Cálculo infinitesimal

O cálculo infinitesimal (ou cálculo diferencial e integral) é unha rama da matemática que se desenvolveu a partir da xeometría analítica. As súas técnicas aplícanse de maneira xeneralizada tanto nas ciencias como na enxeñería, empregándose para resolver problemas extensos e complexos que non se poderían resolver soamente co emprego da álxebra.

Comporta dúas ideas principais que se complementan:

• O cálculo diferencial, que é a teoría que estuda as taxas de variación e que fai intervir os métodos de diferenciación. Permite por exemplo, describir a velocidade, a aceleración, e a pendente dunha curva nun punto baixo unha forma simbólica común, en termos de funcións matemáticas.
• O cálculo integral, teoría que desenvolve a idea de integración, facendo intervir o concepto de área encerrada baixo a gráfica dunha función ou outras nocións relacionadas coma a de volume.

As operacións de derivación e integración son operacións inversas no sentido que se expresa no Teorema Fundamental do Cálculo. Isto implica que conceptualmente teñen unha prioridade equivalente, podéndose aprender primeiro unha e logo a outra ou viceversa. Con todo, na orde pedagóxica habitual adóitase introducir primeiro o cálculo diferencial.

O cálculo infinitesimal axudou a comprender dun xeito máis preciso a natureza do espazo, o tempo e o movemento. Ao longo de moitos séculos os matemáticos e filósofos enfrontáronse a paradoxos que conducían a divisións por cero ou a sumas de infinitos números. Estas cuestións xurdían no estudo do movemento e no cálculo das áreas dalgunhas superficies. Zenón de Elea creou varios exemplos famosos de tales paradoxos. O cálculo infinitesimal axudou a resolvelos, especialmente co uso de ferramentas coma os límites e as series infinitas.

Aínda que algunhas das ideas do cálculo infinitesimal remóntanse á Grecia Antiga e á India, o seu uso moderno comeza en Europa, no século XVII, cando Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, baseándose no traballo de matemáticos anteriores, introduciron os principios básicos do cálculo. Os seus avances tiveron un forte impacto no desenvolvemento da física.

Historia

Isaac Newton foi un dos máis famosos contribuíntes ao cálculo infinitesimal, polas súas leis do movemento e outros conceptos da física matemática.

A historia do cálculo infinitesimal transcorreu por períodos moi diferentes, sendo os máis destacados os da Grecia Antiga, a India e a Europa da Idade Moderna.

Na Grecia Antiga aparecen algunhas ideas básicas do cálculo integral, mais non semella que ditas ideas desenvolvéranse dun xeito sistemático e rigoroso. Eudoxo de Cnido (c.-408 - c.-355) xa empregaba o método de converxencia (ás veces tamén chamado de exhaución, ou exhaustación), preludio da noción de límite, co fin de calcular áreas e volumes. Arquimedes (c.-287 - c.-212) desenvolveu esta idea en profundidade, ideando métodos que lembran ao cálculo integral.

A matemática hindú, enormemente descoñecida en Occidente ata o século XX, xerou varios traballos que contiñan algunhas das ideas do cálculo infinitesimal. No ano 499, o astrónomo e matemático Aryabhata empregaba a noción de infinitésimo e expresaba un problema de astronomía a través dunha sinxela ecuación diferencial. Manjula, no século X, expresou con maior detalle esta ecuación nun comentario. Finalmente esta ecuación conduciu no século XII a Bhaskara II a desenvolver unha protoderivada para representar o cambio infinitesimal, e a describir unha forma temperá do teorema de Rolle. No século XIV, Madhava, xunto con outros astrónomo-matemáticos da Escola de Kerala, describiu casos especiais de series de Taylor que se tratan no libro Yuktibhasa.

A segunda metade do século XVII foi unha época de grandes novidades en Europa. O cálculo infinitesimal proporcionou unha nova oportunidade á física matemática de resolver cuestións que viñan de lonxe. Varios matemáticos contribuíron a estes grandes adiantos, especialmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory probou un caso especial do Teorema Fundamental do Cálculo en 1668.

Leibniz e Newton organizaron nun todo coherente coñecementos precedentes, e son recoñecidos normalmente coma os inventores independentes e case que simultáneos do cálculo infinitesimal. Newton foi o primeiro en aplicar o cálculo infinitesimal á física xeral, namentres que Leibniz desenvolveu a meirande parte da notación que se emprega hoxe; a miúdo gastou días en determinar símbolos axeitados para cada concepto. A idea básica que tiveran tanto Newton coma Leibniz foi a do Teorema Fundamental do Cálculo.

Gottfried Wilhelm Leibniz foi inicialmente acusado de plaxiar traballos non publicados de Isaac Newton, mais hoxe en día é recoñecido en igual medida coma inventor independente do cálculo infinitesimal.

Cando Newton e Leibniz publicaron os seus resultados por vez primeira, houbo unha grande polémica acerca de que matemático (e por tanto que país) merecía o recoñecemento. Newton obtivo os seus resultados primeiro, mais Leibniz publicounos antes, o que levou a Newton a acusar a Leibniz de roubarlle ideas dos seus apontamentos non publicados. Esta controversia dividiu aos matemáticos de fala inglesa dos matemáticos do continente por moitos anos, en prexuízo dos matemáticos ingleses. A notación de Newton era claramente menos flexible cá de Leibniz, o que provocou certo atraso no desenvolvemento da análise matemática (as matemáticas baseadas no cálculo infinitesimal) no Reino Unido. Os británicos conservaron a notación de Leibniz ata que a comezos do século XIX a chamada Analytical Society introduciu con éxito no Reino Unido o cálculo infinitesimal proposto por Leibniz.

De tódolos xeitos, do estudo coidadoso dos artigos de Leibniz e Newton dedúcese que chegaron independentemente aos seus resultados, empezando Leibniz coa integración e Newton coa diferenciación. Hoxe en día, tanto Newton coma Leibniz son recoñecidos por desenvolver o cálculo infinitesimal de forma independente. De tódolos xeitos, foi Leibniz quen deu á disciplina o seu nome. Newton chamou ao seu cálculo "a ciencia das fluxións".

Tras Leibniz e Newton, moitos matemáticos contribuíron ao continuo desenvolvemento do cálculo infinitesimal. No século XIX, matemáticos coma Cauchy, Riemann e Weierstrass dotaron ao cálculo duns fundamentos máis rigorosos. Foi tamén durante este período que as ideas do cálculo foron xeneralizadas ao espazo euclidiano e ao plano complexo. Lebesgue tamén xeneralizou a noción de integral.

Seki Kowa, un matemático xaponés contemporáneo de Leibniz e de Newton, enunciou tamén algunhas das propiedades fundamentais do cálculo integral. Con todo, o seu traballo non foi coñecido en Occidente por mor da escaseza de contactos co Extremo Oriente.

Hoxe en día, matemáticos de todo o mundo seguen a contribuír no desenvolvemento da disciplina.

Véxase tamén

Outros artigos

• Cálculo multivariábel