Teorema de Hasse-Minkowski

O teorema de Hasse-Minkowski é un resultado fundamental na teoría de números que afirma que dúas formas cadráticas sobre un corpo numérico son equivalentes se e só se son equivalentes localmente en todos os lugares, é dicir, equivalentes en cada completamento do corpo (que pode ser real, complexo ou p-ádico). Un resultado relacionado é que unha forma cadrática sobre un corpo numérico representa a cero de forma non trivial se e só se isto vale para tódolos completamentos do corpo. O teorema foi demostrado no caso do corpo dos números racionais por Hermann Minkowski e xeneralizado aos corpos numéricos por Helmut Hasse. A mesma afirmación é aínda máis xeral para todos os corpos globais .

Importancia

A importancia do teorema de Hasse-Minkowski reside no novo paradigma que representa para responder a preguntas aritméticas: para determinar se unha ecuación dun determinado tipo ten unha solución en números racionais, é suficiente probar se ten solucións sobre corpos completos de números reais e p-ádicos, onde se aplican consideracións analíticas, como o método de Newton e o seu análogo p-ádico, o lema de Hensel. Isto está encapsulado na idea dun principio local-global, que é unha das técnicas fundamentais da xeometría aritmética.

Enunciado

Sexa $f$ unha forma cadrática sobre $\mathbb {Q}$ e para $p\in V{\text{ sexa }}f_{p}$ a forma considerada sobre $\mathbb {Q} _{p}$ (o que ten sentido pois $\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} _{p}$). Daquela $f$ representa $0$ se e só se $f_{p}$ representa $0$ para todo $p\in V$.

Exemplos

Para demostrar que non existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global $\mathbb {Q}$ é abondo con probar que non existe solución nun corpo local (por exemplo un corpo p-ádico $\mathbb {Q} _{p}$).

Porén, para demostrar que si existe solución para unha ecuación cadrática no corpo global $\mathbb {Q}$ debemos probar que existe solución en todos os corpos locais $\mathbb {Q} _{p}$.

Exemplo de solución existente

Temos $f(x,y,z)=5x^{2}+7y^{2}-13z^{2}$ e queremos saber se ten solución $f(x_{0},y_{0},z_{0})=0\in \mathbb {Q} ^{3}$.

Desglosamos varios casos:

• En $\mathbb {Q} _{p}$ onde $p\not {|}\ 2\cdot 5\cdot 7\cdot 13$.

Sábese que en todo corpo finito existe solución para unha forma cadrática en polo menos 3 variábeis. Polo tanto temos unha solución non trivial de $5x^{2}+7y^{2}-13z^{2}\equiv 0{\pmod {p}}$ onde algún de $x_{0},y_{0},z_{0}$ é non divisíbel por $p$, supomos que é $x_{0}$, así fica $f(x)=5x^{2}+7y_{0}^{2}-13z_{0}^{2}$ con valoración p-ádica $v_{p}(f(x_{0}))\geq 1$. Mentres que teríamos $f'(x_{0})=10x_{0}\not \equiv 0{\pmod {p}}$ posto que $p\not {|}\ 2\cdot 5\cdot x_{0}$. Logo, polo lema de Hensel podemos levantar a unha solución $f({\overline {x_{0}}},y_{0},z_{0})=0\in \mathbb {Q_{p}} ^{3}$.

• En $\mathbb {Q} _{2}$

Para $y_{0}=0,z_{0}=1$ temos $f(x)=5x^{2}-13$ e $f'(x_{0})=10x_{0}$. Así $x_{0}=1$ é unha solución de $f$ con $v_{2}(f(1))=3$ e $v_{2}(f'(1))=1$, por tanto polo lema de Hensel podemos levantar a solución a $f({\overline {x_{0}}},y_{0},z_{0})=0\in \mathbb {Q_{2}} ^{3}$.

• Repetimos o proceso para $\mathbb {Q} _{5},\mathbb {Q} _{7}{\text{ e }}\mathbb {Q} _{13}$ procurando solucións simples con valoracións maiores que 0 en 5, 7 e 13 (solución con eses valores como factor) e onde a derivada teña valoración 0:
  • $\mathbb {Q} _{5}$, $x_{0}=0,y_{0}=2,f(z_{0})=28-13z_{0}^{2}$, que para $z_{0}=1$ ten diferenza $15=3\cdot 5$ e por tanto valoración 1.
  • $\mathbb {Q} _{7}$, $x_{0}=2,y_{0}=0,f(z_{0})=20-13z_{0}^{2}$, que para $z_{0}=1$ ten diferenza $7$ e por tanto valoración 1.
  • $\mathbb {Q} _{13}$, $x_{0}=3,z_{0}=1,f(y_{0})=45+7y_{0}^{2}$, que para $y_{0}=1$ ten suma $52=13\cdot 4$ e por tanto valoración 1.

Por todo isto temos solución en todos os $\mathbb {Q} _{p}^{3}$ e ten solucións evidentes en $\mathbb {R} ^{3}$ e por tanto existe solución en $\mathbb {Q}$.

Aplicación na clasificación de formas cadráticas

O teorema de Hasse-Minkowski reduce o problema de clasificar formas cadráticas sobre un corpo numérico K até a equivalencia, a resolver as mesmas cuestións dun modo moito máis simple sobre corpos locais. As invariantes básicas dunha forma cadrática non singular son a súa dimensión, que é un número enteiro positivo, e o seu discriminante módulo os cadrados en K, que é un elemento do grupo multiplicativo K^* / K^*2. Alén diso, para cada lugar v de K, hai unha invariante procedente do completamento de K _v. Dependendo da elección de v, este completamento poden ser os números reais R, os números complexos C, ou un corpo de números p-ádicos, cada un deles ten diferentes tipos de invariantes:

• Caso de R. Pola lei de inercia de Sylvester, a sinatura (ou, alternativamente, o índice negativo de inercia) é unha invariante completa.
• Caso de C. Todas as formas cadráticas non singulares da mesma dimensión son equivalentes.
• Caso de Q _p e as súas extensións alxébricas . As formas da mesma dimensión clasifícanse até a equivalencia pola súa invariante de Hasse.

Estas invariantes deben satisfacer algunhas condicións de compatibilidade: unha relación de paridade (o signo do discriminante debe coincidir co índice negativo de inercia) e unha fórmula do produto (unha relación local-global). Pola contra, para cada conxunto de invariantes que satisfán estas relacións, hai unha forma cadrática sobre K con estas invariantes.

Véxase tamén

Bibliografía

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021. 
• Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001. 

Outros artigos

• Principio local-global.