Carré parfait

En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que $0$ , $1$ , $4$ , $5$ , $6$ , ou $9$ .

Définition et liste

Un carré parfait est le carré d'un entier naturel.

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de $n \times n$ points.

Les $70$ plus petits carrés parfaits sont^{[Note 1]} :

0² = 0	5² = 25	10² = 100	15² = 225	20² = 400	25² = 625	30² = 900	35² = 1 225	40² = 1 600	45² = 2 025	50² = 2 500	55² = 3 025	60² = 3 600	65² = 4 225
1² = 1	6² = 36	11² = 121	16² = 256	21² = 441	26² = 676	31² = 961	36² = 1 296	41² = 1 681	46² = 2 116	51² = 2 601	56² = 3 136	61² = 3 721	66² = 4 356
2² = 4	7² = 49	12² = 144	17² = 289	22² = 484	27² = 729	32² = 1 024	37² = 1 369	42² = 1 764	47² = 2 209	52² = 2 704	57² = 3 249	62² = 3 844	67² = 4 489
3² = 9	8² = 64	13² = 169	18² = 324	23² = 529	28² = 784	33² = 1 089	38² = 1 444	43² = 1 849	48² = 2 304	53² = 2 809	58² = 3 364	63² = 3 969	68² = 4 624
4² = 16	9² = 81	14² = 196	19² = 361	24² = 576	29² = 841	34² = 1 156	39² = 1 521	44² = 1 936	49² = 2 401	54² = 2 916	59² = 3 481	64² = 4 096	69² = 4 761

Les nombres carrés sont les carrés parfaits non nuls, le

n

-ième étant

n 2 .

Propriétés

Les mathématiciens se sont beaucoup intéressés à certaines propriétés concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité $32 + 4 2 = 5 2,$ le plus petit des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent former une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à l'équation $a 3 + b 3 = c 3$ avec $a,$ $b,$ et $c$ entiers non nuls.

Plusieurs autres propriétés relatives aux carrés parfaits sont mentionnées dans la suite de ce chapitre, où $a, b,$ et $c$ sont des entiers naturels.

1. Si $a$ et $b$ sont des carrés parfaits, alors le produit $ab$ est aussi un carré parfait.

Démonstration

Si $a$ et $b$ sont des carrés parfaits, c'est qu'il existe $n$ tel que $a=n^{2}$ et $p$ tel que $b=p^{2}$ . Donc $ab=n^{2}p^{2}=(np)^{2}$ : $ab$ est un carré parfait, car il est le carré de $np$ .

2. $a \neq 0$ ; $a$ est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.

Démonstration

Si $a \neq 0$ est un carré parfait, alors il existe un entier $m > 0$ tel que $a = m 2 .$ En notant $m={p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}$ la décomposition de $m$ en produit de facteurs premiers, on déduit : $a={p_{1}}^{2k_{1}}\dots {p_{r}}^{2k_{r}},$ donc tous les exposants dans la décomposition de $a$ sont pairs.

Réciproquement : si tous les exposants dans la décomposition de

a

sont pairs, alors

a

est de la forme

{p_{1}}^{2k_{1}}\dots {p_{r}}^{2k_{r}}=\left({p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}\right)^{2}.

3. $ab \neq 0 ;$ si $ab$ est un carré parfait et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ et $b$ sont aussi des carrés parfaits^[1].
Ne pas oublier la seconde condition. Par exemple : $12\times3 = 6 2,$ mais $12$ et $3$ ne sont pas premiers entre eux ; $12$ et $3$ ne sont pas des carrés parfaits.

Démonstration

Supposons que $ab = n 2$ où $n\in \mathbb {N}$ . Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, on a : $pgcd(a, b) = 1$ .

Notons

c = pgcd(a, n).

On a :

a=a\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},ab\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},n^{2}\right)=c^{2}\operatorname {pgcd} \left(\left(a/c\right)^{2},\left(n/c\right)^{2}\right)=c^{2}.

De même, notons

d = pgcd(b, n).

On a :

b = d 2 .

4. $a \neq 0 ; a (a + 1)$ et $a (a + 2)$ ne sont pas des carrés parfaits.

Démonstration

Il suffit de remarquer que $a^{2}<a\left(a+1\right)<a\left(a+2\right)<\left(a+1\right)^{2}.$

5. $a \neq 0 ; a$ est un carré parfait si, et seulement si, le nombre de ses diviseurs est impair.

Démonstration

Par la propriété 2, $a$ est un carré parfait si et seulement si les exposants $j p$ dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont tous pairs, ce qui équivaut à l'imparité du produit $\prod \left(j_{p}+1\right).$ Or ce produit est le nombre de diviseurs de $a$ ^[2] .

6. Un carré parfait ne peut se terminer que par $0, 1, 4, 5, 6,$ ou $9$ dans le système décimal.

Attention, la réciproque n'est pas vraie : par exemple $10$ se termine par $0$ mais n'est pas un carré parfait.

Démonstration

Un nombre entier $n$ écrit en base décimale a comme nombre d'unités $0,1,2,3,4,5,6,7,8$ ou $9$ . Son carré $n^{2}$ a donc comme nombre d'unités celui du carré de $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ , soit : $0,1,4,5,6$ ou $9$ .

Ceci est un cas d'application des propriétés des résidus quadratiques modulo un entier. On dit qu'un entier $q$ est un résidu quadratique modulo un entier $m$ s'il existe un entier $n$ tel que : $q\equiv {n^{2}}{\bmod {m}}$ . Ce concept permet notamment de démontrer sans calcul que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec $k$ entier, l'équation $n^{2}=4k+2$ n'admet pas de solution dans $\mathbb {Z}$ . En effet, les résidus quadratiques modulo $4$ étant $0$ et $1$ , un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à $2$ dans la division euclidienne par $4$ .

