2 Projection Orthogonale.     1) Projection d’un vecteur sur une droite                                        u                                                                                                                                           Pv (u )                      v         29 
Pv (u ) u.v T                          = cos(α ) =   u u × v u.v T Pv (u ) =   v u.v T v Pv (u ) = •   v v u.v T Pv (u ) = 2 •v  v Exemple :   (2,2).⎛ 3⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ u = (2,2 ) ⎝0⎠ ⎛ 3⎞                                  Pv (u ) = •⎜ ⎟  ⎜ ⎟ v = (3,0 ) ⎡ 2 ⎛ 3 ⎞⎤ ⎝ 0 ⎠ ⎢(3,0)⎜ ⎟⎥ ⎜0⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎦ 6 ⎛6⎞ ⎛ 4 ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ 9⎟  92 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B)Projection d’un vecteur sur un plan   Soient  {v 1 , v 2 }  une base orthogonale du plan  π     t                                                                                                             P1 (u ) = u v1 2 • v1             u              v2  v1  : Projection sur v1 v1                 Pπ   t                                                                                                              P2 (u ) = u v2 2 • v2     v2 : Projection sur v2   t t Pπ (u ) = P1 (u ) + P2 (u ) = u v1 u v2 2 v1 + v2   v1 v2 Exemple :       30 
                              Z                                                            u=(1,1,2)                                                                                                v1= (1,0, 0)     v2= (0, 1,0)                          V1                    v2                Y                       X    ⎛ ⎛1⎞⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ Pπ (u ) = ⎜ (1,2,2)⎜ 0 ⎟ ⎟.⎜ 0 ⎟ + ⎜ (1,1,2).⎜ 1 ⎟ ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜1⎟⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠   ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 1⎜ 0 ⎟ + 1⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   3.2 Projection d’un vecteur sur un HIPER PLAN de  ℜ   n On prend une base othonormal  {v1 , v 2 ,....v m }  de l’hiperlan H  (m ≤ n )  de  ℜ et u ∈ ℜ n .  n Donc la projection de u sur H est :   ( ) ( ) ( PH (u ) = u .v1 • v1 + u v2 • v2 + .......... + u v m • v m   T T T ) On prend  u = (x1 , x 2 .....x n ) et  v = ( y1 , y 2 ..... y n ) avec  v = 1      ⎡ ⎛ y1 ⎞ ⎤ ⎛ y1 ⎞ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ )⎜ y2 ⎟⎥ ⎜ y2 ⎟ P v ( u ) = ( u .v T ) • v = ⎢ (x 1 + L + x n ⎜ • =   ⎢ M ⎟⎥ ⎜ M ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ yn ⎟⎥ ⎜ yn ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠   31 
⎛ ( x1 y1 + x2 y 2 + L + xn y n ) y1 ⎞ ⎛ y12 + y1 y 2 + L + y1 y n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ( x1 y1 + x2 y 2 + L + xn y n ) y 2 ⎟ ⎜ y 2 y1 + y 2 + L + y 2 y n ⎟⎜ x2 ⎟ 2 =⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ M ⎟ = (v.v )u   T M M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ( x y + x y + L + x y ) y ⎟ ⎜ y y + y y + L + y 2 ⎟⎜ x ⎟ ⎝ 1 1 2 2 n n n⎠ ⎝ 41 4n 24444 ⎠⎝ n ⎠ 1n 4 4 2 n 3{ P u Définition :   Pv = v .v t  est une matrice de projection sur v (v est un vecteur uniatire).    Propriétés :  Pv .Pv = (v.v T ) T .(v.v T ) = v.v T .v.v T = v.v T = Pv .      T { =1 Pv . = (v.v T ) T v.v T = Pv .   T   Définition :   ⎧PT = P Toute matrice  P  qui vérifie  ⎨ 2 ⎩P = P     s’appelle matrice de projection.    En générale, si on a une base  {v1 , v 2 , L , v m } d’un sous espace vectoriel de  R   n (V = v1 , v 2 , L , v m )  avec  v1 = v 2 = L = v m  et  vi .v j = 0, ∀i ≠ j  c.a.d. que  {v1 , v 2 , L , v m } est  t une base orthonormale de  V , alors la matrice   v1 .v1 + v 2 .v 2 + L + v m .v m   T T T est une matrice de projection, et projete sur l’espace vectoriel  (V = v1 , v 2 ,L , v m ) .  Exemple :   1 1 1.‐   v = ( , ); v = 1.   2 2 La matrice de projection sur v ou sur la droite  {(x, x ) / x ∈ R} est    32 
⎛1 1⎞ ⎛1 / 2 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ P = v .v = ⎜ T ⎜ ⎟.( , )=⎜2 2⎟ ⎟ ⎜1 1⎟ ⎝1 / 2 ⎠ 2 2 ⎜ ⎟ ⎝2 2⎠   ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟⎛ 1 ⎞ ⎛1 / 2 ⎞ Pv (u ) = ⎜ 2 2 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. ⎟ ⎜ 1 1 ⎟⎝ 0 ⎠ ⎝1 / 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝2 2⎠ 2.‐ On considère l’espace vectoriel  R 3   et soit  {v1 , v 2 } = {(1.0.0 ), (0.1.0 )} une base  orthonormale du plan (Π = v1 , v 2 ) .  ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PΠ = v1 .v1 + v 2 .v 2 = ⎜ 0 ⎟(1 0 0 ) + ⎜ 1 ⎟(0 1 0) = ⎜ 0 0 0 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ T T ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎝0 0 0⎠   ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PΠ (u ) = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟. ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Définition :   La meilleure approximation d’un vecteur   u ∈ R n a un sous espace vectoriel S ⊂ R n , est  la projection de  u  sur   S  :  PS (u )  ; c.a.d. si  {v1 , v 2 ,L , v m } est une base orthonormale de  S , alors                         PS = v1T .v1 + v 2 T .v 2 + L + v m T .v m     3.3 Bases orthonormales : Méthode de Gram‐Schmidt  Théorème :   De toute base  B = {u 1 , u 2 , L , u n }  de  R n , on peut obtenir une autre base  B '= {v 1 , v 2 , L , v n }orthonormale.  Démonstration :  B → → → B ' {u 1 , u 2 ,L , u n } → {w 1 , w 2 ,L , w n } → {v 1 , v 2 , L ,v n }     33 
