משולש פסקל

משולש פסקל הוא סידור של מספרים בצורת משולש, הנבנה באופן הבא: הקודקוד העליון של משולש זה מכיל את המספר 1, וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו (המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1). למשולש פסקל יש חשיבות רבה בקומבינטוריקה מכיוון שהמספר ה-m בשורה ה-n הוא מספר הדרכים השונות שבהן אפשר לבחור m עצמים מתוך n עצמים, ללא חזרות וללא חשיבות לסדר. (השורה הראשונה שבה מופיע המספר 1 ממוספרת כ-0, כלומר לא נחשבת בספירה. כמו כן ה"טור" הראשון, שממוספר ב-1 לא נחשב כספירת טורים. ולכן בשורה הרביעית (4,6,4) האיבר ה-2 הוא 6, וזה בדומה ל- ${4 \choose 2}=6$ ).

היסטוריה

משולש פסקל היה ידוע כבר בימי הביניים למלומדים סיניים, הודיים ומוסלמים. בלז פסקל עסק במשולש זה, שאותו כינה "המשולש האריתמטי", בספרו Traité du triangle arithmétique, שיצא לאור בשנת 1655, ועסק בשימושים של משולש פסקל בתורת ההסתברות. השם משולש פסקל, שהתקבל בעקבות תיאורו בספרו של פסקל, ניתן לו רק בתחילת המאה ה-18.

תכונות מתמטיות

מקדמי בינום

כמה דרכים יש לבחור ועד בן m חברים בכתה שיש בה n תלמידים? במילים אחרות, כמה תת-קבוצות בגודל m יש לקבוצה בגודל n? שאלה זאת ממלאת תפקיד מרכזי בקומבינטוריקה, ולכן התשובה לה זכתה לסימון מיוחד: ${n \choose m}$ , הנקרא מקדם בינומי. זהו הערך במקום ה-m בשורה ה-n של משולש פסקל (בשורה ה-n יש n+1 ערכים, הממוספרים 0 עד n).

כדי להיווכח בכך נקבע איבר מיוחס בקבוצה הנתונה בגודל n. יש $\ {n-1 \choose m}$ תת-קבוצות בגודל m שאינן כוללות את האיבר הזה, ועוד $\ {n-1 \choose m-1}$ תת-קבוצות באותו גודל הכוללות את האיבר (ועוד m-1 איברים אחרים). מכאן ש- ${n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}$ , זו ידועה בשם זהות פסקל. משולש פסקל מקודד את העובדה הזו באופן גרפי, משום שהמספרים שמעל המקום ה-m בשורה ה-n במשולש הם המקומות ה-m וה-(m-1) בשורה ה-(n-1).

בזכות נוסחת הנסיגה הזו, המספרים במשולש פסקל מופיעים בנוסחת הבינום של ניוטון: $\ (x+y)^{n}=(x+y)\cdot (x+y)^{n-1}$ , ולכן המקדם של $\ x^{k}y^{n-k}$ בביטוי משמאל שווה לסכום המקדמים של $\ x^{k-1}y^{n-k}$ ושל $\ x^{k}y^{n-k-1}$ בחזקה $\ (x+y)^{n-1}$ . כך למשל, $\left(x+y\right)^{4}=1x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+1y^{4}$ .

תכונות של שורות

כל שורה במשולש פסקל היא סימטרית סביב האמצע שלה: ${n \choose m}={n \choose n-m}$ . ניתן להיווכח בכך באופן פשוט: מספר הדרכים לבחור m עצמים, שווה למספר הדרכים לא לבחור את n-m העצמים שנותרו.
הסכום של המספרים בשורה ה-n במשולש שווה ל- $\,2^{n}$ (בנוסחא: $\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}=2^{n}$ ). ניתן להיווכח בכך באינדוקציה: כל מספר בשורה מסוימת, תורם פעמיים לסכום המספרים בשורה שמתחתיו; מכאן משתמע שסכום המספרים בכל שורה הוא בדיוק פעמיים סכום המספרים בשורה שמעליה.
סכום הערכים במקומות הזוגיים בשורה נתונה, שווה לסכום הערכים במקומות האי-זוגיים באותה שורה (מלבד בשורה העליונה). הסיבה היא שלכל $\ n>0$ מתקיים $\ \sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{n \choose m}=(1-1)^{n}=0$ .
כל שורה במשולש פסקל הנה סדרה אונימודלית.

סדרות של מספרים

הקו שמתאר את הצלע החיצונית ביותר במשולש פסקל מכיל את המספרים 1,1,1,1,1...
הקו הבא המקביל לו מכיל את המספרים הטבעיים: 1,2,3,4....
הקו הבא המקביל לו מכיל את המספרים המשולשים: 1,3,6,10,.... מספרים אלו מתקבלים כאשר בונים משולש שווה-צלעות מקבוצת עצמים.
הקו הבא המקביל לו מכיל את המספרים הטטרהדרליים: 1,4,10,20,35... מספרי הכדורים הנחוצים לבניית פירמידה משולשת.
הקו הבא המקביל לו מכיל את מספרי סימפלקס 4.

אם צובעים את המספרים האי-זוגיים במשולש בשחור, ואת המספרים הזוגיים בלבן, מתקבל פרקטל הקרוי משולש שרפינסקי.

ראשוניות

$p$ הוא ראשוני אם ורק אם כל המספרים בשורה $p$ מתחלקים ב $p$ (חוץ מהאחדות שבצדדים).

הוכחה:

א. נניח ש-p ראשוני. לפי ההגדרה הקומבינטורית היחס ${\binom {p}{k}}={\frac {p!}{k!(p-k)!}}={\frac {p(p-1)\cdot \cdot \cdot (p-k+1)}{k!}}$ הוא שלם, אבל p מחלק את המונה שלו, וזר למכנה. מכאן שהיחס ${\frac {(p-1)\cdot \cdot \cdot (p-k+1)}{k!}}$ שלם (וזאת לכל k).

ב. נניח ש-n אינו ראשוני. נסמן ב-p את הגורם הראשוני הקטן ביותר של n, ונכתוב $n=kp$ . ביחס ${\frac {\binom {n}{p}}{n}}={\frac {\frac {n(n-1)\cdot \cdot \cdot (n-p+1)}{p!}}{n}}={\frac {(n-1)\cdot \cdot \cdot (n-p+1)}{p(p-1)!}}$ , הראשוני p מחלק את המכנה אבל לא את המונה, מכיוון ש- $p\nmid n-1,n-2,...,n-p+1$ , ולכן היחס אינו שלם.