פאון

היטל תלת-ממדי של פאון ארבע-ממדי בן 1,860 קודקודים ו-5,340 מקצועות.

פֵּאוֹן (או ביוונית: פוליהדרון, באנגלית: Polyhedron) הוא גוף תלת-ממדי המורכב מפאות, היוצרות יחד גוף קשיר, חסום וסגור. המונח "פאון" מתייחס גם לגופים בעלי תכונות דומות מממד גבוה יותר (הגם שבאנגלית גוף תלת-ממדי נקרא polyhedron, ופאון כללי הוא polytope).

ישנם 5 סוגי פאונים משוכללים (תלת-ממדיים), הנקראים גם "פאונים משוכללים": ארבעון (פירמידה משולשת בעלת 4 פאות משולשות) קובייה (בעלת 6 פאות ריבועיות), תמניון (בעל 8 פאות משולשות), תריסרון (בעל 12 פאות מחומשות) ועשרימון (בעל 20 פאות משולשות).

קבוצת נוספת של פאונים הדומים לפאונים האפלטוניים היא הפאונים הארכימדיים. בקבוצה זו יש שלושה-עשר פאונים, מהם שניים בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב). מנסרה, פירמידה מרובעת ופאונים נוספים אינם נחשבים פאונים משוכללים משום שאינם בנויים מפאות זהות. הפאונים האפלטוניים והארכימדיים, יחד עם כל המנסרות והאנטי-מנסרות הם משוכללים למחצה.

בשנת 1900 פרסם דויד הילברט את רשימת 23 הבעיות שלו, שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה. הבעיה השלישית של הילברט שואלת האם אפשר לעבור מפאון נתון לכל פאון שווה שטח אחר, באמצעות חיתוך והרכבה. בעיה זו נפתרה זמן קצר אחר-כך על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.

טרמינולוגיה

רומביקוסידודקהדרון

הטרמינולוגיה המיוחדת לפאונים, כגון האיקוסידודקהדרון הקטום וההקסגון המסותת, היא עניין סבוך ומבלבל. השמות נגזרים בדרך כלל מיוונית ומלטינית, והם נסמכים על הכללים שקבע קפלר, שגילה (מחדש) את הפאונים הארכימדיים ועסק רבות בתחום.

מספר הפאות

בהכללה מן המקרה הדו-ממדי, שבו נקרא כל מצולע על-פי מספר הצלעות שלו, שמו של פאון אמור להציג בראש וראשונה את מספר הפאות. תוספות לשם מתארות משהו מן המבנה המרחבי, או מצביעות על קשר בין הפאון המדובר לפאון פשוט יותר.

הבסיס לכל שם הוא מספר הצלעות, הנגזר מן התחיליות היווניות, והסיומת הקבועה '-הדרון'. התחיליות החשובות הן דו- (2), טטר- (4), הקס- (6), אוקט- (8), דקה- (10), איקוס- (20), הקטו- (100). כדי לבטא מספרים אחרים, מחברים תחיליות. כך למשל דודקהדרון הוא פאון בן 12 פאות, ולאיקוסידודקהדרון יש 20+10+2=32 פאות. הצירוף -קונט- מבטא קבוצות של עשר, כך שלטטרקונטהדרון יש 40 פאות.

בעברית מקובלים גם שמות אלו, שנגזרו מיוונית, וגם השמות המעוברתים ארבעון (טטרהדרון), תריסרון (=דודקהדרון), עשרימון (איקוסהדרון), וכדומה.

צורת הפאות

במקרה הדו-ממדי, המונח "מתומן" עשוי לתאר כל מצולע בן 8 צלעות, בעוד ש"מתומן משוכלל" הוא מתומן שכל זוויותיו שוות. באופן דומה, "דודקהדרון" עשוי להיות כל פאון בן 12 צלעות, ו"דודקהדרון משוכלל" הוא דודקהדרון שכל פאותיו מצולעים משוכללים. בפאונים, רמת השכלול שניתן להגיע אליה מורכבת יותר: ייתכן שכל הזויות המרחביות יהיו חופפות, שכל הפאות יהיו משוכללות וחופפות זו לזו, וכדומה. כל אחת מתכונות אלה עשויה לזכות את הפאון בתואר "משוכלל", ולעיתים קרובות נדרש ביאור נוסף כדי לאפיין את הפאון באופן חד-משמעי. הקובייה, אם-כך, אינה אלא הקסהדרון משוכלל.