        w 1. u 1 → = u → v1 = 1 w 1 1 .  w 1 w 2. v 1 , u 2 → w 2 = u 2 − P v1 ( u 2 ) → v 2 = 2 .  w 2 u − ( v 1T . v 1 ) u v 2 = 2 2 .  w 2 w 3. v 1 , v 2 , u 3 → w 3 = u 3 − PΠ (u 3 ) → v 3 = 3 .  w 3 − ( v 1T . v 1 ) u 3 − ( v T u v )u v 3 = 3 2 2 3 w 3   M   v1 , v 2 ,L , v m −1 ,u m → w = u − ( v 1T v 1 ) u − (v T v )u L − (v T m −1 v m −1 )u m).    m m m 2 2 m m   w v m = m . w m Exemple :   u1 = (1,1); ; u 2 = (1,2)   B → → → B ' {u 1 , u 2 } → {w 1 , w 2 } → {v 1 , v 2 }  1 1 w1 = (1,1); ; v 2 = (1,1) = (1,1).   1 +12 2 2   34 
⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛1 1⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 1 / 2 ⎞ ⎜ ⎟ w2 = u 2 − v1 v1u 2 = ⎜ ⎟ − T ⎜ ⎟(1 1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟− ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟.   ⎟ ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 1⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝1 1⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 / 2 ⎠ w2 1 ⎛ − 1/ 2⎞ 1 ⎛ − 1⎞ v2 = = ⎜ ⎜ ⎟= ⎟ ⎜ ⎟.   ⎜ ⎟ w2 1/ 2 ⎝ 1/ 2 ⎠ 2 ⎝ − 1⎠ 3.4  Diagonalisation orthogonale. Matrices symétriques  A= P { .D.P −1 , A ∈ R n×n   les colones : vecteurs propre de A Si ces vecteurs forment une base orthonormale de  R  , alors  P.P = P P = I .   n T T Toujours, on peut prendre les vecteurs propres  v  et  tels que   v = 1 ⇒ P −1 = P T ⇒ A = PDP −1   Théorème :   Si   A = AT et  λ1 ≠ λ 2  sont les valeurs propre de  A ⇒ v1 .v 2 T  où  v1 , v 2 sont les vecteurs  propre associées a  λ1 et λ 2 .     35 

Contenu connexe

Algébre(1)

  • 1.       Université Abdelmalek Esaâdi Faculté polydiciplinaire Tetouan             Professeur Dr. Hossain Yakhlef   1 
  • 2.                                1. Espaces vectoriels et systèmes linéaires :   a. Espaces vectoriels. Sous espaces vectoriels .  b. Independence linéaire. Base et dimension, Combinaison linéaire,  Somme directe.  Coordonnés.  c. Résolution des systèmes linéaires.      2. Application linéaire :   a. Type de matrice important. Rang, déterminant, matrice inverse.  b. Application linéaire. Application linéaire et indépendance linéaire.  c. Isomorphismes et coordonnés. Représentation matricielle d’une application linéaire,  changement de base.      3. Espace muni d’un produit scalaire   a. Produit scalaire, Norme, Orthogonalité.  b. Projection orthogonal.   c. Base orthonormale, Méthode de Gram Schmidt changement de base orthonormales.   d. Diagonalisation orthogonal. Matrice symétrique.    2 
  • 3.   Chapitre 1 :                    Espace vectoriels et systèmes linéaires.    I ­  Espaces vectoriels.  Sous espaces vectoriels   A) Espace vectoriel    1 –Définition   Soit V un ensemble muni de deux lois : +, .   1) Loi interne + :  ∀v, w ∈ V , on a  v + w ∈ V ,    2) Loi externe. :    ∀v ∈ V , ∀k ∈ ℜ, on a  k .v ∈ V ,   Exemple   V = ℜ 2 ;     ℜ ² = ℜ × ℜ = {( x, y ) : x, y ∈ ℜ }  V  est un espace vectoriel muni des lois + , .  + :   ( x, y ) + ( z , w ) = ( x + z , y + w )   .  :       k . ( x , y ) = (k . x , k . y )   De plus, l’espace vectoriel vérifie une série de propriétés.  3) u + v = v + u     ∀ u , v ∈ V   4) ∃ 0 ∈ V ;      0 + u = u + 0 = u              ∀u ∈ V .  5) ∀u ∈ V ,   ∃w ∈ V (on la note aussi − u ),      tel que  u + w = 0   6) (u + v ) + w = u + (v + w );                       ∀u , v, w ∈ V   7) (a ∗ b ).v = a .(b .v )                                  ∀ a , b ∈ ℜ ; v ∈ V   8) a.(u + v ) = a.u + a.v                                 ∀a ∈ ℜ  ,  u , v ∈ V   9) ( a + b ).u = a.u + b.u                              ∀a; b ∈ ℜ,   u ∈ V   10) 1.u = u                                          ∀u ∈ V     3 
  • 4.   Exemple :  I. ( )    ℜ , + ′ ,.  munis des lois interne et externe définis a continuation, est‐il un  2 espace vectoriel ?   + ′ :    (x , y ) + ′ (z , w ) = (x − z , y + w )   .  :       a .( x , y ) = (ax , ay )   ‐ Vérifiez les autres propriétés.     II. On définit l’ensemble   ⎧⎛ a b⎞ M 2 = ⎨⎜ ⎜ ⎟ : a, b, c, d ∈ ℜ } .  ⎩⎝ c d⎟ ⎠ On vérifie que   (M 2 , + ,. )  est un espace vectoriel.  ⎛a b⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ a + e b+ f ⎞ + :⎜ ⎜ c d ⎟ + ⎜ g h ⎟ = ⎜c + g ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟  d + h⎟ 1) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ a b ⎞ ⎛ k .a k .b ⎞ 2) .   : k⎜⎜ c d ⎟ = ⎜ k .c k .d ⎟   ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ‐ Vérifions les autres propriétés :  3) u + v = v + u?  ⎛a b ⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ a + e b + f ⎞ ⎜c d ⎟ + ⎜ g h ⎟ = ⎜c + g d + h⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ e + a f + b⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛a b ⎞   =⎜⎜g + c h + d ⎟ = ⎜g h ⎟ + ⎜c d ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4) Existe t – il l’élément neutre ( ∃ ? 0 ) tel que    0 + u = u + 0   ⎛0 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛a b ⎞ ⎛0 0⎞ ⎜0 0⎟ + ⎜ c ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ d ⎟ ⎜c ⎟+⎜ ⎟  d ⎟ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   5) u + ( −u ) = 0     4 
