Descomposición en fraccións simples

O método de descomposición en fraccións simples ou descomposición en fraccións parciais consiste en descompor un cociente de polinomios nunha suma de fraccións de polinomios de menor grao. Utilízase principalmente en cálculo integral^[1]. Para aplicar os métodos explicados no artigo o grao do polinomio do denominador $g(x)$ debe ser estritamente maior que o do numerador $f(x)$ , en caso contrario deberíamos aplicar antes unha división de polinomios para obter un numerador con grao menor:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+{\frac {f_{1}(x)}{g(x)}}

,

onde $f_{1}(x)$ sería de grao menor a $g(x)$ .

Características

Para maior claridade, sexa:

{\frac {A(x)}{B(x)}}={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+...+a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_{1}x+b_{0}}}

onde $m<n$ . Para reducir a expresión a fraccións parciais débese expresar a función $B(x)$ da forma:

B(x)=(x+a_{n})(x+a_{n-1})...(x+a_{1})(x+a_{0})\,

ou

B(x)=(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})(a_{n-1}x^{2}+b_{n-1}x+c_{n-1})...(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})(a_{0}x^{2}+b_{0}x+c_{0})\,

é dicir, como o produto de factores lineares ou cadráticos.

Casos

Distínguense 4 casos:

Factores lineares distintos

Onde ningún par de factores é idéntico.

{\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{2})}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{n})}}

Onde $A_{1},A_{2},...,A_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Factores lineares repetidos

Onde os pares de factores son idénticos.

{\frac {A_{1}}{(x+a_{1})}}+{\frac {A_{2}}{(x+a_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x+a_{1})^{n}}}

Onde $A_{1},A_{2},...,A_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Factores cadráticos distintos

Onde ningún par de factores é igual.

{\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{n}x^{2}+b_{n}x+c_{n})}}

Onde $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Factores cadráticos repetidos

{\frac {A_{1}x+B_{1}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})}}+{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{2}}}+...+{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{n}}}

Onde $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},...,A_{n},B_{n}\,$ son constantes a determinar, e ningún denominador anúlase.

Cómputo das constantes

Para achar as constantes, no caso de factores lineares distintos pódese utilizar a seguinte fórmula:

A_{k}=\left[{\frac {A(x)}{B(x)}}(x+a_{k})\right]_{x=-a_{k}}

onde $k=(1,2,...,n)$ .

Para os outros casos non existe unha formulación específica. Con todo, estes pódense resolver simplificando e formando un sistema de ecuacións con cada unha das $A_{k}$ .

Exemplo 1

Sexa ${\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}$ .

Pódese descompor en ${\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{x+2}}$ .

Necesitamos atopar os valores a e b.

O primeiro paso é desfacernos do denominador, o que nos leva a:

{\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {a(x+2)+b(x+1)}{(x+1)(x+2)}}

Simplificando

x+3=a(x+2)+b(x+1)

.

O seguinte paso é asignar valores a x, para obter un sistema de ecuacións, e deste xeito calcular os valores a e b.

Porén, podemos facer algunhas simplificacións asignando

{\begin{array}{rlr}x&=-2&\;{\mbox{o que produce}}\\-2+3&=a(-2+2)+b(-2+1)&\;calculando\\1&=-b&\;{\mbox{ é decir}}\\b&=-1\end{array}}

.

Para o caso de a observamos que $x=-1$ facilita o proceso

{\begin{array}{rlr}x&=-1&{}\\-1+3&=a(-1+2)+b(-1+1)&{}\\2&=a&{}\\a&=2&{}\end{array}}

Sendo o resultado

{\frac {x+3}{(x+1)(x+2)}}={\frac {2}{x+1}}+{\frac {-1}{x+2}}

.

Exemplo 2

Sexa ${\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}$ .

Pódese descompor desta maneira

{\frac {a}{x+1}}+{\frac {b}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c}{(x+1)^{3}}}

multiplicando por $(x+1)^{3}$ , temos:

{\frac {(x^{2}+3x+1)(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}={\frac {a(x+1)^{3}}{x+1}}+{\frac {b(x+1)^{3}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {c(x+1)^{3}}{(x+1)^{3}}}

.