7. Le $n$ -ième nombre carré est égal à la somme des $n$ premiers nombres impairs positifs:

\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dots +(2n-1)=n^{2}.

Démonstration par récurrence

On constate que cette propriété est vraie pour $n=1$ ; définissons $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dots +(2n-1)$ et supposons que $S_{n}=n^{2}$ . Alors : $S_{n+1}=S_{n}+(2n+1)=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$ . La propriété est donc démontrée.

Cette propriété fournit un moyen pratique pour former une table de carrés^[3]. Elle peut être représentée et utilisée sous forme de gnomons : la représentation du premier nombre carré,

1,

est un point ; celle du

n

-ième,

n 2

, s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du

(n - 1)

-ième carré de points par un « L » de

2 n - 1

points :

1 = 1²

1 + 3 = 4 = 2²

4 + 5 = 9 = 3²

9 + 7 = 16 = 4²

1 + 3 + 5 + 7 = 4²

Elle est aussi utilisée comme méthode d'extraction de racine carrée, y compris avec un boulier^[4].

8. Le $n$ -ième nombre carré est égal à la somme des $n$ -ième et $(n - 1)$ -ième nombres triangulaires :

{\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}.

9. La somme des $n$ -ième et $(n - 1)$ -ième nombres carrés est égale au $n$ -ième nombre carré centré^[5].

10. La somme des $n$ premiers nombres carrés est égale au $n$ -ième nombre pyramidal carré :

\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}.

11. La somme des $n$ premiers cubes, $\sum _{i=1}^{n}i^{3}$ , est un carré parfait. Plus précisément :

\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}

.

Article détaillé : Somme des n premiers cubes.

Démonstration par récurrence

On constate que cette propriété est vraie pour $n=1$ ; définissons $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}i^{3}$ et supposons que $S_{n}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}$ . On sait que $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$ . Donc : $S_{n}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$ . Alors : $S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}={\frac {(n+1)^{2}}{4}}(n^{2}+4n+4)=\left({\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\right)^{2}$ . La propriété est donc démontrée.

Calcul mental

Calculer facilement le carré d'un entier

On peut calculer mentalement les carrés des nombres entiers s'écrivant avec deux (voire trois) chiffres en notation décimale assez facilement^[6]. Soit un nombre x s'écrivant $10a+b$ , avec b un chiffre non nul. On obtient son carré facilement en calculant de la façon suivante :

$x^{2}=(x+b)\times a\times 10+b^{2}$ si b est compris entre 1 et 4,
$x^{2}=a(a+1)\times 100+25$ si b est égal à 5,
$x^{2}=(x-b')\times (a+1)\times 10+b'^{2}$ si b est compris entre 6 et 9, avec $b'=10-b$ .

Cela réduit la difficulté du calcul au produit d'un nombre de deux chiffres par un nombre réduit à un chiffre, et à l'élévation au carré des nombres 1 à 4. Ainsi :

$62^{2}=64\times 6\times 10+2^{2}=3840+4=3844$
$65^{2}=6\times 7\times 100+25=4200+25=4225$
$76^{2}=72\times 8\times 10+4^{2}=5760+16=5776$

Trouver la partie entière de la racine carrée d'un entier sans division ni multiplication

La propriété 7 permet de calculer tous les carrés d'entiers par addition d'entiers impairs. Elle permet également de connaitre la partie entière de la racine carrée d'un entier en n'utilisant que l'addition.

On procède comme suit^[4] : pour un entier quelconque $a$ , on réalise progressivement l'addition des premiers nombres impairs.

Alors, pour un certain rang $n$ , on a : $\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\leqslant a<(n+1)^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)$ , soit $n\leqslant {\sqrt {a}}<n+1$ . Donc la partie entière de la racine carrée $a$ est égale à $n$ , qui est le nombre maximal de nombres impairs qu'on a pu additionner sans dépasser $a$ , ou encore le nombre de boules formant le côté du gnomon correspondant.

Si l'on tombe exactement sur $a$ , c'est que $a$ est un carré parfait, de racine carrée égale à $n$ .

Notes et références

Notes

↑ suite A000290 de l'OEIS

Références

↑ « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.
↑ « Divisibilité et nombres premiers | Mathraining », sur www.mathraining.be (consulté le 4 février 2025)
↑ Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4^e et de 3^e, Paris, Armand Colin, 1934, 5^e éd., p. 161, paragraphe n^o 237.
↑ ^{a et b} « Le boulier chinois : », sur archive.wikiwix.com (consulté le 9 février 2025)
↑ (en) Elena Deza et M. Deza, Figurate Numbers, World Scientific, 2012 (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne)
↑ Y. Pérelman, L'algèbre récréative, Éditions Mir, Moscou, 1985, 91-94 p.

Voir aussi

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Nombre carré, sur Wikimedia Commons

Articles connexes

Lien externe

Carré parfait sur recreomath.qc.ca

Arithmétique et théorie des nombres

[1] suite A000290 de l'OEIS

[2] « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.

[3] « Divisibilité et nombres premiers | Mathraining », sur www.mathraining.be (consulté le 4 février 2025)

[4] Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4^e et de 3^e, Paris, Armand Colin, 1934, 5^e éd., p. 161, paragraphe n^o 237.

[:0-5] {a et b} « Le boulier chinois : », sur archive.wikiwix.com (consulté le 9 février 2025)

[6] (en) Elena Deza et M. Deza, Figurate Numbers, World Scientific, 2012 (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne)

[7] Y. Pérelman, L'algèbre récréative, Éditions Mir, Moscou, 1985, 91-94 p.

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