  • 5. ⎛a b ⎞ ⎛− a − b ⎞ ⎛0 0⎞ ⎜ ⎜c ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝ d⎟ ⎜−c ⎠ ⎝ − d ⎟ ⎜0 0⎟ ⎠ ⎝ ⎠   6) (u + v ) + w = u + ( v + w )   ⎛ a + e b + f ⎞ ⎛ i j⎞ ⎛a b ⎞ ⎛ e + i b + j⎞ ⎜c + g d + h ⎟ + ⎜ j l ⎟ = ⎜ c d ⎟ + ⎜ g + k h + l ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ a +e+i b+ f + j⎞   =⎜⎜c + g + k d + h + l ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 7) ( a × b ). v = a .( b . v )   ⎛a b1 ⎞ ⎛ ( a × b ).a1 ( a × b ).b1 ⎞ ⎛ a.( b.a1 ) a.( b.b1 ) ⎞ a × b⎜ 1 ⎜ ⎟=⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ c1 d1 ⎟ ⎜ ( a × b ).c1 ⎠ ⎝ ( a × b ).d1 ⎟ ⎜ a.( b.c1 ) ⎠ ⎝ a.(b.d1 ) ⎟   ⎠ ⎛ b .a 1 b .b 1 ⎞ = a .⎜ ⎜ b .c ⎟                                      ⎝ 1 b .d 1 ⎟   ⎠   ⎡⎛ a b⎞ ⎛e f ⎞⎤ ⎛a b⎞ ⎛e f⎞ a.⎢⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎥ = a.⎜ ⎟ + a.⎜ ⎟ 8) ⎣⎝ c ⎟ d⎠ ⎜g ⎝ ⎟ h ⎠⎦ ⎜c ⎝ d⎟ ⎠ ⎜g ⎝ h ⎟  ⎠   ⎛ a1 b1 ⎞ ⎛a b1 ⎞ ⎛a b1 ⎞ 9) (a + b ).⎜ ⎜ ⎟ = a.⎜ 1 ⎟ + b.⎜ 1 ⎟ ⎝ c1 d1 ⎟ ⎠ ⎜c ⎝ 1 d1 ⎟ ⎠ ⎜c ⎝ 1 d1 ⎟   ⎠   ⎛a b ⎞ ⎛a b⎞ 1.⎜ 10)      ⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝c d ⎟ ⎜c ⎠ ⎝ d⎟ ⎠ Exercice :   ′ ⎧⎛ 1 b ⎞ On considère l’ensemble  ⎜ c d ⎟ : b, c, d ∈ ℜ } et on définit la loi interne  M 2 = ⎨⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠ ⎛1 b⎞ ⎛1 f⎞ ⎛ 2 bf ⎞ + :⎜ par   ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝c d⎟ ⎜g ⎠ ⎝ h ⎟ ⎜ cg ⎠ ⎝ hd ⎟ ⎠   5 
  • 6. ⎛ ′ Vérifiez que  ⎜ M , + ,. ⎞  est un espace vectoriel  ⎟ ⎝ 2 ⎠ B) Sous espaces vectoriels     Définition   Soit V un espace vectoriel.   W Un ensemble inclus dans E ( W ⊂ V ).  W est un sous espace vectoriel  de V  si seulement si :   ∀u, v ∈ W , u + v ∈W   ∀a ∈ ℜ, v ∈ W , a .v ∈ W Remarque   Les propriétés  3‐10 sont satisfaites du fait que  W ⊆ V   Exemple :   u + v = v + u  car  u , v ∈ W ⊂ V .   Exemple   1) V = ℜ ,   W = {x;1}: x ∈ ℜ ).   2 W est un sous espace vectoriel.     2) V = ℜ ,     W = {( x,1) : x ∈ ℜ}   2 (x,1) + ( y ,1) = (x + y ,2 ) ∉ W   W n’est pas un sous espace vectoriel.     ⎧⎛ a 0⎞ M = ⎨⎜ ⎜ ⎟ : a , b, c ∈ ℜ}    3) ⎩⎝ b c⎟ ⎠ Vérifiez que  (M ,+ ,.)  est un sous espace vectoriel     ⎛a 0⎞ ⎛ e 0⎞ ⎛ a + e 0 ⎞ + :⎜ ⎜ ⎟+⎜ ⎟=⎜ ⎟  ⎝b c⎟ ⎝ f ⎠ ⎜ g ⎟ ⎜b + f ⎠ ⎝ c + g⎟ ⎠ ⎛a 0⎞ ⎛a2 0 ⎞ .     : a ⎜ ⎜b ⎟=⎜ ⎟  ⎝ c ⎟ ⎜ ab ⎠ ⎝ ac ⎟ ⎠   6 
  • 7. II ­  Independence linéaire. Base et dimension     A) Combinaison linéaire   Définition   Soient     u1 , u 2 ,......, u n ∈ V      et      a1 , a 2 ,......, a n ∈ ℜ .  On appelle  v = a1u1 , a2u 2 ,......, an u n  combinaison linéaire de u1 , u 2 ,......, u n .    Exemple 1 :     Le vecteur  (1,2,4 ) Est‐il une combinaison linéaire de  (1,1,1)  et  (0,1,3)  ?  On doit trouver   a1 , a 2 ∈ ℜ tel que :   (1,2,4 ) = a1 (1,1,1) + a2 (0,1,3) .  C.‐à‐d. :     (a1 , a1 , a1 ) + (0, a 2 ,3a 2 ) = (1,2,4 )   ⎧ a1 = 1  ⇒ ⎨   ⎩a1 + a 2 = 2 ⇒ a2 = 1   Exemple 2 :  Le vecteur  (1,2,4 ) Est‐il une combinaison linéaire de  (0,1,1) et  (0,1,3)  ?  Non,  En effet supposons le contraire, c.à.d. que  (1,2,4 ) = a1 (0,1,1) + a 2 (0,1,3)  et par  suite on a  1 = a 1 . 0 + a 2 . 0 = 0  (absurde).  B) Independence linéaire   Définition   o Les vecteurs   u1 , u 2 ,......, u n ∈ V sont linéairement indépendants si  seulement si :   [a1u1 + a 2u 2 + ........ + a n u n = 0 ⇒ a1 = a 2 = .......... = a n = 0]    7 
  • 8. o Les vecteurs  u1 , u 2 ,......, u n ∈ V  sont linéairement dépendants s’ils existent   a1 , a 2 ,......, a n ∈ ℜ non tous nul (au moins un scalaire différent de zéro),  tel que :  a1u1 , a 2 u 2 ,......, a n u n = 0     Exemple :   1) (1,1)  est  (1,0 )  sont‐ils linéairement indépendant. ?  ⎧a + a 2 = 0 a1 (1,1) + a 2 (1,0 ) = (0,0 ) ⇒ ⎨ 1 ⇒ a2 = 0   ⎩ a1 = 0 Et par suite (a1 , a 2 ) = (0,0 ) .    2) a1 (4,0 ) + a 2 (0,1) + a3 (2,3) = 0 ⇒ (4 a1 + 2 a3 , a 2 + 3a3 ) = 0   ⎧4 a1 + 2 a3 = 0 ⎧ 2 1 ⎪a1 = − a3 = − a3 ⇒⎨ ⇒⎨ 4 2 ⎩ a 2 + 3a 3 = 0 ⎪ a 2 = − 3a 3            ⎩                      a3 = 2 a1 = −1   a 2 = −3   Ainsi, on a trouvé  (a1 , a 2 , a3 ) = (− 1,−3,2 ) tel que   a1 (4,0 ) + a 2 (0,1) + a3 (2,3) = 0   Donc   (4 , 0 ), (0 ,1 ), (2 , 3 )  sont linéairement dépendant.  C) Système générateur.  Définition   On dit que   {u1 , u 2 ,...., u n } est un système générateur de    V , si pour tout  élément   v∈ V on a   v = α1u1 + α 2u2 + ... + α nun ,  avec α 1 , α 2 ,......α n ∈ ℜ .    8 
  • 9. Exemple :   1) (x, y ) = x(1,0) + y (0,1)  Donc  {(1 , 0 ); (0 ,1 )} est un système  générateur.    2) {(1,0 ), (0,1), (1,1) } est un système générateur de  ℜ²  car    (x, y ) = x(1,0) + y(0,1) + z (1,1)     3) {(1,0) } n’est pas un système générateur.     D) Base.     Définition :   Une base est un système générateur linéairement indépendant.    Théorème :   Tout espace vectoriel admet une base.    E) Dimension     Définition :  La dimension de l’espace vectoriel V est le nombre de vecteurs que contient  une base.    Exemple :   ⎧⎛ a b⎞ ⎫ On considère l’espace vectoriel M 2 = ⎨⎜ ⎜ ⎟,a , b, c, d ∈ ℜ ⎬ .  ⎩⎝ c d⎟ ⎠ ⎭ ⎛a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ o ⎜⎜ ⎟ = a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟ + c⎜ ⎟ + d⎜ ⎜0 1⎟   ⎝ e d⎟⎠ ⎜0 0⎟ ⎜0 0⎟ ⎜1 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎫ = ⎨⎜ ⎜ 0 0 ⎟, ⎜ 0 0 ⎟, ⎜ 1 0 ⎟, ⎜ 0 1 ⎟ ⎬    est un système générateur de  M 2 .  ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎭     9 
  • 10. ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎜ x⎜ ⎟ + y⎜ ⎜ 0 0 ⎟ + z⎜ 1 0 ⎟ + t ⎜ 0 1 ⎟ = ⎜ 0 0 ⎟   0 0⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ o ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎧x = 0 ⎪y = 0 ⎪ ⇒⎨ ⎪z = 0   ⎪t = 0 ⎩ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ Donc  ⎜ ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 1 0 ⎟; ⎜ 0 1 ⎟ sont linéairement indépendants.  ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎫ ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 0 0 ⎟; ⎜ 1 0 ⎟; ⎜ 0 1 ⎟ ⎬  alors  est une base de M 2 ,  et on  Finalement,  ⎨⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎩⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎭ a dim( M 2 )=4.  Définition   Soit  B = {u1 , u 2 ,....u 3 }   une base de V. donc  ∀v ∈ V tel on a  v = x1u1 + x2 u 2 + ..... + xn u n .  x1 , x2 ,.... xn  s’appellent les coordonnés du vecteur  v  dans la base B.  Exemple :   On considère le système  {(1,1), (1,−1)}. On a  ( x, y ) = a (1,1) + b (1,−1) , et par suite   ⎧ ⎧ ⎧ x+ y ⎪a + b = x ⎪2 a = x + y ⎪ a= ⎪ 2 ⎨ ⇒⎨ ⇒⎨ x− y   ⎪a − b = y ⎪ 2b = x − y ⎪b = ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ 2 x+ y Ainsi,   ( x , y ) = (1,1 ) + x − y (1, − 1 ) .   2 2 Conclusion :   { 1 , 1 ), ( , − ( 1 1 )} est un système générateur.    10 
