Wieferich-prímek

A számelméletben ha p prímszám, és p² osztója 2^p − 1 − 1-nek, akkor p Wieferich-prím. A Wieferich-prímek a kis Fermat-tételhez kapcsolódnak, ami azt állítja, hogy ha p páratlan prím, akkor osztója 2^p − 1 − 1-nek. Arthur Wieferich 1909-ben írta le őket az akkori Fermat-sejtéshez, ma nagy Fermat-tételhez kapcsolódó feljegyzéseiben. Akkoriban már Fermat mindkét állítása közismert volt.

A Wieferich-prímek azóta más témákban is felbukkantak a számok és prímek különböző típusaival együtt, így a Mersenne- és a Fermat-számokkal, bizonyos típusú álprímekkel és a Wieferich-prímek eredeti definíciójának általánosításával kapott számokkal együtt. Idővel jobban megismerve ezeket a kapcsolatokat bizonyos prímszámok újabb tulajdonságait fedezték fel olyan általánosabb témákban, mint az abc-sejtés vagy a számtestek.

A kutatások ellenére eddig csak két Wieferich-prímet ismerünk, ezek az 1093 és a 3511 (A001220 sorozat az OEIS-ben).

Példák

A kis Fermat-tétel erősítését a 2^{p − 1} ≡ 1 (mod p²) kongruenciával fejezik ki, amiből az egész számok kongruenciájának definíciójával következik, hogy ennek teljesítése ekvivalens a bevezetőben megadott állítás teljesítésével. Így ha p prím, és eleget tesz a kongruenciának, ekvivalens azzal, hogy p osztója a ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}$ Fermat-hányadosnak.

A 11 nem Wieferich-prím, mert ha p = 11, akkor ${\tfrac {2^{10}-1}{11}}=93$, ami 11-gyel osztva 5-öt ad maradékul. Ellenben 1093 Wieferich-prím, mert ${\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}$ (339 jegyű szám) osztható 1093-mal.

Történetük

1902-ben W. F. Meyer belátott egy tételt a a^{p − 1} ≡ 1 (mod p^r) kongruencia megoldásairól. Arthur Wieferich még ebben az évtizedben megmutatta, hogy ha a Fermat-sejtés megoldható lenne egy p páratlan prím kitevőre, akkor ennek a prímnek a fenti kongruencia megoldásának kell lennie a = 2 és r = 2 paraméterekkel. Más szavakkal, ha x^p + y^p + z^p = 0 megoldható lenne a pozitív x, y, z egészekre és a p páratlan prímre, ahol p nem osztója xyz-nek, akkor teljesül 2^{p − 1} ≡ 1 (mod p²) is. 1913-ban P. G. H. Bachmann a ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ maradékot vizsgálta, hogy mikor lesz nulla.

Az 1093 Wieferich-prím voltát még Waldemar Meissner bizonyította be 1913-ban, és megerősítette, hogy 2000 alatt nincs több ilyen prím. Minden 2000-nél kisebb prímre megvizsgálta ${\tfrac {2^{t}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ legkisebb maradékát. Azt találta, hogy ez a maradék nulla, ha t = 364 és p = 1093. Ez megcáfolta Grave sejtését, hogy ilyen prímek márpedig nincsenek. E. Haentzschel elemi számításokkal ellenőrizte Meissner konguenciáját. Euler nyomán először belátta, hogy 1093² | (2¹⁸² + 1), és megjegyezte, hogy (2¹⁸² + 1) egy tényezője (2³⁶⁴ − 1)-nek. Azt is sikerült megmutatni, hogy 1093 Wieferich-prím volta bizonyítható a komplex számok használata nélkül, Meissner számításaival ellentétben. although Meissner himself hinted at that he was aware of a proof without complex values.

A 3511 hasonló tulajdonságát N. G. W. H. Beeger vette észre 1922-ben, és R. K. Guy 1965-ben egy másik bizonyítással állt elő. 1960-ban Kravitz megduplázta a Fröberg által megadott határt, majd 1961-ben Riesel kiterjesztette ezt a határt egészen 500 000-ig a BESK felhasználásával. 1980 körül Lehmer folytatta a keresést egészen 6·10⁹-ig. 2006-ban ezt tovább emelték 2,5·10¹⁵-re, végül 3·10¹⁵-re. Azóta azt is tudjuk, hogy ha van még Wieferich-prím, akkor nagyobbnak kell lennie, mint 6,7·10¹⁵. Jelenleg elosztott számításokkal folytatják a kutatást az újabb Wieferich-prímek után. Ezek egyike a Wieferich@Home, a másika a PrimeGrid, ami 2011 decemberében indult. 2012 májusában a PrimeGrid 7·10¹⁵-re tolta ki a határt.

