Ouvert (topologie)

Introduction

Ouverts dans un espace vectoriel normé

Cadre : E est un espace vectoriel normé, de norme N.

Définitions

On rappelle la définition de boule ouverte. La boule ouverte de centre $a\quad$ et de rayon $r\quad$ est l'ensemble $B(a,r)=\{x\in E:N(a-x)<r\}$

On définit alors la notion d'ouvert. $\Omega \subset E\,\!$ est un ouvert de E si $\forall x\in \Omega ,\exists r>0/B(x,r)\subset \Omega \,\!$

Cela signifie que $\Omega \,\!$ est un ouvert de E si pour chacun de ses points x, il contient les points suffisamment proches de x.

Exemples

a) $\emptyset \,\!$ et E sont des ouverts.

b) Toute boule ouverte est ouverte. Le nom de « boule ouverte » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.

c) soit I un intervalle de l'ensemble des nombres réels. On a alors : I est une partie ouverte de R si et seulement si I est un « intervalle ouvert », au sens de la définition habituelle de cette notion. Le nom « d'intervalle ouvert » est donc cohérent avec la définition d'ouvert.

Ouverts dans un espace topologique

Dans les points de vue précédents, on définissait la notion d'ouvert à partir des propriétés de l'espace. Au contraire, on définit la notion d'espace topologique à partir d'un ensemble d'ouverts prédéterminé.

Définition

Si on dispose d'un ensemble E, on appelle espace topologique le couple (E,T) où T est un ensemble de parties de E (appelées ouverts) qui vérifie :

1. $\emptyset \in T,E\in T$;<br\>
2. T est stable par union quelconque;
3. T est stable par intersection finie.

T est appelé topologie.

Exemples

• Topologie triviale ou grossière : $T=\{\emptyset ,E\}\,$
• Topologie discrète : $T={\mathcal {P}}(E)\,$ (toute partie de E est ouverte)
• Un espace métrique est un espace topologique. (Cas particuliers: espace vectoriel normé, etc.)