  • 11. ⎧a + b = 0 On suppose que a (1,1) + b (1, − 1) = (0 ,0 ) ⇒ ⎨ ⇒ a = b = 0 .  ⎩ a−b = 0 Par suite  ( , 1 ), ( , − 1 )  sont linéairement indépendants.  1 1 Finalement,    { 1 , 1 ), ( , − 1 ( 1 )}est une base de ℜ 2 .  Exemple :   ⎧⎛ a b⎞ M 4 = ⎨⎜ ⎜ ⎟ : a , b, c, d ∈ ℜ}  Considérons   ⎩⎝ c d⎟ ⎠ ⎛a b⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎜ ⎜ ⎟ = a⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + b⎜ ⎟ + c⎜ ⎟ + d⎜ ⎜ 0 1 ⎟ .   ⎝c d⎠ ⎝ 0 0⎟ ⎝0 0⎟ ⎜1 0⎟ ⎠ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ a b ⎞ Les coordonnés de  ⎜ ⎜ ⎟ dans la base  ⎟ ⎝ c d ⎠ ⎧ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞⎫ ⎨ ⎜ ⎜ 0 ⎟, ⎟ ⎜ ⎜ ⎟, ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟, ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎬ ⎟   ⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎭ sont    (a , b , c , d ) .  Remarque :  Tout espace vectoriel de dimension n est « équivalent » à ℜ .  n Exemple 1 :  Dim  ℜ = 2.   2 Soit V un espace vectoriel de dimension n, donc il admet une base  B = {u1 , u 2 ,.....u n } . Donc  ∀v ∈ V , v = x1u1 + x 2 u 2 + .... + x n u n .  On considère  ℜ et y un vecteur x ∈ ℜ .  n n x = x1 (1,0,...., 0 ) + x2 (0,1,.... 0 ) + ..... + xn (0,0,.....,1)   = ( x1 , x2 ,....., xn ) .    11 
  • 12. Donc on peut identifier V  avec ℜ .  n Exemple 2 :  ⎛ a b ⎞ ⎛1 0⎞ ⎛0 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ o V = M 2  ,  ⎜ c d ⎟ = a⎜0 0⎟ + b⎜0 0⎟ + c⎜1 0⎟ + d⎜0 1⎟   v =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o x ∈ ℜ 4     x = (a, b, c, d ) = a(1,0,0,0) + b(0,1,0,0) + c(0,0,1,0) + d (0,0,0,1)            ⎛ 2a 2b ⎞ 2v = ⎜ ⎜ 2c ⎟    ⎝ 2d ⎟ ⎠ ⎛ 2a 2b ⎞ 2 x = 2(a, b, c, d)= (2a, 2b, 2c, 2d)  ⇔ 2v = ⎜ ⎜ 2c ⎟  ⎝ 2d ⎟ ⎠ Définition :  Soient   w1 , w2  deux sous espaces vectoriels de V. la somme directe :  w1 ⊕ w2 = {v ∈ V : v = V1 + V2 / v1 ∈ w1 ; v2 ∈ w2 }  Exemple :   V = ℜ3   { } { } w1 = ( x,0,0 ) ∈ ℜ 3 ;                     w2 = (0,0, z ) ∈ ℜ 3 ;   w ⊕ w2  Plan XZ =  {(x,0, z ) ∈ ℜ ; x, z ∈ ℜ}.  1 3 Remarque :  w1 ⊕ w2 ≠ w1 ∪ w2   Définition :    12 
  • 13. On considère un ensemble des vecteurs { 1 , u 2 ,.... u u n }⊂ V . On appelle le  rang de  { 1 , u 2 ,.... u n } au nombre maximal de vecteurs indépendants  u dans {u 1 , u 2 ,.... u n }.  Exemple :   {(1, 0 ), (0 ,1), (1,1)} ⊂ V = ℜ2   o (1,0), (0,1) sont deux vecteurs indépendants   o (1,0), (0,1), (1,1) sont dépendants.   Rang {(1, 0 ), (0 ,1 ), (1,1 )} = 2   Exemple :  ⎧ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎫ S = ⎨ ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎬ ⎟   ⎩ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭ On peut vérifier que rang(S)=3.  Remarque :   Rang  {u 1 ,......... u n } ≤ Dim V.  Définition :  Soit A ∈ M n,m . On appelle le rang de A égale au nombre maximal de ligne ou  colonne linéairement indépendant. (Les lignes sont vues comme n‐vecteurs de ℜ )  n et (Les colonnes sont vues comme m‐vecteurs de ℜ m ).  Exemple :   ⎛ 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 1 ⎟       ⎜ 1 1 ⎟ ⎝ ⎠  3 vecteur de  ℜ  ; 2 vecteur de  ℜ   3 2 Rang  A ≤ min  {n , m } = 2     13 
  • 14. Rang (A)=2  2‐     ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 0 ⎟               Rang (A)=1.  ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ 3‐  METHODE DE GAUSS :  ⎛ − u1 − ⎞ ⎛ − u1 − ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ − u 2 − ⎟ ≈≈ A2 = ⎜ − u 2 + α 2 × u1 − ⎟  ,   ⎜ − − ⎟ ⎜ − + α × u1 − ⎟ ⎝ u n ⎠ ⎝ u n n ⎠ Rg (A 1 ) = Rg (A 2 )     C) Résolution des systèmes linéaires.     Un système de n‐équations et m‐variables inconnues, est un ensemble des équations  de la forme   ⎧ a11 x1 + a12 x2 + .......... + anm xm = b1 ⎪ a x + a x + .......... + a x = b ⎪ 21 1 22 2 nm m 2 ⎨ ⎪ .................................................   ⎪an1 x1 + an 2 x2 + .......... + anm xm = bn ⎩ aij ∈ ℜ sont les coefficients du système  linéaire,   xi sont les inconnues et les  bi sont  les termes indépendants.  Résoudre le système, c’est trouver les valeurs de   x1 , x2 ,..... xm  vérifiant les  équations antérieurs.  Les systèmes sont classifiés de la manière suivante :  ‐ Système incompatible : s’il n’admet pas de solution.  ‐ Systèmes compatible : s’il admet au moins une solution.     14 
