Vector unitario

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Vector (homónimos).

En álxebra linear e física, un vector unitario ou versor é un vector de módulo un. Pode chamarse tamén vector normalizado.

Notación

Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como $\mathbf {\hat {r}}$ (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve ($\mathbf {\breve {r}} \,$) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector $\mathbf {r} \,$ na forma $\mathbf {u} _{\text{r}}\,$.

Definición

Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario.

Sexa o vector v ∈ ℝⁿ. Dise que v é un vector unitario e indícase mediante $\mathbf {\hat {v}}$ se e só se o módulo de v é igual a 1.

Ou en forma máis compacta:

$\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\Rightarrow \mathbf {v} \equiv \mathbf {\hat {v}} \Leftrightarrow |\mathbf {v} |=1$

Versor asociado a un vector

Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado $\mathbf {v} \,$. A tal vector denomínase versor asociado ao vector $\mathbf {v} \,$ e pódese representar ben sexa por ${\hat {\mathbf {v} }}\,$ ou por $\mathbf {u} _{v}\,$ e indica unha dirección no espazo.

A operación que permite calcular ${\hat {\mathbf {v} }}\,$ é a división do vector entre o seu módulo.

$\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\vec {\mathbf {v} }}{|\mathbf {v} |}}$

O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase normalización do vector, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como vector normalizado.

O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior.

Produto escalar de dous vectores

No espazo euclidiano, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade:

$\mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =|\mathbf {\hat {u}} ||\mathbf {\hat {v}} |\cos \theta$

Pero como:

$|\mathbf {\hat {u}} |=|\mathbf {\hat {v}} |=1$

Entón:

$\mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos \theta$

onde θ é o ángulo entre ambos vectores.

Proxección escalar

Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor.

$\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} ||\mathbf {\hat {n}} |\cos \theta$

Como o módulo do vector $\mathbf {\hat {n}}$ é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en:

$\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} |\cos \theta$

de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.

Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie.

Vectores cartesianos

Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos $x,\,y,\,z\,$ desígnanse por $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \,$, respectivamente.

Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.

Exemplo: a expresión analítica do vector ${\mathbf {v} =(1,-2,3)\,}$ é

${\mathbf {v} =\mathbf {i} -2\mathbf {j} +3\mathbf {k} }$