Nem ismert, hogy egyáltalán vannak-e még Wieferich-prímek, és ha igen, akkor végtelen sok van-e. Chris Caldwell sejtése szerint véges sok van, de vannak, akik azt sejtik, hogy végtelen sok ilyen prím létezik, és hogy egy x korlátig számuk log(log(x)). Ez azt feltételezi, hogy a (p − 1)-edik primitív egységgyökök egyenletesen oszlanak el modulo p².

Tulajdonságaik

A nagy Fermat-tétel

A következő tétel kapcsolatot teremt a Wiefeich-prímek és a nagy Fermat-tétel között:

Legyen p prím, és legyenek az x, y, z pozitív egészek olyanok, hogy x^p + y^p + z^p = 0.

Ha még azt is feltesszük, hogy a p prím nem osztója az xyz szorzatnak, akkor p Wieferich-prím kell, hogy legyen. Ezt a tételt még Wieferich látta be 1909-ben. Az oszthatósági kikötés a nagy Fermat-tétel első eseteként ismert.(FLTI) és az FLTI megbukik egy p prímre, ha a Fermat-egyenlet megoldható ezzel a p-vel, különben az FLTI teljesül p-re. 1910-ben Mirimanoff kibővítette a tételt, megmutatva, hogy ha teljesülnek a tétel előfeltételei, akkor a p prímre az is teljesül még, hogy p² osztója 3^p − 1 − 1-nek is. Sőt, Granville és Monagan szerint p²-nek még az m^p − 1 − 1 mennziségnek osztójának is kell lennie az összes m ≤ 89 prímre. Suzuki ezt a határt tovább emelte minden m ≤ 113 prímre.

Legyen H_p relatív prím számpárokból alkotott halmaz, a p prím relatív prím az x, y és x + y, (x + y)^p-1 ≡ 1 (mod p²)-hez, (x + ξy) a K ideál p-edik hatványa, ahol ξ = 2π/p + i sin 2π/p! K = Q(ξ) a racionális számoknak az a testbővítése, amit az ξ algebrai számok minimálpolinomjainak összes gyökének hozzávételével kapunk. Mivel ξ egységgyök, ezért körosztási testet kapunk. A Q(ξ) ideáljainak egyértelmű faktorizációjából kapjuk, hogy ha a nagy Fermat-tétel első esetének van x, y, z megoldása, akkor p osztója x+y+z-nek, és (x, y), (y, z) és (z, x) a H_p elemei. Granville és Monagan belátta, hogy (1, 1) ∈ H_p akkor és csak akkor, ha p Wieferich-prím.

Az abc-sejtés

Ha p egy prímszám, ami nem tesz eleget a Wieferich-prímek definiáló kongruenciájának, vagyis 2^p − 1 ≢ 1 (mod p²), akkor p nem Wieferich-prím. J. H. Silverman 1988-ban megmutatta, hogy ha teljesül az abc-sejtés, akkor végtelen sok nem Wieferich-prím van. Pontosabban, létezik egy csak α-tól függő konstans, hogy egy X határ alatti α alapú nem Wieferich-prímek száma nagyobb, mint log(X), vagyis a végtelenbe tart. Az eddigi számítások szerint egy adott intervallumon nagyon kevés Wieferich-prím található. A Wieferich-prímek W₂ és a nem Wieferich-prímek W₂^c halmaza komplementerek, tehát ha az egyik véges, a másiknak végtelennek kell lennie, mivel végtelen sok prímszám van.Később belátták azt is, hogy ha végtelen sok nem Wieferich-prím van, akkor következik az abc-sejtés egy ABC-(k, ε)-sejtésként ismert gyengített verziója. Sőt, végtelen sok nem Wieferich-prím esetén végtelen sok négyzetmentes Mersenne-szám létezik.

A Mersenne- és a Fermat-számok

Az n-edik Mersenne-szám, M_n = 2ⁿ − 1 akkor lehet prím, ha n is prím. A kis Fermat-tétel állítása szerint ha p > 2 prím, akkor M_p−1 (= 2^p − 1 − 1) osztható lesz p-vel. Mivel az M_p és az M_q prím indexű Mersenne-számok relatív prímek, azért

Ha q prím, akkor M_q egy p prímosztója Wieferich-prím akkor és csak akkor, ha p² is osztója M_q-nak.