  • 15. Compatible déterminé : s’il admet un nombre fini de solution.  Compatible indéterminé : s’il admet un nombre infini de solution.     Exprimons le système sous sa forme matricielle:  Le système antérieur peut être écrit sous la forme matricielle suivante :  ⎛ a11 a12 ...... a1m ⎞ x1 ⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 ....... a2 m ⎟ x2 ⎜ b2 ⎟ ⎜ M = = A. X = B M M M ⎟ M ⎜M⎟   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ....... anm ⎟ xm ⎜ bn ⎟ ⎝ n1 an 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a11 a12 ...... a1 m b1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ A est dite matrice du système  (AB) = ⎜aij M ⎟ = ⎜ 21 ⎜ M a 22 ....... a 2 m b2 ⎟   ⎜ M M ⎟ bn ⎟ ⎜ M M ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ a n1 an 2 ....... a nm bn ⎟⎠ Théorème de Rouche‐Frobenius :   Le système AX=B est compatible  ⇔   Rg ( A ) = Rg (A B )  De plus si le système est compatible, et soient r = Rg ( A ) = Rg (A B ) ,  m  le  nombre de variable inconnues, alors   1‐ Si   r=m  ⇒ le système est compatible et déterminé.  2‐ Si   r <m  ⇒ le système est compatible et indéterminé,  c.‐à‐d. qu’il admet un  nombre infini de solutions dépendant de (m‐r) paramètres.  Méthode de Gauss :  Si dans un système des équations linéaire,   ‐ On inter change l’ordre des équations,   ‐ On multiplie une équation par un scalaire non‐nul,    15 
  • 16. ‐ On ajoute à une équation une combinaison linéaire des équations restante ;  alors on obtient un système équivalent au système initial (les deux systèmes  ont les mêmes solutions). Sur ces propriétés se base la méthode de Gauss.   Exemple 1:   ⎧ x + y + z = 3 ⎛ 1 1 1 3 ⎞ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ 2x − y − z = 0 → ⎜ 2 − 1− 1 0 ⎟ ≈ ⎜0 − 3 − 3 − 6 ⎟   ⎪ ⎜ − 1 2 1 2 ⎟ ⎜0 3 5 ⎟ ⎩− x + 2 y + z = 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛1 1 1 3 ⎞ ⎧ x+ y + z = 3 ⎧x =1 ⎜ ⎟ ⎪ ⎪ ≈ ⎜0 −3 − 3− 6 ⎟ → ⎨− 3 y − 3 z = −6 → ⎨ y = 1   ⎜ −1−1⎟ ⎪ − z = −1 ⎪z =1 ⎝ 0 ⎠ ⎩ ⎩   Exemple 2 :  ⎧ x + y + z = 1 ⎛ 1 − 1 11 ⎞ ⎛ 1 − 1 1 1 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ x − z = 0 ⎜ 0 1 − 2 − 1⎟ ⎜ 0 1 − 2 − 1 ⎟ ⎨ → ⎜ → ⎜ ⎪2 x + 2 y − z = 3 0 4 − 3 1 ⎟ 0 0 1 1 ⎟   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ a − 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 a + 3 4 ⎟ ⎩ x + y + az = 3 ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 1 − 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 − 2 − 1 ⎟       → ⎜ ⎟   0 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 − a ⎟ ⎝ 0 0 ⎠ i) Si       a=1  ( r = Rg ( A ) = Rg (A B )= 3 ) le système admet une seule  solution.   ⎧ rg ( A ) = 3 ii) Si       a ≠ 1 ⎨ →  le système est incompatible et il  ⎩ rg ( B ) = 4 n’admet pas de solution.         16 
  • 17. Chapitre 2                                 Application linéaire    I‐ Type de matrice       •                                    :   matrice triangulaire supérieure.      •                                    :   matrice triangulaire inférieure.    ⎛1 0⎞ •     ⎜ ⎜ 0 1 ⎟                  :   matrice identité.   ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 2⎞ • Si   A = AT :    A est symétrique.  Exemple : A= ⎜ ⎜ ⎟ .  ⎟ ⎝ 2 3⎠ ⎛ 0 1⎞ • Si  A = − AT : A est antisymétrique. Exemple : A=  ⎜ ⎜ −1 0⎟   ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛1 − 1⎞ • Si   A * AT : I  : A orthogonal. Exemple :  A= ⎜ ⎜ ⎟  ⎟ 2 ⎝1 1 ⎠ • A est une matrice nilpotente d’indice n  si   A ≠ 0  , A 2 ≠ 0 ,……, A n−1 ≠ 0 ,  A n = 0 .  ⎛0 1⎞ Exemple  A = ⎜ ⎜ ⎟  ⎟ ⎝0 0⎠ • Rang de A :  Rang(A) :  le nombre maximal de ligne ou colonnes linéairement indépendants.  • Déterminant :  Pour calculer le déterminant,  ⎛a a12 ⎞ → det⎜ 11 ⎜a ⎟ = a11 a12 − a 21 a12   ⎝ 21 a 22 ⎟ ⎠ Règlement de Sarrus :   ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ det⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ = a11 a 22 a33 + a13 a 21 a32 + a12 a 23 a31 − a11 a 23 a32   ⎜a a33 ⎟ ⎝ 31 a32 ⎠ Développer selon une ligne ou une colonne.  En utilisant la règle de Gauss      17 
  • 18. Propriété 1   Si deux lignes ou colonnes sont égaux ou proportionnels donc det(A)=0.    Propriété 2.  ⎛U 1 + U ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎛U ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ U2 ⎟ ⎜U 2 ⎟ ⎜U 2 ⎟ det ⎜ . ⎟ = det⎜ . ⎟ + det⎜ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ U ⎟ ⎜U ⎟ ⎜U ⎟ ⎝ n ⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠     Exemples :  ⎛1 2 ⎞ ⎛ 2 3⎞ ⎛3 5⎞ a) det⎜ ⎜1 2 ⎟ + det⎜ 1 2 ⎟ = det⎜ 1 2 ⎟ = 1   ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   ⎛ U1 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜U 2 ⎟ ⎜ U 2 + αU 1 ⎟ b) det⎜ . ⎟ = det⎜ . ⎟  ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎜U ⎟ ⎜ U ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠     Proposition 3.     ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ det⎜ ⎟ = det⎜ ⎟ = Produit des éléments de la diagonal.   ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Exemple :  ⎛ ⎞ ⎛ − 1 2 3⎞ ⎛ − 1 2 3 ⎞ ⎜−1 2 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛−4⎞ ⎜ 2 1 1 ⎟ ≈ ⎜ 0 − 3 − 5 ⎟ ≈ ⎜ 0 − 3 − 5 ⎟ = (− 1)(− 3).⎜ . ⎟ = 4.   ⎜ 1 0 1⎟ ⎜ 0 − 2 − 2⎟ ⎜ 0 −6 ⎝ 5 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 ⎟ ⎝ 3 ⎠   Si   A ∈ M n ,n ;  • Rg ( A) = n ⇔ det( A) ≠ 0   • Rg ( A)〈 n ⇔ det( A) = 0 .    18 
  • 19.   II‐ Application linéaire                   v        f(v)  Aaaa                                        f      Définition :     Soient V et W deux espaces vectoriels. L’application   f :V → W       est une application linéaire si :   v → w = f ( w) ⎧∀ α ∈ ℜ , f (α . v ) = α . f ( v ) ⎨ ⎩ ∀ v 1 , v 2 ∈ V , f (v 1 + v 2 ) = f ( v 1 ) + f ( v 2 )            Exemple :  V = ℜ 2 ,                         W = ℜ 3                 f :   ℜ 2 → ℜ 3                      (x, y ) → ( y, x, x + y ) = f ( x, y)     f est une application linéaire.   En effet,   f (α ( x, y )) = f (αx, αy ) = (αy, αx, αx + αy ) = α ( y, x, x + y ) = αf ( x, y )   f (( x, y ) + ( z, w)) = f (x + z, y + w) = ( y + w, u + z, x + z, y + w)                             = ( y, x, x + y ) + (z, w, z + w) = f (x, y ) + f (z, w)     Exemple 2 :  V = ℜ 2 ,                          W = ℜ 3   ℜ 2 → ℜ3       g :        (x, y ) → ( yx, x, y ) = f ( x, y )              f (ax , ay ) = (a xy , ay , ax )≠ (x , y ) = a ( xy , y , x ) = (axy )  2 af , ay , ax               g n’est pas une application linéaire .    19 
  • 20.   Définition (Kerf)  Définition   Ker(f) = {v ∈ V : f (v ) = 0}                                                                                    V                                                                                                        W        Définition   Im( f ) = {w ∈ W , ∃ v ∈ V ; f (v ) = w }  Proposition   Ker(f) est un sous espace vectoriel de W.  Démonstration  Si  v ∈ Ker ( f ) ⇒ av ∈ Ker ( f ). ?   v ∈ Ker ( f ) ⇒ f (v ) = 0 ⇒ a. f (v ) = 0 ⇒ f (a.v ) = 0     Si  v1 et  v 2 ∈ Ker ( f ) ⇒ v1 + v2 ∈ Ker ( f ). ?   v1 , v2 ∈ Kerf ⇒ f (v1 ) = f (v2 ) = 0 ⇒ f (v1 ) + f (v2 ) = f (v1 + v2 ) = 0   ⇒ v1 + v2 ∈ Ker ( f )     Exemple   ℜ3 → ℜ2 f : (x, y , z ) → (x + y , y + z , z − x )   ker ( f ) = {( x , y , z )∈ ℜ 3 : (x + y , y + z , z − x ) = (0 , 0 , 0 )}    20 
  • 21. ⎧ x + y = 0 ⎧ x ⎪ ⎪ ⎨ y + z = 0 → ⎨ y = − x       ⎪ z − x = 0 ⎪ z = x ⎩ ⎩ Ker ( f ) = {( x,− x, x ) = x(1,−1,1); x ∈ ℜ} .                Dim ( Kerf ) = 1   Exemple   ℜ3 → ℜ2 f : ( x , y , z ) → ( x + y ,0 )   Im ( f ) = {(u , v ) ∈ ℜ 2 : (u , v ) = ( x + y ,0 ) / (x , y , z )∈ ℜ }                 = {(u,0) : u ∈ ℜ}  Proposition   f : V → W est une application linéaire   ⇒ f (0) = 0   Démonstration   f (v ) = f (v + 0) = f (v ) + f (0) ⇒ f (0) = 0    Proposition   Si  f (v1 ) et  f (v2 ) sont linéairement indépendants   ⇒ v1 et  v2 sont linéairement indépendants.                                                                                                                                     W                              V                                                   F      f (v1 )   v1                                 f (v 2 )   v 2     Démonstration   Si  V1 et  V2 sont linéairement dépendantes  ⇒ V1 = αV2   0 = f (V1 − αV2 ) = f (V1 ) − αf (V2 ) ⇒ f (V1 ) = αf (V2 )     21 
  • 22. Remarque 1  v1 ,v2    linéairement indépendants                        f (v1 )  Et  f (v2 ) sont linéairement  indépendants   Exemple :  ℜ3 → ℜ2 f :   (x, y, z ) → (0, x + zy ) ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ et  ⎜ 1 ⎟ sont linéairement indépendants. Cependant,    ⎜ 0⎟ ⎜ 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ f (1 , 0 , 0 ) = (0 ,1 )   sont linéairement dépendants.   f (0 ,1 , 0 ) = (0 , 2 )   Remarque 2   f (v1 )  Et  f (v2 )  sont linéairement dépendants                       v1 Et  v2 sont linéairement  dépendantes   Définition : Application injective            V                                                  F                                                              W      Définition  (Application Injective)       f : V → W  est une application injective si seulement si  f (u ) = f (v ) ⇒ u = v     Définition (Application Surjective)   f : V → W Est une application surjective  ⇔ ∀w ∈ W , ∃v ∈ V : f (v ) = w     22 
  • 23. Définition (Application Bijective)  f :V → W  Est bijective  ⇔ f est injective et surjective   Exemple 1 :  ℜ3 → ℜ 2 (x, y, z ) → (0, x + zy )             f n’est pas injective   f (1,0,1) = (0,1) f (1,0,0 ) = (0,1)   Exemple 2 :  ℜ 2 → ℜ3 f: (x, y ) → (− x,− y )    f est une application bijective.  Théorème :   F est une application injective  ⇔ Ker( f ) = {0}  Lemme 1 :                                    V                                                                                         W                                      Si  DimV = n  et   u1 , u2 ,........., un sont linéairement indépendants.  ⇒ {u1 , u 2 ,....u n }  est une  base de V.  Lemme 2 :  Si  f : V → U est surjective et  {u1 , u 2 ,....u n } est une base de  V ⇒ { f (u1 ), f (u 2 ),.... f (u n )} est  une base de V.      23 
  • 24. Définition Si  f : V → U est une application linéaire bijective, donc elle est dite  isomorphisme.  Isomorphisme et coordonnées :  Soit  f : V → W  est une application linéaire             V                                                                                          W  v1                               f (v1 ) M   M     vn f (v n )   *  Soit  Bv ≡ {v1 , v2 ,.......vn } une base de V.  v ∈ V ⇒ v = x1v1 + x 2 v 2 + ....... x n v n   f (v )= f (x 1 v 1 + x 2 v 2 + ....... x n v n )= x 1 f (v 1 ) + ......... + x n f (v n )    *  Soit  Bw ≡ {w1 , w2 ,.......wn }  une base de W, donc on exprime  f (vi )  dans   Bw  :  f (v1 ) = a11w1 + a21w2 + ............ + am1wm M   f (vn ) = a1n w1 + a22 w2 + ............. + amn wm . f (v ) = f (x 1 v 1 + x 2 v 2 + ....... x n v n )= x 1 f (v 1 ) + ......... + x n f (v n ) = x 1 (a 11 w 1 + a 21 w 2 ... + a m1w m )+ ..... + x n (a n 1 w 1 + ... + a nm w m )  = (a11 x1 + a 21 x 2 ... + a m1 x m )w1 + ........ + (a m1 x1 + a m 2 x 2 + ....... + a mn x n )w m   = y1w 1 + y 2 w 2 + .......... + y m w m .  On rappelle que :   x 1 ,......... .. x n sont les coordonnés de V en  B v  et  y 1 ,......... .. y n sont les  coordonnés de  f (v ) en  Bw .    24 
