Szigorúan nem palindrom számok

Egy szigorúan nem palindrom szám olyan n természetes szám, amely nem palindrom szám egyetlen b alapú számrendszerben sem, ahol 2 ≤ b ≤ n − 2. Például a 6 kettes számrendszerben 110, hármas számrendszerben 20, négyes számrendszerben pedig 12, melyek egyike sem palindrom – ezért a 6 szigorúan nem palindrom.

Egy másik példa, a 167 b (2 ≤ b ≤ 165) alapú számrendszerben:

b	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	...	162	163	164	165
167 megfelelő alakja:	10100111	20012	2213	1132	435	326	247	205	167	142	11B	CB	BD	B2	A7	9E	95	8F	87	7K	7D	76	6N	6H	...	15	14	13	12

melyek egyike sem palindrom, ezért a 167 is szigorúan nem palindrom.

A szigorúan nem palindrom számok sorozata így kezdődik:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, 1019 … (A016038 sorozat az OEIS-ben)

Egy n szám esetében a szigorúan nem palindrom tulajdonság vizsgálata abból áll, hogy meg kell vizsgálni valamennyi alapra n − 2-ig. A felső határ a következők miatt áll fenn:

bármely n ≥ 2 11-ként írandó n − 1-es számrendszerben, tehát n palindrom n − 1-es számrendszerben;
bármely n ≥ 2 10-ként írandó n-es számrendszerben, tehát n nem palindrom n-es számrendszerben;
bármely n ≥ 1 egyjegyű szám minden b > n-es számrendszerben, ezért n palindrom minden ilyen számrendszerben.

A fentiekből látható, hogy az n − 2 mint felső korlát szükséges ahhoz, hogy matematikailag „érdekes” definíciót nyerjünk.

Például a 167-et a következőképp lehet átírni, ha b > 165:

b	166	167	>167
167 átírt alakja:	11	10	egyjegyű szám

Az n < 4 értékekre az alapok lehetséges értékei üres halmazzal egyenlők, ezért az ilyen számok triviálisan nem palindrom számok.

Tulajdonságok

A 6-nál nagyobb szigorúan nem palindrom számok prímszámok. Könnyen belátható, hogy egy n > 6 összetett szám miért nem lehet szigorúan nem palindrom, mivel minden ilyen n számhoz megadható az a b alapszám, amire átírva n-et palindromot kapunk.

Ha n páros, akkor n 22 (ami palindrom) alakba írható b = n/2 − 1 számrendszerben. (mivel n > 6, így n/2 − 1 > 2)

Egyéb esetben n páratlan. Legyen n = p · m, ahol p a legkisebb prímtényezője n-nek. Ekkor nyilvánvalóan p ≤ m. (Hiszen n összetett szám.)

Ha p = m = 3, akkor n = 9, ami 1001 (palindrom) alakban felírható b = 2 számrendszerben.
Ha p = m > 3, akkor n 121 (palindrom) alakban felírható b = p − 1 számrendszerben. (Mivel p > 3, ezért p − 1 > 2.)

A többi esetben p < m − 1. A p = m − 1 eset kizárható, hiszen tudjuk p-ről és m-ről is, hogy páratlan számok.

Ekkor n felírható pp (kétjegyű szám, melynek mindkét számjegye p, palindrom) alakban b = m − 1 számrendszerben. (Mivel p < m − 1)

Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti esetek mindegyikében (1) a b alap a 2 ≤ b ≤ n − 2 tartományban marad és (2) minden palindrom a_i számjegyei a 0 ≤ a_i < b tartományban vannak, feltéve hogy n > 6. Ezek a feltételek nem mindig teljesülnek, ha n ≤ 6, ami megmagyarázza, hogy a nem prímszám 1, 4 és 6 számok hogyan lehetnek mégis szigorúan nem palindromak.

A fentiek szerint minden n > 6 szigorúan nem palindrom szám prímszám.

Irodalom

Sequence A016038 from the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences