Szorzás

$3\cdot 4=12$, tehát három sorban és négy oszlopban 12 pont helyezhető el

Szorzás vagy sokszorozás, a számtani alapműveletek egyike. Ha a és b pozitív egész számokat jelentenek, akkor b-t megszorozni a-val annyit tesz, mint alkotni a

$\sum _{i=1}^{a}b=\underbrace {b+b+\dots +b} _{a}$

összeget, amelyet röviden ab-vel szokás megjelölni. A b számot, amelyet ezen összeg előállítása végett a-szor tettünk összeadandónak, sokszorozandónak vagy szorzandónak, az a számot sokszorozónak vagy szorzónak, az eredményül nyert összeget pedig szorzatnak nevezzük.

Bebizonyítható, hogy

• ab = ba, azaz a szorzás kommutatív.
• (ab)c = a(bc), azaz a szorzás asszociatív.
• a(b + c) = ab + ac, azaz a szorzás disztributív az összeadásra és a kivonásra nézve.

Minthogy a szorzandó felcserélhető a szorzóval anélkül, hogy a szorzat értéke ennek következtében megváltoznék, még az elnevezésben sem szükséges azokat egymástól megkülönböztetni, és ezért mind a kettőt a szorzat tényezőinek nevezzük. Több pozitív egész szám szorzatát úgy alkotjuk, hogy az elsőt megszorozzuk a másodikkal, a nyert szorzatot a harmadikkal stb:

$\prod _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \dots a_{n}=(\dots (((a_{1}\cdot a_{2})\cdot a_{3})\cdot a_{4})\dots )\cdot a_{n}$

A kommutativitás miatt az ilyen szorzat értéke is független a megadott tényezők sorrendjétől.

A szorzás megfordítása az osztás.

Ha a pozitív egész számok halmazán kívül első tagokkal akarjuk elvégezni a szorzást, akkor e művelet értelmezését módosítanunk kell. Különféle számhalmazokon úgy szokás definiálni, hogy a szorzás jelentése ne változzon, ha az újabb számhalmazt a régebbi kibővítésének tekintjük. A szorzás természetes, egész, racionális, valós és komplex számok halmazán is kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.

Általánosítás

A szorzás kétváltozós műveletként általánosítható más algebrai struktúrákra, például mátrix- és függvényhalmazokra is. A mátrixszorzás asszociatív és disztributív, de nem kommutatív.

Jelölések

A szorzást számok esetén szorzóponttal vagy szorzókereszttel jelölik:

$2\cdot 3=6$ (Kétszer három az hat)

$3\cdot 4=12$

$2\cdot 3\cdot 5=6\cdot 5=30$

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$

vagy

$2\times 3=6$

$3\times 4=12$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

• Egymás után írás; ez az algebrában szokásos, és mindenütt, ahol betűjelölések szerepelnek. Például xy vagy 5x.
• Vektorok esetén kétféle szorzást is értelmeznek: a skaláris és a vektoriális szorzást. A skaláris szorzatot szorzópont, a vektoriális szorzatot szorzókereszt jelöli.
• Programnyelvekben a * csillag a szorzójel. Ezt azért választották így, mert minden billentyűzeten rajta van, és jobban látszik a régi képernyőkön. Ez a FORTRAN programozási nyelvből ered.

Algoritmusok

Az írásbeli szorzás szokásos módja a szorzótábla ismeretét igényli, de van olyan módszer is, ami anélkül is működik.

A nagy számok kézzel való szorzása időigényes és sok hibalehetőséget hordoz magában. Ennek megkönnyítésére használják a tízes alapú logaritmust. Logarléccel három számjegyes pontossággal lehet szorozni. A huszadik század elején a mechanikus számológépek, mint például a Marchant 10 számjegyes pontosságot is lehetővé tettek. A modern elektromos számológépek és a számítógépek nagyban csökkentették a kézi számítások iránti igényt.

Történelmi algoritmusok

Különböző módszerek maradtak fenn az ókori Egyiptomból, Babilonból, Görögországból, az Indus-völgyből és Kínából.

