Número primo de Mersenne
existen infinitos primos de Mersenne
Un número M é un número de Mersenne se é unha unidade menor que unha potencia de 2. Mn = 2n − 1. Un número primo de Mersenne é un número de Mersenne que ademais é primo, é dicir, Mn = 2n − 1, con n primo (non é unha condición suficiente que n sexa primo para que Mn o sexa).[1]
Denomínanse así en memoria do filósofo e matemático francés do século XVII Marin Mersenne, quen na súa Cognitata Physico-Mathematica realizou unha serie de postulados sobre eles que só puido refinarse tres séculos despois. Aínda que se coñece que estes números xa eran considerados por Euclides de Alexandría (360 a.C. a 295 a.C.), o eminente matemático platónico, creador da xeometría euclidiana, Marin Mersenne chegou a compilar unha listaxe de números primos de Mersenne con expoñentes menores ou iguais a 257, e conxecturou acerca de que eran os únicos números primos desa forma. A súa listaxe só resultou ser parcialmente correcta, xa que por erro incluíu M67 e M257, que son compostos, e omitiu M61, M89 e M107, que son primos; e a súa conxectura revelaríase falsa coa descuberta de números primos de Mersenne máis grandes[2]. Non achegou indicación ningunha sobre como deu con esa listaxe, e a súa verificación rigorosa só se completou máis de dous séculos despois.
- Forman a serie de números de Mersenne primos: M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8.191, M17 = 131.071, M19 = 524.287...
- Forman a serie de números de Mersenne non-primos: M0 = 0 (composto, par); M1 = 1 (singular, impar); M4 = 15, M6 = 63, M8 = 255, M9 = 511, M10 = 1.023, M11 = 2.047, M12 = 4.095...
Propiedades
[editar | editar a fonte]Un resultado elemental sobre os números de Mersenne afirma que se 2n – 1 é un número primo, daquela n tamén é un número primo. Iso porque o polinomio xnm – 1 é divisible polo polinomio xn – 1:
xnn – 1 = (xn – 1) * (xn(m–1) + xn(m–2) ... + x2n + xn + 1)
e os dous factores para x = 2 son números maiores que 1.
Unha das cuestións en aberto na matemática é se existen finitos ou infinitos primos de Mersenne.
Outra propiedade é que, sabendo que xn – 1 é divisible polo polinomio x – 1, podemos admitir que só con x = 2 se poden obter números primos en expresións do tipo xn – 1.
Números primos de Mersenne coñecidos
[editar | editar a fonte]O número primo máis grande que se coñecía en calquera data case sempre era un número primo de Mersenne: desde que comezou a era electrónica en 1951, sempre foi así agás en 1951 e entre 1989 e 1992.
En xaneiro de 2016 só se coñecen 49 números primos de Mersenne, dos cales o maior é M74.207.281 = 274.207.281 − 1, un número de máis de vinte e dous millóns de cifras que foi descuberto polo Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), proxecto centralizado na Universidade de Central de Missouri.[3]
A táboa seguinte amosa a listaxe dos números primos de Mersenne coñecidos, acompañados dos descubridores e da época.[4]
| # | n | Mn | Díxitos de Mn | Data da descuberta | Descubridor |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 1 | Antigüidade | Antigüidade |
| 2 | 3 | 7 | 1 | Antigüidade | Antigüidade |
| 3 | 5 | 31 | 2 | Antigüidade | Antigüidade |
| 4 | 7 | 127 | 3 | Antigüidade | Antigüidade |
| 5 | 13 | 8.191 | 4 | 1456 | Anónimo |
| 6 | 17 | 131.071 | 6 | 1588 | Cataldi |
| 7 | 19 | 524.287 | 6 | 1588 | Cataldi |
| 8 | 31 | 2.147.483.647 | 10 | 1772 | Euler |
| 9 | 61 | 2.305.843.009.213.693.951 | 19 | 1883 | Pervushin |
| 10 | 89 | 618970019…449.562.111 | 27 | 1911 | Powers |
| 11 | 107 | 162259276…010.288.127 | 33 | 1914 | Powers |
| 12 | 127 | 170141183…884.105.727 | 39 | 1876 | Lucas |
| 13 | 521 | 686479766…115.057.151 | 157 | 30 de xaneiro de 1952 | Robinson |