  • 25.   Expression matricielle  ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ y1 ⎤ ⎥ y2 ⎥ M ⎥ ⎥ ym ⎦ ⎡ a 11 ⎢a = ⎢ 21 ⎢ M ⎢ ⎣a m1 a 12 a 22 a M m 2 K K K M a 1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ a 2n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥* ⎢ M ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ a mn ⎦ ⎣ x 4 ⎦   Coord. de                                                            Coord. de v en  B v                                             f(v) En  Bw   Y = AX ⇒    A : matrice associée à f sur les bases  Bw et  B v                                      Fixer  Bw  Et  B v   Définir  f ⇔                                            et donner A.    Exemple :   ℜ3 → ℜ2 f : (x , y , z ) → f (x , y , z ) = (x + y , y + z )   ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ B v  : Base canonique de   ℜ 3 : B v = ⎨ ⎜ 0 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 0 ⎟ ⎬   ⎪ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎫ B w   : Base canonique de   ℜ 2 : B w = ⎨ ⎜ ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬   ⎟ ⎩ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎭ .   f ( ,0 ,0 )= 1 ( ,0 ) 1 ⎡1 1 0 ⎤ f (0 , 1 , 0 ) = ( , 1 )                               A = ⎢ 0 1 1 ⎥   f (0 , 0 , 1 ) = (0 , 1 ) ⎣ 1 ⎦   25 
  • 26.   Vérification :   f (1 ,1 ,1 ) = (2 , 2 )   ⎡1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡1 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ . 1   ⎣ ⎦ ⎣0 1 ⎦ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ .                                             26 
  • 27. Chapitre 3                                                       Espace Vectoriel  et Produit Scalaire    3.1. Produit scalaire, Norme, Orthogonalité   Nous considérons un espace vectoriel (V ,+,•) , et on rappelle le produit scalaire *    définit par :   Définition :   V ×V → ℜ                 ∗    (v, w) → v ∗ w     Tel que :   i) u ∗ w = w∗u   ii) v ∗ (u + w) = (v ∗ u ) + (v ∗ w)   iii) v∗v = 0 ⇔ v = 0   iv) v ∗ (λ • w) = λ • (v ∗ w)   Exemple :  1) ℜ 3 × ℜ 3 → ℜ   Soient v = (x, y, z ) ∈ ℜ 3 ; w = (a, b, c ) ∈ ℜ 3 et ⎛a⎞ ⎜ ⎟   (v, w) → v ∗ w = ( x, y, z ).⎜ b ⎟ = ax + by + cz ∈ ℜ ⎜c⎟ ⎝ ⎠ 2) ℜ 2 × ℜ 2 → ℜ   ⎛a⎞ ⎛1 0⎞ ⎛ a ⎞ (( x, y ), (a, b )) = (u , v ) → u ∗ v = ( x, y )⎜ ⎟ = u .v t = (x, y ).⎜ ⎜b⎟ ⎜ 0 1 ⎟.⎜ b ⎟ = ax + by   ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠   3) ℜ2 × ℜ2 → ℜ   ⎛ 2 2⎞ ⎛ a ⎞ (( x, y ), (a, b )) → u ∗ v = ( x, y )⎜ ⎜ 2 4 ⎟.⎜ b ⎟ = 2ax + 2by + 2ay + 4by   ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ Vérifier que c’est un produit scalaire !!  En effet,    27 
  • 28. ⎛ 2 2⎞ ⎛ x ⎞ u ∗ u = ( x, y )⎜ ⎜ 2 4 ⎟.⎜ y ⎟ = 2 x + 4 xy + 4 y ⎟⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠⎝ ⎠ iii)             ⎧x = 0 = (x + 2 y ) + x = 0 ⇒ ⎨ 2 2 ⎩ x + 2 y = 0 ⇒ x = y = 0 ⇒ u = (0,0)   Remarque :   • La norme  v = (x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 = v ⋅ v t est appellé norme euclidienne de  v.  Définition   Dans un espace vectoriel (V ,+,•) , on introduit   V → ℜ+ .:   v → v = v.v T Cette opération est appelée la norme de v.  Proposition   i) v = 0 ⇔ v = 0 → v : longueur  ii) λv =| λ | × v    iii) v + w ≤ v + w                               u  u ∗ vT                           α           v                                                                cos(α ) =   u.v Remarque :   u et v sont deux vecteurs orthogonaux  si seulement si :  cos(α ) = 0 ⇔ α = π ⇒ u ∗ vT = 0   2 Exemple :   1) (produit scalaire euclidien)  u = (1, 0 );    v = (0,2)     28 
  • 29. ⎛0⎞ u ∗ v = u T .v = (1,0 ).⎜ ⎟ = 0   ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 2) (autre produit scalaire)   u = (1,−1);   v = (1,0)   ⎛ 2 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ u ∗ v = (1,−1).⎜ ⎜ 2 4 ⎟⎜ 0 ⎟ = (1,−1)⎜ 2 ⎟ = 0   ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ u et v sont deux vecteurs orthogonaux par rapport à ce produit scalaire, mais  pas par rapport au produit scalaire euclidien.    3) ℜ n     u ∗ v = u T .v;    u = u T u     Définition :   Une base orthogonale  {u1 , u 2 ,.....u n } de  ℜ n est une base où  ui ∗ u j = 0      ∀i ≠ j .    Exemple   {(2,0); (0,3)}Est une base orthogonale dans  ℜ 2     Définition   Une base ortho normale  {u1 , u 2 ,.....u n }de  ℜ n , est une base orthogonale, de plus  u i = 1   ∀i = 1,..., n.     Exemple :   La base canonique de  ℜ n .     4.2 Projection Orthogonale.     1) Projection d’un vecteur sur une droite                                        u                                                                                                                                           Pv (u )                      v         29 
  • 30. Pv (u ) u.v T                          = cos(α ) =   u u × v u.v T Pv (u ) =   v u.v T v Pv (u ) = •   v v u.v T Pv (u ) = 2 •v  v Exemple :   (2,2).⎛ 3⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ u = (2,2 ) ⎝0⎠ ⎛ 3⎞                                  Pv (u ) = •⎜ ⎟  ⎜ ⎟ v = (3,0 ) ⎡ 2 ⎛ 3 ⎞⎤ ⎝ 0 ⎠ ⎢(3,0)⎜ ⎟⎥ ⎜0⎟ ⎣ ⎝ ⎠⎦ 6 ⎛6⎞ ⎛ 4 ⎞ = ⎜ ⎟ = ⎜ 9⎟  92 ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ B)Projection d’un vecteur sur un plan   Soient  {v 1 , v 2 }  une base orthogonale du plan  π     t                                                                                                             P1 (u ) = u v1 2 • v1             u              v2  v1  : Projection sur v1 v1                 Pπ   t                                                                                                              P2 (u ) = u v2 2 • v2     v2 : Projection sur v2   t t Pπ (u ) = P1 (u ) + P2 (u ) = u v1 u v2 2 v1 + v2   v1 v2 Exemple :       30 