Egyiptom

Az egyiptomi módszer a Jahmesz által írt Rhind-papirusz szerint sorozatos kétszerezésen, felezésen és összeadáson alapul. Például a 13 és a 21 összeszorzásához háromszor kétszerezték meg a 21-et:

$1\cdot 21=21$, $2\cdot 21=42$, $4\cdot 21=84$, $8\cdot 21=168$.

A 13-at háromszor elfelezték:

$13:2=6$, marad $1$; $6:2=3$, nem marad semmi; $3:2=1$, marad az $1$.

A szorzatot a megfelelő kétszerezések összegeként állították elő:

$13\cdot 21=(1+4+8)\cdot 21=(1\cdot 21)+(4\cdot 21)+(8\cdot 21)=21+84+168=273$.

Babilon

Babilonban a hatvanas számrendszert használták, hasonlóan a mai tízes számrendszerhez. A szorzás a mai tízes számrendszerbeli szorzáshoz hasonlóan működött. Mivel nehéz emlékezni a $60\cdot 60$ szorzatra, ezért a babiloni matematikusok szorzótáblázatokat használtak. Ezek a táblák tartalmazták egy szám első húsz szorzatát, amit a szám tízszereseinek szorzatai követtek. Egy szorzás végrehajtásához, például az $53n$ kiszámításához külön kellett összeszorozni 50-nel és 3-mal, majd ezeket a szorzatokat összeadni.

Kína

A Zhou Pei Suan Ching (Kr.e. 300-nál korábbról) és Kilenc fejezet a matematika művészetéről matematikai könyvekben a számítások szavakkal vannak leírva. Ismert viszont, hogy az ókori kínai matematikusok abakuszt használtak a számítások elvégzéséhez.

Indus-völgy

A 45 és a 256 szorzata. Vegyük észre, hogy a 45 számjegyei fordított sorrendben helyezkednek el a bal oszlopban.

Az Indus-völgye korai hindu matematikusai számos intuitív módszert alkalmaztak a szorzásra. A számolásokat általában kis palatáblákon végezték.

Modern módszer

A modern módszer az arab számíráson és a tízes számrendszeren alapul. Brahmagupta módszert adott az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveletére; ő írta le elsőként a modern módszert.

Henry Burchard Fine, a Princeton matematikaprofesszora szerint az indiaiak nemcsak a helyi értékes tízes számrendszert fedezték fel, hanem az ahhoz tartozó alapvető eljárásokat is.

Szorzássorozat

Jelölés

A szorzássorozat jele a görög nagy pí Π betűből származik. Az Unicode-ban is megkülönböztetik ezt a két jelet: U+220F (∏) jelöli a szorzássorozat jelét, és U+03A0 (Π) a betűt. Ez a jelölés a következőt jelenti:

$\prod _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \,\,\cdots \,\,\cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.$

ahol az alsó index mutatja a futó változót, és annak alsó határát, míg a felső index a felső határt jelöli. A futó index az alsó határtól egyesével megy el egészen a felső határig. A szorzássorozat jele után következnek a tényezők, amik a futó index egymást követő értékeit behelyettesítve kaphatók.

Például

$\prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.$

Olvasd: Produktum i=2-től 6-ig, zárójelben az 1+1/i egyenlő...

Ha az alsó határ egyenlő a felső határral, akkor a szorzat egy tényezős, és értéke ez a tényező. Ha az alsó határ nagyobb, mint a felső, akkor a szorzat üres, és értéke definíció szerint 1.

Végtelen szorzat

Végtelen sok tényező is összeszorozható, így végtelen szorzat keletkezik. A jelölésben a felső határt $\infty$, az alsó határt $-\infty$ jelölheti. A végtelen szorzat értéke

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.$

feltéve, hogy a határérték létezik.

A mindkét irányban végtelen szorzat értéke

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}=\left(\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right),$

feltéve, hogy a határértékek léteznek.