Ezért egy Mersenne-prím nem lehet Wieferich-prím. A számelmélet egy fontos megoldatlan kérdése, hogy minden prím sorszámú Mersenne-szám négyzetmentes-e. Ha egy M_q prím sorszámú Mersenne-szám nem négyzetmentes, akkor van egy p prím, aminek négyzete osztója M_q-nak. Ekkor p-nek Wieferich-prímnek kell lennie. Tehát, ha csak véges sok Wieferich-prím van, akkor legfeljebb véges sok nem négyzetmentes prím sorszuámú Mersenne-szám van, mivel ezek páronként relatív prímek. Rotkiewicz az állítás megfordítását is igazolta, tehát ha végtelen sok prím sorszámú négyzetmentes Mersenne-szám van, akkor a nem Wieferich-prímek száma is végtelen.

Hasonlóan, ha p prím, és osztója egy F_n = 2²ⁿ + 1 Fermat-számnak, akkor p Wieferich-prím. Az ismert két Wieferich-prímről, 1093-ról és 3511-ről belátták, hogy egyik sem osztójsa egy Fermat- vagy Mersenne-számnak sem.

Kapcsolat más egyenletekkel

Scott és Styer megmutatta, hogy az p^x – 2^y = d egyenletnek egy megoldása van az pozitív egész számpárok halmazán az (x, y) párra, kivéve ha p² | 2^{ord_p 2} – 1 ahol ord_p 2 a 2 multiplikatív rendje modulo p. Azt is belátták, hogy az ±a^x₁ ± 2^y₁ = ±a^x₂ ± 2^y₂ = c egyenlet egy általánosabb egyenlethalmaz specifikus alakja, kivéve ha a egy 1,25 x 10¹⁵-nél nagyobb Wieferich-prím.

Periodikusság kettes számrendszerben

Johnson megfigyelte, hogy mindkét ismert Wieferich-prím alsó szomszédja a kettes számrendszerben periodikus jegyekből áll: 1092 = 010001000100₂; 3510 = 110110110110₂. A Wieferich@Home projekt ebből a megfigyelésből kiindulva kettes számrendfszerben periodikus számok felső szomszédját vizsgálja, de a legfeljebb 3500 bites legfeljebb 24 periódushosszú számok felső szomszédai nem Wieferich-prímek.

Ekvivalens kongruenciák

A Wieferich-prímek más kongruenciákkal is definiálhatók. Ha p Wieferich-prím, akkor a 2^p-1 ≡ 1 (mod p²) kongruenciát 2-vel megszorozva kapjuk, hogy 2^p ≡ 2 (mod p²). p-edik hatványra emelve 2^p2 ≡2^p ≡ 2 (mod p²), és innen 2^pk ≡ 2 (mod p²) minden k ≥ 1-re. Megfordítva, 2^pk ≡ 2 (mod p²) egy k ≥ 1-re implikálja, hogy 2 multiplikatív rendje modulo p² osztója a (p^k-1, φ(p²))=p-1 legnagyobb közös osztónak. Másként, 2^p-1 ≡ 1 (mod p²), és így p Wieferich-prím.

Még Bolyai megmutatta, hogy ha p és q prímek, a egyikkel sem osztható pozitív egész, és a^p-1 ≡ 1 (mod q), a^q-1 ≡ 1 (mod p), akkor a^pq-1 ≡ 1 (mod pq). A p = q helyettesítéssela^p2-1 ≡ 1 (mod p²). Azt is belátták, hogy a^p2-1 ≡ 1 (mod p²) akkor és csak akkor, ha a^p-1 ≡ 1 (mod p²).

Álprímek

Megfigyelték, hogy mindkét ismert Wieferich-prím négyzetes prímtényezője az összes 2 alapú Fermat-álprímnek egészen 25·10⁹-ig. A későbbi számítások megmutatták, hogy az álprímek egyetlen magasabb hatványon szereplő tényezői egészen 10¹²-ig csak 1093 és 3511. Sőt, a következők is teljesülnek: legyen n 2 alapú álprím, és p prímosztója n-nek. Ha ${\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\not \equiv 0{\pmod {p}}$, akkor ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\not \equiv 0{\pmod {p}}$ is teljesül. Továbbá, ha p Wieferich-prím, akkor p² Catalan-álprím.