Simplificando

x^{2}+3x+1=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c

.

Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuacións.

{\begin{array}{lrclr}{\text{Sexa}}&x&=&0&{\mbox{resulta en}}\\{}&1&=&a+b+c&{}\\{\text{Sexa}}&x&=&1&{}\\{}&5&=&4a+2b+c&{}\\{\text{Sexa}}&x&=&-1&{}\\{}&-1&=&0+0+c&{}\end{array}}

Resolvendo o sistema de ecuacións, temos finalmente

{\frac {x^{2}+3x+1}{(x+1)^{3}}}={\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)^{2}}}+{\frac {-1}{(x+1)^{3}}}

.

Exemplo 3

Temos ${\frac {1}{x(x^{2}+1)}}$ que se pode converter en ${\frac {a}{x}}+{\frac {bx+c}{x^{2}+1}}$ .

Multiplicamos por $x(x^{2}+1)$ temos:

{\frac {x(x^{2}+1)}{x(x^{2}+1)}}={\frac {ax(x^{2}+1)}{x}}+{\frac {(bx+c)x(x^{2}+1)}{x^{2}+1}}

.

Simplificando,

1=a(x^{2}+1)+(bx+c)x

.

Agora podemos asignar valores a x

{\begin{array}{lrcl}{\text{Se}}&x&=&0\\{}&1&=&a\\{\text{Se}}&x&=&1\\{}&1&=&2a+(b+c)\cdot 1\\{}&1&=&2\cdot 1+b+c\\{}&-1&=&b+c\\{\text{Se}}&x&=&-1\\{}&1&=&2a+(-b+c)\cdot -1\\{}&-1&=&b-c\end{array}}

Resolvendo o sistema, resulta $a=1\;b=-1\;c=0$

E o problema resólvese desta maneira

{\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {1}{x}}+{\frac {-x}{x^{2}+1}}

.

Integración de fraccións simples

Para atopar as antiderivadas de fraccións simples pódense distinguir seis casos, dependendo de se o grao do numerador é 0 ou 1, se os polos, é dicir, os ceros do denominador, son reais ou non e se son únicos ou múltiples.

Fraccións simples con polos reais

Hai dous casos para fraccións simples con polos reais, xa que o numerador só pode ter grao 0.

Para polos reais e simples temos

(1)\qquad \int {\frac {A}{x-a}}dx=A\cdot \ln |x-a|+c

e para polos reais e múltiples ( $n\neq 1$ ), temos

(2)\qquad \int {\frac {A}{{(x-a)}^{n}}}dx={\frac {-A\cdot (x-a)^{-(n-1)}}{n-1}}+c

.

Fraccións simples con polos complexos

Hai catro casos para fraccións simples con polos complexos, xa que o grao do numerador pode ser tanto 0 como 1.

No caso de polos complexos e simples e grao de numerador 0, temos

(3)\qquad \int {\frac {B}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {2B}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\cdot \arctan \left({\frac {2x+p}{\sqrt {4q-p^{2}}}}\right)+c

.

No caso con polos complexos e simples e o grao de numerador 1 pódese reducir a expresión a outras na forma de (3):

(4)\qquad \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+px+q}}dx={\frac {B}{2}}\cdot \ln(x^{2}+px+q)+\left(C-{\frac {pB}{2}}\right)\cdot \int {\frac {1}{x^{2}+px+q}}dx+c

Para os dous casos con múltiples polos, as funcións antiderivadas non se poden determinar directamente, mais pódense atopar regras de recursión.

No caso de polos complexos e múltiples ( $n\neq 0$ ) e grao de numerador 0. temos

(5)\qquad \int {\frac {B}{(x^{2}+px+q)^{n+1}}}dx={\frac {B}{(4q-p^{2})\cdot n}}\cdot {\frac {2x+p}{(x^{2}+px+q)^{n}}}+{\frac {2}{4q-p^{2}}}\cdot {\frac {2n-1}{n}}\cdot \int {\frac {B}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx+c.