Értelmezés

Descartes-szorzat

A szorzás ismételt összeadásként való értelmezése egyenes utat biztosít a szorzás halmazelméleti értelmezéséhez a számosságok körében.

A $\displaystyle n\cdot a=\underbrace {a+\cdots +a} _{n},$ kifejezésben a n másolatát adjuk össze. Ennek egyik módja az indexelés, ahol $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$, így a diszjunkt példányait uniózzuk össze. Ez éppen az $n\times a\,$ Descartes-szorzat. A természetes számok szorzásának tulajdonságai azonnal adódnak a Descartes-szorzás megfelelő tulajdonságaiból.

Peano-axiómák

Giuseppe Peano javasolta a Peano-axiómákon alapuló következő definíciót:

$a\times 1=a$

$a\times b'=(a\times b)+a$

ahol b′ jelöli b rákövetkezőjét. A többi Peano-axióma segítségével bizonyíthatók a szorzás ismert tulajdonságai.

Halmazelmélet

A halmazelmélet segítségével is lehetséges rekurzív definíciót adni a szorzásra, bár ez bonyolult. Ez a definíció visszanyúlik a Peano-féle definíciókhoz.

Geometria

A párhuzamos szelők tétele lehetőséget ad rá, hogy két adott hosszúságú szakasz hosszának szorzatával megegyező hosszúságú szakaszt szerkesszünk.

Különböző számkörök

A szám jelenthet mennyiséget (3 alma), sorszámot (a harmadik alma), vagy mértéket (3,5 méteres magasság). Ahogy a történelemben a matematika az ujjakon való számlálástól a kvantummechanikáig, úgy terjeszkedett a szorzás az egyre elvontabb számkörök és más matematikai objektumok (polinomok, mátrixok) felé.

Egész számok

Az egész számok szorzásának szabálya a természetes számok szorzásának szabályaiból és az előjelszabályból következik:

Ha az M és az N egész mindegyike pozitív, akkor $M\times N$ egy olyan tömbben levő elemek számát jelöli, ahol minden oszlopban M, és minden sorban N elem van.

Az előjelszabály szerint

$(-N)\times M=N\times (-M)=-(N\times M)$

és

$(-N)\times (-M)=N\times M$

Ugyanez az előjelszabály érvényes a racionális és a valós számok szorzására.

Racionális számok

A törtek szorzásának szabálya: számlálót számlálóval, és nevezőt nevezővel szorzunk:

${\frac {A}{B}}\times {\frac {C}{D}}={\frac {(A\times C)}{(B\times D)}}$.

Ez a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami ${\frac {A}{B}}$ hosszú és ${\frac {C}{D}}$ széles.

Valós számok

Két valós szám szorzatát határértékként adhatjuk meg: (x·y) az a valós szám, ami megkapható egy x-hez és egy y-hoz konvergáló sorozat megfelelő elemeinek összeszorzásával keletkezett újabb sorozat határértékeként. Képletekkel felírva ugyanez: ha $(x_{n})$ és $(y_{n})$ két sorozat, és

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$

és

$\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}=y,$

akkor

$x\cdot y{\overset {def}{=}}\lim _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n}).$

Pozitív valós számok esetében a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami x hosszú és y széles.

Komplex számok

A $z_{1}$ és a $z_{2}$ komplex számot az $(a_{1},b_{1})$ és az $(a_{2},b_{2})$ valós számpárokként tekintve $z_{1}$ és $z_{2}$ szorzata a következőképpen adódó komplex szám:

$z_{1}\cdot z_{2}=(a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2},a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1}),$

mert ha az i imaginárius egységgel írjuk fel

$z_{1}=a_{1}+b_{1}\cdot i,$

$z_{2}=a_{2}+b_{2}\cdot i,$

$z_{1}\cdot z_{2}=(a_{1}+b_{1}\cdot i)\cdot (a_{2}+b_{2}\cdot i)=a_{1}\cdot a_{2}+a_{1}\cdot b_{2}\cdot i+a_{2}\cdot b_{1}\cdot i+b_{1}\cdot b_{2}\cdot i^{2}=$

$=a_{1}\cdot a_{2}-b_{1}\cdot b_{2}+(a_{1}\cdot b_{2}+a_{2}\cdot b_{1})\cdot i,$

ahol kihasználtuk, hogy

$i^{2}=-1.$

Ez a szorzatkifejezés valós számokra egyszerűen $a_{1}\cdot a_{2}$-vel azonos, mivel valós számok esetében a b₁ és b₂ képzetes részek nullák.