| 14 | 607 | 531137992…031.728.127 | 183 | 30 de xaneiro de 1952 | Robinson |
| 15 | 1.279 | 104079321…168.729.087 | 386 | 25 de xuño de 1952 | Robinson |
| 16 | 2.203 | 147597991…697.771.007 | 664 | 7 de outubro de 1952 | Robinson |
| 17 | 2.281 | 446087557…132.836.351 | 687 | 9 de outubro de 1952 | Robinson |
| 18 | 3.217 | 259117086…909.315.071 | 969 | 8 de setembro de 1957 | Riesel |
| 19 | 4.253 | 190797007…350.484.991 | 1.281 | 3 de novembro de 1961 | Hurwitz |
| 20 | 4.423 | 285542542…608.580.607 | 1.332 | 3 de novembro de 1961 | Hurwitz |
| 21 | 9.689 | 478220278…225.754.111 | 2.917 | 11 de maio de 1963 | Gillies |
| 22 | 9.941 | 346088282…789.463.551 | 2.993 | 16 de maio de 1963 | Gillies |
| 23 | 11.213 | 281411201…696.392.191 | 3.376 | 2 de xuño de 1963 | Gillies |
| 24 | 19.937 | 431542479…968.041.471 | 6.002 | 4 de marzo de 1971 | Tuckerman |
| 25 | 21.701 | 448679166…511.882.751 | 6.533 | 30 de outubro de 1978 | Noll e Nickel |
| 26 | 23.209 | 402874115…779.264.511 | 6.987 | 9 de febreiro de 1979 | Noll |
| 27 | 44.497 | 854509824…011.228.671 | 13.395 | 8 de abril de 1979 | Nelson e Slowinski |
| 28 | 86.243 | 536927995…433.438.207 | 25.962 | 25 de setembro de 1982 | Slowinski |
| 29 | 110.503 | 521928313…465.515.007 | 33.265 | 25 de setembro de 1988 | Colquitt e Welsh |
| 30 | 132.049 | 512740276…730.061.311 | 39.751 | 20 de setembro de 1983 | Slowinski |
| 31 | 216.091 | 746093103…815.528.447 | 65.050 | 6 de setembro de 1985 | Slowinski |
| 32 | 756.839 | 174135906…544.677.887 | 227.832 | 19 de setembro de 1992 | Slowinski e Gage |
| 33 | 859.433 | 129498125…500.142.591 | 258.716 | 10 de xaneiro de 1994 | Slowinski e Gage |
| 34 | 1.257.787 | 412245773…089.366.527 | 378.632 | 3 de setembro de 1996 | Slowinski e Gage |
| 35 | 1.398.269 | 814717564…451.315.711 | 420.921 | 13 de novembro de 1996 | GIMPS / Joel Armengaud |
| 36 | 2.976.221 | 623340076…729.201.151 | 895.932 | 24 de agosto de 1997 | GIMPS / Gordon Spence |
| 37 | 3.021.377 | 127411683…024.694.271 | 909.526 | 27 de xaneiro de 1998 | GIMPS / Roland Clarkson |
| 38 | 6.972.593 | 437075744…924.193.791 | 2.098.960 | 1 de xuño de 1999 | GIMPS / Nayan Hajratwala |
| 39 | 13.466.917 | 924947738…256.259.071 | 4.053.946 | 14 de novembro de 2001 | GIMPS / Michael Cameron |
| 40 | 20.996.011 | 125976895…855.682.047 | 6.320.430 | 17 de novembro de 2003 | GIMPS / Michael Shafer |
| 41 | 24.036.583 | 299410429…733.969.407 | 7.235.733 | 15 de maio de 2004 | GIMPS / Josh Findley |
| 42* | 25.964.951 | 122164630…577.077.247 | 7.816.230 | 18 de febreiro de 2005 | GIMPS / Martin Nowak |
| 43* | 30.402.457 | 315416475…652.943.871 | 9.152.052 | 15 de decembro de 2005 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone[1] |
| 44* | 32.582.657 | 124575026…053.967.871 | 9.808.358 | 4 de setembro de 2006 | GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone[2] |
| 45* | 37.156.667 | 202254406…308.220.927 | 11.185.272 | 6 de setembro de 2008 | GIMPS / Hans-Michael Elvenich |
| 46* | 42.643.801 | 169873516…562.314.751 | 12.837.064 | 12 de abril de 2009 | GIMPS / Odd M. Strindmo |
| 47* | 43.112.609 | 316470269…697.152.511 | 12.978.189 | 23 de agosto de 2008 | GIMPS / Edson Smith |
| 48* | 57.885.161 | 581887266…724.285.951 | 17.425.171 | 25 de xaneiro de 2013 | GIMPS / Curtis Cooper |
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Mersenne prime. En Wolfram MathWorld. [En inglés]
- ↑ Raymond Clare Archibald. "Mersenne's numbers". En Scripta Mathematica. Volume 3. 1935. Páxinas 112 a 119. [En inglés]
- ↑ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. [En inglés]
- ↑ List of Known Mersenne Prime Numbers. No sitio web do GIMPS. [En inglés]