Irányított gráfok

A 100 000-nél kisebb prímek esetén L(pⁿ⁺¹) = L(pⁿ) kétszer teljesül: L(1093²) = L(1093) = 364 és L(3511²) = L(3511) = 1755, ahol m a kétszerező diagram modulusa, és L(m) az 1 körén levő csúcsok száma. A kétszerező diagram csúcsai az m-nél kisebb $\mathbb {N} _{0}$-beli természetes számok, és csak az x-ből a modulo m redukált 2x-be mutató élek léteznek. Megmutaták, hogy minden páratlan prímszám esetében vagy az L(pⁿ⁺¹) = p × L(pⁿ) vagy az L(pⁿ⁺¹) = L(pⁿ) állítás teljesül.

Számtestek

Tudjuk, hogy $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ és $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ akkor és csak akkor, ha 2^p − 1 ≢ 1 (mod p²)ahol p páratlan prím és $D_{0}<0$ a képzetes $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big )}$ kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Legyen p Wieferich-prím. Ha p ≡ 3 (mod 4), akkor legyen $D_{0}<0$ a $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big )}$ képzetes kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Ha p ≡ 1 (mod 4), akkor legyen $D_{0}<0$ a $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big )}$ képzetes kvadratikus test fundamentális diszkriminánsa. Ekkor $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ és $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0}}}{\big )}{\big )}=1$ ahol χ és λ Iwasawa-invariánsok.

Továbbá: legyen q páratlan prím, k és p prímek úgy, hogy p = 2k + 1, k ≡ 3 (mod 4), p ≡ −1 (mod q), p ≢ −1 (mod q³) és q rendje modulo k is ${\tfrac {k-1}{2}}$. Tegyük fel továbbá, hogy q osztója h⁺-nak, ami a $\mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big )}$ valós körosztási test osztályszáma. Ekkor q Wieferich-prím. Ez akkor is teljesül, ha a p ≡ −1 (mod q) és a p ≢ −1 (mod q³) feltételeket p ≡ −3 (mod q) és p ≢ −3 (mod q³) helyettesíti, vagy ha p ≡ −1 (mod q) helyett p ≡ −5 (mod q), amikor is q Wall−Szun−Szun prím, és az inkongruencia helyett p ≢ −5 (mod q³) teljesül.

Periódusuk

Ha x egész szám, akkor legyen a b alapú periódusa reciprokának periódusának hossza! Például a 3 10-es alapú periódusa 1, mivel 1/3 = 0,3; 2-es alapú periódusa viszont 2, merthogy 3 = 0,01 a kettes számrendszerben. Általában igaz, hogy ha x egész, akkor periódusa megegyezik b multiplikatív rendjével modulo x. Ha x Wieferich-prím, akkor b^x−1 ≡ 1 (mod x²). Ha x² osztója b^p − 1-nek, akkor x² periódushossza megegyezik x periódusával. Garza és Young azt állította, hogy 1093 periódusa 1092, és hogy ugyanez 1093² periódusa is, de 2 multiplikatív rendje modulo 1093² 364, ami rácáfol erre az állításra.

A Wieferich-prímek hatványainak rendje modulo 2

Egészen 4 x 10¹²-ig csak két prímre teljesül az ord_p² 2 = ord_p 2 állítás, és ezek az 1093 és a 3511. Ismert továbbá, hogy ord₁₀₉₃ 2 = 364 és ord₃₅₁₁ 2 = 1755.

H. S. Vandiver belátta, hogy 2^p-1 ≡ 1 (mod p³) akkor és csak akkor, ha $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$.

Általánosítások

Majdnem Wieferich-prímek

A majdnem Wieferich-prímek éppen azok a prímek, amelyeket p-be helyettesítve 2^(p−1)/2 ≡ ±1 + Ap (mod p²), ahol |A| abszolútértéke kicsi. (A195988 sorozat az OEIS-ben). Az A = 0 majdnem Wieferich-prímek éppen a Wieferich-prímek. A Wieferich-prímeket kereső kutatások majdnem Wieferich-prímeket is keresnek. Az alábbi táblázat felsorolja az [1·10⁹, 3·10¹⁵] intervallumba eső majdnem Wieferich-prímeket. Ezt a határt P. Carlisle, R. Crandall és M. Rodenkirch közös kutatással érték el.

