Taylorov red

Aproksimacija eksponencijalne funkcije u ishodištu Taylorovim polinomima n-tog stupnja

U matematičkoj analizi Taylorov red ili Taylorov razvoj funkcije u nekoj točki zbroj je beskonačno mnogo n-tih potencija varijable množenih n-tim derivacijama funkcije izvrijednjenim toj točki.

Da bi se definirao Taylorov red funkcije $f$ ona mora biti klase $C^{\infty }$ na nekom intervalu $I$ , što znači da ima n-tu derivaciju za svaki prirodan broj $n$ i da su te derivacije neprekidne funkcije na $I$ . U točki $c$ intervala $I$ Taylorov red za funkciju $f$ glasi:^[1]

f(c)+{\frac {f'(c)}{1!}}(x-c)+{\frac {f''(c)}{2!}}(x-c)^{2}+\dots +{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}+\dots

Za $c=0$ Taylorov red se naziva Maclaurinov red. Gornji red može divergirati za svako $x\neq c$ ili konvergirati nekoj drugoj funkciji, pa su za definiciju funkcije potrebna dodatna ispitivanja derivacija $f^{(n)}$ .

Primjeri

Taylorov razvoj izvor je mnogih razvoja funkcija u redove koji se upotrebljavaju za približni izračun ili za definiciju funkcija. Neki od Taylorovih redova za elementarne funkcije jesu:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

Taylorov polinom

Za približni izračun koristi se Taylorov polinom:^[1]

T_{n}(x)=f(c)+{\frac {f'(c)}{1!}}(x-c)+\dots +{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-c)^{n}

gdje se funkcija

R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)

naziva n-ti ostatak funkcije $f$ i može se zapisati u Lagrangeovom integralnom obliku:

R_{n}(x)=\int _{c}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}dt

Kriterij konvergencije

Konvergencija Taylorovog razvoja funkcije $f$ zavisi od brzine rasta derivacija $f^{(n)}$ u okolini točke $c$ . U vezi s tim može se pokazati sljedeći teorem:

Neka je $f$ realna funkcija klase $C^{\infty }$ definirana na intervalu $I$ . Ako postoji prirodan broj $n_{0}$ i realni pozitivni brojevi $\delta ,M,C$ takvi da je

|f^{(n)}(x)|\leq C\cdot M^{n}\cdot n!

za svako $x$ iz intervala $I'=(c-\delta ,c+\delta )\cap I$ i za svako $n\geq n_{0}$ , tada Taylorov red konvergira k $f(x)$ za svako $x\in I'$ za koje je