Argument de Frattini
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En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, on appelle argument de Frattini le théorème suivant : si G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H, alors G = H NG(P) (où NG(P) désigne le normalisateur de P dans G).
Démonstration
[modifier | modifier le code]Dans les hypothèses ci-dessus (G est un groupe, H un sous-groupe normal fini de G et P un sous-groupe de Sylow de H), prouvons que G = H NG(P). Soit g un élément de G. Il s'agit de prouver que g appartient à H NG(P). Puisque H est supposé normal dans G, l'automorphisme intérieur x ↦ gxg−1 de G induit un automorphisme (non forcément intérieur) de H. L'image gPg−1 de P par cet automorphisme de H est un sous-groupe de Sylow de H du même ordre que P, donc gPg−1 est conjugué de P dans H. Ceci signifie qu'il existe un élément h de H tel que gPg−1 = hPh−1. Alors h−1gPg−1h = P, autrement dit h−1g ∈ NG(P), d'où g ∈ H NG(P), ce qui, comme nous l'avons vu, démontre le théorème[1].
Exemple d'utilisation
[modifier | modifier le code]L'argument de Frattini permet par exemple de prouver[2] que si G est un groupe fini, P un sous-groupe de Sylow de G et M un sous-groupe de G contenant NG(P) (normalisateur de P dans G), alors M est son propre normalisateur dans G. (Appliquer l'argument de Frattini au groupe NG(M), à son sous-groupe normal M et au sous-groupe de Sylow P de M. On trouve
- .
Il est clair que , donc le second membre de (1) est égal à M, d'où .)
Généralisation
[modifier | modifier le code]L'argument de Frattini admet la généralisation suivante[3], que certains auteurs[4] appellent elle aussi argument de Frattini :
Théorème[5] — Si G est un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et si H est un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive, alors,
pour tout élément x de X, G = H Gx, où Gx désigne le stabilisateur de x dans G.
Histoire
[modifier | modifier le code]L'argument de Frattini (sous sa forme particulière) fut énoncé et démontré par Giovanni Frattini en 1885, dans un article[6] où il introduisait la notion de sous-groupe de Frattini.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Cette forme de l'énoncé et cette démonstration sont données par exemple dans D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., Springer, 1996, énoncé 5.2.14, p. 136.
- Voir (en) J. S. Rose, A Course on Group Theory, rééd. Dover, , p. 96, énoncé 5.14.
- Pour une preuve de la première forme de l'argument à partir de cette généralisation, voir par exemple la démonstration de l'énoncé 8 .
- Voir par exemple (en) Hans Kurzweil (de) et Bernd Stellmacher, The Theory of Finite Groups, An Introduction, (lire en ligne), p. 58, énoncé 3.1.4.
- Pour une démonstration, voir par exemple Kurzweil et Stellmacher 2004, p. 58, énoncé 3.1.4, où le sous-groupe est inutilement supposé normal. Énoncé sans cette restriction dans (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 1999, p. 81, exerc. 4.9. Également démontré dans .
- (it) G. Frattini, « Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni », Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, série 4, vol. 1, p. 281-285 et 455-457. (Recension dans European Mathematical Information Service, Electronic Research Archive for Mathematics, Jahrbuch Database, en ligne.) Référence à cet article à propos de l'argument de Frattini dans Rose 1994, p. 95 et 296.