p	1 vagy −1	A
3520624567	+1	−6
46262476201	+1	+5
47004625957	−1	+1
58481216789	−1	+5
76843523891	−1	+1
1180032105761	+1	−6
12456646902457	+1	+2
134257821895921	+1	+10
339258218134349	−1	+2
2276306935816523	−1	−3

Dorais és Klyve egy másik definíciót adott a majdnem Wieferich-prímekre. Ha p prím, pontosan akkor lesz majdnem Wieferich-prím, ha $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|$ ahol $\omega (p)={\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$ kis abszolútértékű, és megegyezik 2 Fermat-hányadosa p-re modulo p, ahol a modulo maradék a legkisebb abszolútértékű reprezentánst adja. A következő táblázat a p ≤ 6.7 × 10¹⁵ prímeket tartalmazza, amelyekre $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\leq 10^{-14}$.

p	$\omega (p)$	$\left|{\tfrac {\omega (p)}{p}}\right|\times 10^{14}$
1093	0	0
3511	0	0
2276306935816523	+6	0.264
3167939147662997	−17	0.537
3723113065138349	−36	0.967
5131427559624857	−36	0.702
5294488110626977	−31	0.586
6517506365514181	+58	0.890

Az a alapú Wieferich-prímek

Egy prímszám, p a alapú Wieferich-prím, ha

a^p − 1 ≡ 1 (mod p²).

Egy ilyen prím nem lehet az a alap osztója, mert akkor 1 osztójának is kellene lennie.

Wieferich-párok

Két prímszám, p és q Wieferich-párt alkot, ha:

p^{q − 1} ≡ 1 (mod q²) and q^{p − 1} ≡ 1 (mod p²)

Egy Wieferich-prím Wieferich-párt alkot a 2-vel, ha p-be helyettesítve p ≡ 1 (mod 4). Jelenleg csak egyetlen ilyen példát ismerünk, a p = 1093-at. Összesen 6 Wieferich-párt ismerünk.

Wieferich-számok

A w ≥ 3 páratlan egész Wieferich-szám, ha teljesül rá, hogy 2^φ(w) ≡ 1 (mod w²), ahol φ(·) az Euler-függvény. Ha w Wieferich-szám és prím, akkor Wieferich-prím. A legkisebb Wieferich-számok:

1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, … (A077816 sorozat az OEIS-ben)

Belátható, hogy ha véges sok Wieferich-prím van, akkor a Wieferich-számok száma is véges. Pontosabban, ha az összes Wieferich-prím 1093 és 3511, akkor pontosan 104 Wieferich-szám van, és ezek azok, amelyeket mind ismerünk.

Általánosabban, w a alapú Wieferich-szám, ha egész, és a^φ(w) ≡ 1 (mod w²).

Egy másik definíció szerint q Wieferich-szám, ha páratlan egész, és nem relatív prím ${\tfrac {2^{m}-1}{q}}$-hoz, ahol m a 2 multiplikatív rendje modulo q. Az első néhány ilyen szám:

21, 39, 55, 57, 105, 111, 147, 155, 165, 171, 183, … (A182297 sorozat az OEIS-ben)

Eszerint a definíció szerint is, ha egy Wieferich-szám prím, akkor Wieferich-prím.

Lucas–Wieferich-prímek

Ha (P, Q) egész számokból alkotott számpár, akkor p hozzájuk asszociált Lucas–Wieferich-prím, ha U_p-ε(P, Q) ≡ 0 (mod p²), ahol U_n(P, Q) a Lucas-sorozat, és ε a P² - 4Q Legendre-szimbóluma modulo p. A Wieferich-prímek egyben a (3, 2) párhoza asszociált Lucas–Wieferich-prímek.

Wieferich-helyek

Legyen K számtest, vagy egy változós függvénytest egy véges test fölött, és legyen E elliptikus görbe! Ha v nem arkhimédészi helye a K test q_v normájának, és az a ∈ K elemre v(a) = 0, akkor v(a^q_v-1-1) ≥ 1. v a alapú Wieferich-hely, ha v(a^q_v-1-1) > 1. P alapú Wieferich-hely, ha P ∈ E, és N_vP ∈ E₂. Erős P alapú Wieferich-hely, ha P ∈ E, és n_vP ∈ E₂, ahol n_v a P pont rendje modulo v, és N_v az E görbe redukciójának racionális pontjainak száma modulo v.