  • 31.                               Z                                                            u=(1,1,2)                                                                                                v1= (1,0, 0)     v2= (0, 1,0)                          V1                    v2                Y                       X    ⎛ ⎛1⎞⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⎛ 0 ⎞ ⎞⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ Pπ (u ) = ⎜ (1,2,2)⎜ 0 ⎟ ⎟.⎜ 0 ⎟ + ⎜ (1,1,2).⎜ 1 ⎟ ⎟⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎜1⎟⎟ ⎜1⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎟⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎠   ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 1⎜ 0 ⎟ + 1⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠   3.2 Projection d’un vecteur sur un HIPER PLAN de  ℜ   n On prend une base othonormal  {v1 , v 2 ,....v m }  de l’hiperlan H  (m ≤ n )  de  ℜ et u ∈ ℜ n .  n Donc la projection de u sur H est :   ( ) ( ) ( PH (u ) = u .v1 • v1 + u v2 • v2 + .......... + u v m • v m   T T T ) On prend  u = (x1 , x 2 .....x n ) et  v = ( y1 , y 2 ..... y n ) avec  v = 1      ⎡ ⎛ y1 ⎞ ⎤ ⎛ y1 ⎞ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ )⎜ y2 ⎟⎥ ⎜ y2 ⎟ P v ( u ) = ( u .v T ) • v = ⎢ (x 1 + L + x n ⎜ • =   ⎢ M ⎟⎥ ⎜ M ⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ yn ⎟⎥ ⎜ yn ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ⎠   31 
  • 32. ⎛ ( x1 y1 + x2 y 2 + L + xn y n ) y1 ⎞ ⎛ y12 + y1 y 2 + L + y1 y n ⎞⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ( x1 y1 + x2 y 2 + L + xn y n ) y 2 ⎟ ⎜ y 2 y1 + y 2 + L + y 2 y n ⎟⎜ x2 ⎟ 2 =⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ M ⎟ = (v.v )u   T M M ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ( x y + x y + L + x y ) y ⎟ ⎜ y y + y y + L + y 2 ⎟⎜ x ⎟ ⎝ 1 1 2 2 n n n⎠ ⎝ 41 4n 24444 ⎠⎝ n ⎠ 1n 4 4 2 n 3{ P u Définition :   Pv = v .v t  est une matrice de projection sur v (v est un vecteur uniatire).    Propriétés :  Pv .Pv = (v.v T ) T .(v.v T ) = v.v T .v.v T = v.v T = Pv .      T { =1 Pv . = (v.v T ) T v.v T = Pv .   T   Définition :   ⎧PT = P Toute matrice  P  qui vérifie  ⎨ 2 ⎩P = P     s’appelle matrice de projection.    En générale, si on a une base  {v1 , v 2 , L , v m } d’un sous espace vectoriel de  R   n (V = v1 , v 2 , L , v m )  avec  v1 = v 2 = L = v m  et  vi .v j = 0, ∀i ≠ j  c.a.d. que  {v1 , v 2 , L , v m } est  t une base orthonormale de  V , alors la matrice   v1 .v1 + v 2 .v 2 + L + v m .v m   T T T est une matrice de projection, et projete sur l’espace vectoriel  (V = v1 , v 2 ,L , v m ) .  Exemple :   1 1 1.‐   v = ( , ); v = 1.   2 2 La matrice de projection sur v ou sur la droite  {(x, x ) / x ∈ R} est    32 
  • 33. ⎛1 1⎞ ⎛1 / 2 ⎞ 1 1 ⎜ ⎟ P = v .v = ⎜ T ⎜ ⎟.( , )=⎜2 2⎟ ⎟ ⎜1 1⎟ ⎝1 / 2 ⎠ 2 2 ⎜ ⎟ ⎝2 2⎠   ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟⎛ 1 ⎞ ⎛1 / 2 ⎞ Pv (u ) = ⎜ 2 2 ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. ⎟ ⎜ 1 1 ⎟⎝ 0 ⎠ ⎝1 / 2 ⎠ ⎜ ⎟ ⎝2 2⎠ 2.‐ On considère l’espace vectoriel  R 3   et soit  {v1 , v 2 } = {(1.0.0 ), (0.1.0 )} une base  orthonormale du plan (Π = v1 , v 2 ) .  ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PΠ = v1 .v1 + v 2 .v 2 = ⎜ 0 ⎟(1 0 0 ) + ⎜ 1 ⎟(0 1 0) = ⎜ 0 0 0 ⎟ + ⎜ 0 1 0 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟ T T ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎝0 0 0⎠ ⎝0 0 0⎠   ⎛ 1 0 0 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ PΠ (u ) = ⎜ 0 1 0 ⎟⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟. ⎜ 0 0 0 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠   Définition :   La meilleure approximation d’un vecteur   u ∈ R n a un sous espace vectoriel S ⊂ R n , est  la projection de  u  sur   S  :  PS (u )  ; c.a.d. si  {v1 , v 2 ,L , v m } est une base orthonormale de  S , alors                         PS = v1T .v1 + v 2 T .v 2 + L + v m T .v m     3.3 Bases orthonormales : Méthode de Gram‐Schmidt  Théorème :   De toute base  B = {u 1 , u 2 , L , u n }  de  R n , on peut obtenir une autre base  B '= {v 1 , v 2 , L , v n }orthonormale.  Démonstration :  B → → → B ' {u 1 , u 2 ,L , u n } → {w 1 , w 2 ,L , w n } → {v 1 , v 2 , L ,v n }     33 
  • 34.         w 1. u 1 → = u → v1 = 1 w 1 1 .  w 1 w 2. v 1 , u 2 → w 2 = u 2 − P v1 ( u 2 ) → v 2 = 2 .  w 2 u − ( v 1T . v 1 ) u v 2 = 2 2 .  w 2 w 3. v 1 , v 2 , u 3 → w 3 = u 3 − PΠ (u 3 ) → v 3 = 3 .  w 3 − ( v 1T . v 1 ) u 3 − ( v T u v )u v 3 = 3 2 2 3 w 3   M   v1 , v 2 ,L , v m −1 ,u m → w = u − ( v 1T v 1 ) u − (v T v )u L − (v T m −1 v m −1 )u m).    m m m 2 2 m m   w v m = m . w m Exemple :   u1 = (1,1); ; u 2 = (1,2)   B → → → B ' {u 1 , u 2 } → {w 1 , w 2 } → {v 1 , v 2 }  1 1 w1 = (1,1); ; v 2 = (1,1) = (1,1).   1 +12 2 2   34 
  • 35. ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛1 1⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ − 1 / 2 ⎞ ⎜ ⎟ w2 = u 2 − v1 v1u 2 = ⎜ ⎟ − T ⎜ ⎟(1 1) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟− ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟.   ⎟ ⎝ 2⎠ 2 ⎝ 1⎠ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝1 1⎠⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 1 / 2 ⎠ w2 1 ⎛ − 1/ 2⎞ 1 ⎛ − 1⎞ v2 = = ⎜ ⎜ ⎟= ⎟ ⎜ ⎟.   ⎜ ⎟ w2 1/ 2 ⎝ 1/ 2 ⎠ 2 ⎝ − 1⎠ 3.4  Diagonalisation orthogonale. Matrices symétriques  A= P { .D.P −1 , A ∈ R n×n   les colones : vecteurs propre de A Si ces vecteurs forment une base orthonormale de  R  , alors  P.P = P P = I .   n T T Toujours, on peut prendre les vecteurs propres  v  et  tels que   v = 1 ⇒ P −1 = P T ⇒ A = PDP −1   Théorème :   Si   A = AT et  λ1 ≠ λ 2  sont les valeurs propre de  A ⇒ v1 .v 2 T  où  v1 , v 2 sont les vecteurs  propre associées a  λ1 et λ 2 .     35