סיומות אחרי המלה מציגות את מבנה הפאות, במקרה שאלו אינן משוכללות. למשל, "איקוסיטטרהדרון מחומש" הוא פאון בן 24 פאות, שכולן מחומשות (בדרך כלל הכוונה היא למחומשים משוכללים). ל"דודקהדרון מעוין" יש 12 פאות בצורת מעוין (בשפות הלטיניות מקובלת במקרה כזה התחילית רומבי-). הצורה "דלתוני" מתארת פאון שבו כל פאה היא בצורת דלתון; באנגלית מקובלת כאן התחילית טרפזו-, בהתאם למינוח האנגלי, ולא האמריקאי).

סיומת המתארת את צורת הפאה עשויה לאפיין את הפאון כחבר במשפחה אינסופית מוכרת. לדוגמה, "מנסרה מתומנת" היא מנסרה, שהבסיסים שלה מתומנים. ה"דו-פירמידה המתושעת" מתקבלת מהדבקת שתי פירמידות, שלכל אחת מהן בסיס מתושע ותשע פאות משולשות, בבסיסיהן.

בנייה ושינוי

קובייה קטומה, המתקבלת מקיטום הפינות של קובייה והחלפתן במשולשים.

קובייה מסותתת, המתקבלת מסיתות המקצועות של הקובייה לזוגות של משולשים.

פאונים מעניינים רבים מתקבלים בדרכים שונות מפאונים אחרים. במקרה כזה המינוח עשוי להתייחס לפאון-האב, תוך ציון האופן שבו נוצר הפאון החדש.

הצירוף -קיס- (-kis-) מתאר פירוק כל אחת מן הפאות של הפאון הישן למשולשים, הנפגשים כולם בנקודה אחת, במרכז הפאה. אם פעולה זו נעשתה בפאות הריבועיות של קובייה, הפאון הנוצר נקרא "קובייה קיסית", או "קובייה טטרקיסית" (משום שהפאות שהוחלפו היו טטרגונים, היינו מרובעים). "דודקהדרון קיסי" (או "פנטקיסי") מתקבל מדודקהדרון, על ידי החלפת כל פאה מחומשת בחמישה משולשים הנפגשים בנקודה.

המונח קטום (truncated) מתייחס לתהליך של קיטום הפינות, כבאיור משמאל. הקיטום מוסיף פאה במקומו של כל קודקוד (מספר הצלעות בפאה החדשה שווה למספר הפאות שנפגשו בקודקוד), ומכפיל את מספר הצלעות של כל פאה. קיים גם קיטום עמוק יותר, שבו מישורי החיתוך של הפינות נפגשים, ומכל פאה משוכללת נשארת פאה משוכללת בעלת אותו מספר צלעות. גם התוצאה של חיתוך כזה מתוארת במונח "קטום".

המונח מסותת (snub) מתאר תהליך שבו מוחלף כל מקצוע של הפאון בזוג משולשים. בקוביה המסותתת (משמאל), הפאות הישנות נותרות במקומן, ו-12 המקצועות מוחלפים ב-24 משולשים משוכללים; גם שמונה הקודקודים הופכים למשולשים. זהו תהליך כיווני, משום שבזמן הוספת המשולשים יש לקבוע לאיזה כיוון יסתובבו הפאות הקיימות; לכן יש שתי צורות לא-חופפות של קובייה מסותתת. סיתות האוקטהדרון, שהוא הפאון הדואלי של הקוביה, מביא לאותה תוצאה: שמונה הקודקודים הופכים לשמונה ריבועים, בעוד ש-12 המקצועות הפכו ל-24 פאות משולשות. מסיבה זו מקובל לקרוא לקוביה המסותתת (שהיא הקסהדרון מסותת, וגם אוקטהדרון מסותת) בשם "קובוקטהדרון מסותת". סיתות הפאונים הדואליים דודקהדרון ואיקוסהדרון מביא גם הוא לאותה צורה, הנקראת איקוסידודקהדרון מסותת. השם "איקוסידודקהדרון" מציין שילוב בין דודקהדרון (12) לאיקוסהדרון (20) הדואליים, ואין לו קשר לפאון בן 32 צלעות, כפי שהשם עלול לרמוז.

