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Un segment circulaire est coloré en vert . En géométrie , un segment circulaire , ou segment de disque , ou encore onglet circulaire , est une partie d'un disque intuitivement définie comme un domaine qui est « coupé » du reste du disque par une corde (intersection du disque avec une droite sécante). Le segment circulaire constitue donc la partie entre une corde et l'arc correspondant
Soient (voir figure) :
R
{\displaystyle R}
rayon du cercle ;
θ
⩽
π
{\displaystyle \theta \leqslant \pi }
radians du secteur circulaire ;
s
{\displaystyle s}
c
{\displaystyle c}
h
{\displaystyle h}
d
{\displaystyle d}
triangulaire .Alors :
la longueur de l'arc est
s
=
R
θ
{\displaystyle s=R\theta }
la longueur de la corde est
c
=
2
R
sin
(
θ
/
2
)
=
2
d
tan
(
θ
/
2
)
=
2
R
2
−
d
2
=
2
2
h
R
−
h
2
{\displaystyle c=2R\sin(\theta /2)=2d\tan(\theta /2)=2{\sqrt {R^{2}-d^{2}}}=2{\sqrt {2hR-h^{2}}}}
la hauteur de la portion triangulaire est
d
=
R
cos
(
θ
/
2
)
=
c
2
cot
(
θ
/
2
)
=
1
2
4
R
2
−
c
2
{\displaystyle d=R\cos(\theta /2)={\frac {c}{2}}\cot(\theta /2)={\frac {1}{2}}{\sqrt {4R^{2}-c^{2}}}}
la hauteur (ou flèche ) est
h
=
R
−
d
=
R
(
1
−
cos
(
θ
/
2
)
)
{\displaystyle h=R-d=R\left(1-\cos(\theta /2)\right)}
l'aire est
A
=
R
2
2
(
θ
−
sin
θ
)
{\displaystyle A={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}
Démonstration de la formule de l'aire
L'aire totale de la portion de disque vaut
S
=
θ
2
R
2
{\displaystyle S={\frac {\theta }{2}}R^{2}}
A
{\displaystyle A}
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
=
S
−
A
1
{\displaystyle A=S-A_{1}}
L'aire du triangle vaut :
A
1
=
1
2
×
base
×
hauteur
=
1
2
×
c
×
d
=
1
2
×
2
R
sin
(
θ
/
2
)
×
R
cos
(
θ
/
2
)
=
R
2
2
×
2
sin
(
θ
/
2
)
cos
(
θ
/
2
)
=
R
2
2
sin
θ
{\displaystyle A_{1}={\frac {1}{2}}\times {\textrm {base}}\times {\textrm {hauteur}}={\frac {1}{2}}\times c\times d={\frac {1}{2}}\times 2R\sin(\theta /2)\times R\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\times 2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)={\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }}
du fait des formules de l'angle double .
Finalement, on trouve :
A
=
S
−
A
1
=
θ
2
R
2
−
R
2
2
sin
θ
=
R
2
2
(
θ
−
sin
θ
)
{\displaystyle A=S-A_{1}={\frac {\theta }{2}}R^{2}-{\frac {R^{2}}{2}}\sin {\theta }={\frac {R^{2}}{2}}(\theta -\sin {\theta })}