Polinomok és mátrixok

A szorzás a számokon kívül polinomokra és mátrixokra is kiterjeszthető. A polinomok és adott n-re az n×n-es mátrixok gyűrűt alkotnak, ahol lehet összeadni, kivonni és szorozni. A polinomszorzás kommutatív, de a mátrixszorzás nem.

Absztrakt algebra

Csoportok

Sok halmaz a szorzással megfelel a csoport definíciójának. Ezek az asszociativitás, az egységelem és az inverzek megléte, és a halmaz zártsága a műveletekre.

Egy egyszerű példa a nem nulla valós számok halmaza. Az egységelem az 1. A nullát azért kell kizárni, mert nincs inverze: nincs olyan szám, amivel megszorozva a nullát 1-et kapunk. Ez a példa egy kommutatív, azaz Abel-csoport.

Nem minden csoport kommutatív. Nézzük például az adott méretű invertálható mátrixok csoportját egy adott test felett. Az egységelem az identitásmátrix, az inverzek a mátrixinverzek, és a szorzásra való zártság is teljesül. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, ezért ez a csoport nem kommutatív.

Az egész számok halmaza nem csoport a szorzásra, még a nulla nélkül sem, mert az 1-en és a -1-en kívül nincsenek inverzek.

A csoportelméletben a szorzást ponttal, vagy egymás mellé írással jelölik. Így az a és a b elemek szorzata ab vagy $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} .$

Gyűrűk

A gyűrű egy másik algebrai struktúra, amiben szorozni lehet. Lehet még összeadni és kivonni is. A gyűrűkben nincs minden elemnek (multiplikatív) inverze: például a nullelemnek nincs, és ha a gyűrűben vannak nullosztók, akkor azoknak sincs. A legegyszerűbb példák gyűrűkre az egész számok, a polinomgyűrűk és a mátrixgyűrűk.

A kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűk az integritási tartományok. Erre a legegyszerűbb példa az egész számok. Itt megtörténhet, hogy az $x$ elemnek nincs inverze, de ${\frac {x}{y}}$ definiálható az $ay=x$ egyenlet megoldásaként.

Ferdetestek

A ferdetestek olyan gyűrűk, amikben minden nem nulla elemnek van inverze. A legegyszerűbb nem kommutatív példát a kvaterniók adják. Ha a szorzás nem kommutatív, akkor nem lehet egyetlen osztásműveletet bevezetni, mivel

$\left({\frac {1}{x}}\right)\left({\frac {1}{y}}\right)\neq \left({\frac {1}{y}}\right)\left({\frac {1}{x}}\right),$

és az ${\frac {x}{y}}$ hányados nem egyértelmű.

Hatványozás

Az ismételt szorzás hatványozást eredményez. Például a $2\cdot 2\cdot 2$ hármas szorzat 2 harmadik hatványa, és $2^{3}$-ként írható. Ebben a példában 2 az alap, és 3 a kitevő. Általában a felső indexbe írt kitevő jelöli azt, hogy az alap hány tényezős szorzatát kell venni.

Így az a alapot n-szer szorozzuk össze:

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}$

Lásd bővebben: Hatvány

Források

• Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
• Bokor József (szerk.). A Pallas nagy lexikona. Arcanum: FolioNET (1893–1897, 1998.). ISBN 963 85923 2 X 

Kapcsolódó szócikkek

• összeadás
• kivonás

További információk

• Practicing and Learning Multiplication
• Multiplication and Arithmetic Operations In Various Number Systems at cut-the-knot
• Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus
• Math Games for Multiplication
• Online számológép