פאון מכוכב הוא כזה שבו חלק מהמקצועות (או כולם) נמשכים כלפי חוץ, עד שהם נפגשים פעם נוספת. פאונים כאלה אינם קמורים, כמובן. יש דרכים רבות לככב את אותו פאון (לדוגמה, יש 59 איקוסהדרונים מכוככבים). פאון הוא מוגדל אם עבר תהליך דומה, שבו ממשיכים את הפאות (ולא את המקצועות).

מימין: ריבוע - פאון דו-ממדי, קובייה - פאון תלת-ממדי, היפרקובייה ארבע ממדית

המילה "פאון" משמשת בעברית גם לתיאור גוף מממד כלשהו (מ-2 ואילך) המורכב מפאות (באנגלית polytope, להבדיל מפאון תלת-ממדי, הקרוי polyhedron).

את מספר הפאות מממד i של פאון P מסמנים ב-$\ f_{i}(P)$. לכל פאון בעל n קודקודים מתקימים החסמים $\ f_{i}(S(d,n))\leq f_{i}(P)\leq f_{i}(C(d,n))$, כאשר $\ S(d,n)$ הוא הפאון המגובב בממד d עם n קודקודים, המתקבל מגיבוב סימפלקס על אחת הפאות של $\ S(d,n-1)$; ו-$\ C(d,n)$ הוא הפאון הציקלי, שהוא הקמור של n נקודות (כלשהן) על העקום $\ (t,t^{2},\dots ,t^{d})$. לדוגמה, לפאון הציקלי יש ${n \choose i}$ פאות i-ממדיות עבור i<d/2.

נוסחת אוילר

נוסחת אוילר קושרת בין מספר פאותיו, מספר המקצועות ומספר הקודקודים של פאון תלת־ממדי. הנוסחה היא V - E + F = 2, כאשר V הוא מספר הקודקודים של הפאון, E הוא מספר המקצועות ו-F הוא מספר הפאות. נוסחת אוילר היא מקרה פרטי של נוסחת אוילר-פונקארה עבור מֵמד d=3.

נוסחת אוילר לפאונים משוכללים
פאון	V מספר הקודקודים	F מספר הפאות	E מספר הצלעות	V - E + F
ארבעון	4	4	6	2
קובייה	8	6	12	2
תמניון	6	8	12	2
תריסרון	20	12	30	2
עשרימון	12	20	30	2

פאונים תלת־ממדיים

נוסחת אוילר היא תנאי הכרחי על הערכים V,E,F של פאון תלת־ממדי (אבל לא מספיק), אמנם על ידי הוספת שני תנאים נוספים אפשר להגיע גם לתנאי מספיק.

לכל פאון תלת־ממדי נסמן ב-$f_{i}$ את מספר הפאות ממֵמד $i$ כלומר מספר הקודקודים הוא $f_{0}$, מספר הצלעות הוא $f_{1}$ ומספר הפאות הוא $f_{2}$.

נגדיר: $f=(f_{0},f_{1},f_{2})$ להיות ה"$f$-וקטור" של הפאון.

משפט: וקטור של ערכים שלמים אי שליליים $f=(f_{0},f_{1},f_{2})$ הוא $f$-וקטור של פאון תלת־ממדי אם ורק אם מתקיימים 3 התנאים הבאים:

1. $f_{0}-f_{1}+f_{2}=2$ (זו נוסחת אוילר)
2. $f_{2}-4\leq 2(f_{0}-4)$
3. $f_{0}-4\leq 2(f_{2}-4)$

פאון גמיש

משפט קושי קובע שפאון קמור תלת-ממדי הוא קשיח, כלומר אי אפשר לשנות את צורתו בלי לשנות לפחות אחת מפאותיו. ניתן לבנות פאון שאינו קמור, כך שיהיה פאון גמיש , כלומר ניתן לשנות את צורתו ללא שינוי של פאותיו. פאון גמיש שאינו חותך את עצמו נבנה לראשונה בשנת 1977 על ידי רוברט קונלי , והוא כלל 18 פאות. בהמשך נבנה פאון גמיש שלו 14 פאות משולשות.

קישורים חיצוניים

• Polyhedra Names
• פאון, באתר MathWorld (באנגלית)
• פאון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• פוליהדרה, דף שער בספרייה הלאומית