O caso con polos complexos e múltiples e o grao de reconto 1 pódese reducrir a expresión a outras do tipo (5) ( $n\neq 1$ )

(6)\qquad \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx=-{\frac {B}{2(n-1)}}\cdot {\frac {1}{{(x^{2}+px+q)}^{n-1}}}+\left(C-{\frac {pB}{2}}\right)\cdot \int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n}}}dx+c.

Notas

↑ Horowitz, Ellis. "Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration." Proceedings of the second ACM symposium on Symbolic and algebraic manipulation. ACM, 1971.

Véxase tamén

Bibliografía

Rao, K. R.; Ahmed, N. (1968). "Recursive techniques for obtaining the partial fraction expansion of a rational function". IEEE Trans. Educ. 11 (2): 152–154. Bibcode:1968ITEdu..11..152R. doi:10.1109/TE.1968.4320370.
Henrici, Peter (1971). "An algorithm for the incomplete decomposition of a rational function into partial fractions". Z. Angew. Math. Phys. 22 (4): 751–755. Bibcode:1971ZaMP...22..751H. doi:10.1007/BF01587772.
Chang, Feng-Cheng (1973). "Recursive formulas for the partial fraction expansion of a rational function with multiple poles". Proc. IEEE 61 (8): 1139–1140. doi:10.1109/PROC.1973.9216.
Kung, H. T.; Tong, D. M. (1977). "Fast Algorithms for Partial Fraction Decomposition". SIAM Journal on Computing 6 (3): 582. doi:10.1137/0206042.
Eustice, Dan; Klamkin, M. S. (1979). "On the coefficients of a partial fraction decomposition". American Mathematical Monthly 86 (6): 478–480. JSTOR 2320421.
Mahoney, J. J.; Sivazlian, B. D. (1983). "Partial fractions expansion: a review of computational methodology and efficiency". J. Comput. Appl. Math. 9 (3): 247–269. doi:10.1016/0377-0427(83)90018-3.
Miller, Charles D.; Lial, Margaret L.; Schneider, David I. (1990). Fundamentals of College Algebra (3rd ed.). Addison-Wesley Educational Publishers, Inc. pp. 364–370. ISBN 0-673-38638-4.
Westreich, David (1991). "partial fraction expansion without derivative evaluation". IEEE Trans. Circ. Syst. 38 (6): 658–660. doi:10.1109/31.81863.
Kudryavtsev, L. D. (2001) [1994]. "Undetermined coefficients, method of". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
Velleman, Daniel J. (2002). "Partial fractions, binomial coefficients and the integral of an odd power of sec theta". Amer. Math. Monthly 109 (8): 746–749. JSTOR 3072399. doi:10.2307/3072399.
Slota, Damian; Witula, Roman (2005). "Three brick method of the partial fraction decomposition of some type of rational expression". Computational Science – ICCS 2005. Lect. Not. Computer Sci. 33516. pp. 659–662. ISBN 978-3-540-26044-8. doi:10.1007/11428862_89.
Kung, Sidney H. (2006). "Partial fraction decomposition by division". Coll. Math. J. 37 (2): 132–134. JSTOR 27646303. doi:10.2307/27646303.
Witula, Roman; Slota, Damian (2008). "Partial fractions decompositions of some rational functions". Appl. Math. Comput. 197: 328–336. MR 2396331. doi:10.1016/j.amc.2007.07.048.

Outros artigos

Integral.

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W. "Partial Fraction Decomposition". MathWorld.
Blake, Sam. "Step-by-Step Partial Fractions". Arquivado dende o orixinal o 04 de setembro de 2013. Consultado o 27 de agosto de 2024.
Make partial fraction decompositions with Scilab.

[1] Horowitz, Ellis. "Algorithms for partial fraction decomposition and rational function integration." Proceedings of the second ACM symposium on Symbolic and algebraic manipulation. ACM, 1971.

[1]