Lacet (mathématiques)

En mathématiques, notamment en analyse complexe et en topologie, un lacet est la modélisation d'une « boucle ». C'est un chemin continu et fermé, c'est-à-dire que ses extrémités sont confondues. Par exemple, tout cercle dans le plan euclidien est un lacet.

Définitions

Soit $X$ est un espace topologique.

Définition 1 :

On appelle lacet sur $X$ toute application continue $\gamma \,:\,[0,1]\rightarrow X$ telle que $\gamma (0)=\gamma (1)$ .
Autrement dit, un lacet sur $X$ est un chemin sur $X$ dont les deux extrémités (le point initial et le point final) sont identiques.

Définition 2 :

On appelle lacet sur $X$ toute application continue de $S^{1}$ vers $X$ , où $S^{1}$ dénote le cercle unité $\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}$ .
S¹ peut être regardé comme le quotient de $[0,1]$ en identifiant 0 ∼ 1.

L'ensemble de tous les lacets dans X est appelé l'espace des lacets de X.

En analyse complexe, on s'intéresse aux lacets qui sont aussi des "courbes rectifiables^[1]"

Un lacet f est dit simple lorsque l'égalité f(a) = f(b) implique soit que a = b, soit que $\{a,b\}=\{0,1\}$ . Intuitivement, cela signifie que le lacet ne dessine qu'une unique boucle. On peut aussi définir des lacets polygonaux, ou de classe $C^{k}$ (voir Chemins). Les termes de lacet simple et de courbe de Jordan sont synonymes.

Indice d'un lacet dans le plan complexe

Article détaillé : Indice (analyse complexe).

Dans le cas $X=\mathbb {C}$ , on peut définir l'indice $\mathrm {I} (\gamma ,z_{0})$ d'un lacet $\gamma$ par rapport à un point $z_{0}\in \mathbb {C} \smallsetminus \gamma ([0,1])$ : il correspond au nombre (entier relatif) de tours effectués par le lacet autour de ce point.